二元关系中传递性的若干研究

１ 相 关 理 论
定 义 １ 二元关 系是集 合 ， 的笛 卡 尔积 × Ｂ 的子集 ， 是有 序 对 的集合 ， ＝ ，＞ ∈ 即 ｛ ｙ ｌ Ａ八Ｙ∈Ｂ ， ｘ ）当 Ａ＝ 时 称为集 合 （ Ｂ） 的二 元关 系 。 或 上
定 义 ２ 设 尺是集 合 到 】 的关 系 ， ｔ ａ ， Ｓ为 ｙ到 ｚ的关 系 ， 称 尺 ． 尺 和 Ｉ 则 。为 ｓ ｓ的复合关 系 ， 示为 表 Ｒ。 ＝＜ ，＞ Ｘ八 八（ Ｙ （ ∈Ｙ八＜ ，＞∈Ｒ八＜ ， ５ ） ． ｛ ｚ ｌ Ｓ ｘ∈ ∈ ）Ｙ ） ， ｙ ＞∈ ）
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Ｖ０ ． Ｎｏ２ １ ２８ ．
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ． ０ １
二元关系中传递性的若干研究
汪 小 燕
（ 徽 工 业 大 学 计 算 机 学 院 ， 徽 马鞍 山 ２ ３ ３ ） 安 安 ４ ０ ２ 摘 要 ：二元 关 系 的 传 递性 有 时 不 好 判 断 ， 过 对 二 元关 系传 递 性定 义 的深 入 分析 ， 出 了传 递 性 判 断 的等 价 定 义 通 给
或＜ ，＞∈Ｒ， 照复合 的定义 ， ６ｎ 按 就一 定有＜ ，＞∈Ｒ或＜ ，＞∈Ｒ。因此 ， Ⅱ６ ６Ⅱ 判断 尺 是否具 有传递 性 ， 以不考 虑 可
中的所 有序偶 。 定理 ２指 出判 断集合 上 的二 元关 系 是 否具有 传递 性 ， 以不考 虑 中 的所 有 序偶 。 因此 ， 可 结合 定
第２ ８卷 第 ２期
２ ０１ １年 ６月
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ａ ｏ ｕ ｈ ｕ Ｕ ｉｅｓ ｙｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏｙ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｚ ｏ ｎｖ ｒｉ ｆ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ Ｎ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ｎ Ｓ ｔ Ｓ
及定 理 ， 用该 等 价 定义 及定 理 可 以较 快 地 实现 二元 关 系 传 递性 的判 定 。 利 关键词 ： 二元 关 系 ； 递 性 ； 等 关 系 传 恒 中 图分 类号 ： ５ ０１ ８ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ７ — ６ ７ ２ １ ） ２ ０ ３ — ３ ６ ２ ０ ８ （ ０ ０ — ０ ７ ０ １
对 尺 中的序 对＜ ，＞， ＜ ，＞∈Ｒ 且＜ ，＞∈ 对 Ｒ 中 的序对 ＜ ，＞， １２ 有 ２３ １ ３ Ｒ； １ ３ 没有 ＜ ，＞∈ Ｖ ３ｘ Ｒ （ ∈Ａ） 对 ；
中的序对＜ ，＞ 没有＜ ，＞Ｅ Ｖ Ａ） ２３ ， ３ （ ∈ ； Ｒ
因此 ． 该二元 关系是 传递 的 。对 例 １采用定 理 ３ 断如 下 ： 判 由于 Ｒ ＝ ＜ ，＞ ＜ ，＞ ＜ ，＞ ， 尺 。 ｛ １３ ｝而｛ １ ３ ） ｛ １２ ， １ ３ ，２ ３ ）则 Ｒ ＝＜ ，＞ ， ＜ ，＞ Ｃ 因此 ， ＿Ｒ， 该二 元关 系是传递 的。
定义 ８ Ｒ为 上 的二元 关 系 ，设 尺 ＝ ， 尺 尺在 上传递 铮 （ ） Ｖｂ （ ）口 Ａ八ｂ∈ Ｖ０ （ ） Ｖｃ （ ∈ Ａ＾ｃ∈ Ａ＾
ａ Ｒ ｂ八ｂ Ｒｃ ｃ。 ）
定理 ３ Ｒ为 Ａ上 的二元 关 系 ， Ｒ ＝ ， Ｒ在 Ａ上 传递 当且 仅 当 Ｒ 设 Ｒ一 则 。
定 理 ２ 设 是 集合 Ａ 上 的二 元关 系 ， 尺 ＝ 设
， 如果 具 有传 递 的性 质 ， Ｒ一定 是传递 关 系。 则
证 明 如果 为空 集 ， 定理 ２显然 成 立 。若 不 为空 集 ， 任 意 ０ ｂ 对 ， ∈Ａ， 有＜ ，＞∈ 且 ＜ ，＞∈Ｒ 若 。 Ｄ Ｒ， Ⅱ ６
，
以及 ＜ ，＞ＥＲ。 口ｃ 当存在 序对＜ ，＞∈Ｒ时 ， ６ｃ 容易 判定＜ ，＞∈Ｒ或 ＜ ，＞簪Ｒ； ０ｃ ０ｃ 当不存 在序对 ＜ ，＞∈Ｒ时 ， ６ｃ 由
于在 定义 ３的条件 中没 有 明确给 出这 一情 况 ， 直接 根据 定义 ３有 时不 好 判定 二元 关 系的传 递性 。文 献【】 ６通 过对定 义 ３的分 析 ， 出 以下关 于传 递性 的等价定 义 。 给 定义 ４ Ｒ 为集 合 Ａ 上 的二元 关 系 ， 果对 于 Ｖ＜ ，＞∈Ｒ， ＜ ，＞隹Ｒ， ＜ ，＞∈Ｒ且 ＜ ，＞∈Ｒ， 阍 如 ０６ 有 ６ｃ 或 ６ｃ Ⅱｃ 则 称 尺为 上 的传递 关 系 ， 或者 说 在 Ａ上 具有传 递性 。 定 理 １】 设 尺 为 上 的关 系 。 尺在 Ａ上 传递 当且仅 当 。 ［ ８ 则 尺 则 ， 岳Ｒ， 尺称 为 中的恒 等关 系 ， 作 厶。 则 记 。 定 义 ５ 设 Ｒ是 集 合 Ａ 上 的二 元关 系 ， 于 每 一个 ∈ ，＞∈Ｒ， 对 于 任 意 ， Ａ， 果 ≠） 对 Ａ， 且 Ｙ∈ 如 ， ，
不是 传递 关系 。
证 明 假 设 是传递 关 系 ， 由于＜ ，＞∈Ｒ， ＜ ，＞∈Ｒ， 口口 ０６ 且 ６口 则＜ ，＞∈Ｒ，６６ Ｒ， 与 Ｒ是 反 自反 的关 ＜ ，＞∈ 这
系矛盾 ． 以推 论 ７ 立 。 所 成
推 论 ８ 尺 为 上 的二元 关 系且 尺≠ 若 Ｒ为反 自反 和对称 的关 系 ， ， 则 一定 不是 传递关 系 。
２ 传 递 性质 的新 理 论
定 义 ６ 设 是 集合 Ａ上 的二 元关 系 ， 若 ＝ ，＞ ｛ ∈Ａ且 ，＞∈Ｒｌ则称 为 Ｒ 中的第 一元 素 和第 ， 二 元 素相等 的序偶 的集 合 。
［ 稿 日期］ ０ ０ ｌ— ２ 收 ２ １一 １ １
【 金 项 目】 徽 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （Ｊ ０９ ０ ４ ）计 算 机 软 件 新技 术 国 家重 点实 验 室 开 放 课 题 基 金 资 基 安 Ｋ ２０ Ｂ ７ Ｚ ；
传 递性 是二元 关系 中 的一个 重 要性质 ， 断一个 二元关 系是 否具 有传 递性 。 判 在有 些情况 下 比较 困难 。传 递性 的判 断 可 以直接 根据 定 义 ， 也可 以结合 关 系 图或关 系矩 阵来判 断 Ｉ］而利 用关 系图或 关 系矩 阵 判 断传 】， － ５
递 性 ， 可能导 致遗 漏 了某 些 序偶 ， 有 出现误 判 。文献【］ ６通过 对二 元关 系 传递 性定 义 的深入 分析 ， 对传 递性 的
０ ，口 ６ ≠ｂ ＜ ，＞∈Ｒ， 并且 在 ， 的第 ｂ行 与第 口列没 有 １ 如果将 序 偶＜ ，＞ 尺 中删 除 ， Ｒ 的传 递性 质 不会 ， ０６ 从 则
改变。
推 论 ７ 尺为 ４ 上 的二 元关 系且 为反 自反 的关 系 ， ０ｂ∈ 若 有＜ ，＞ＥＲ， ＜ ， ∈Ｒ， 对 ， Ａ， 口６ 且 ６ 则 一定
推论 １ Ｒ 为 Ａ 上 的二 元关 系 ， 如果 Ｒ 厶， Ｒ一 定是传 递关 系 。 则 证 明 如 果 厶， Ｒ ＝ 咖， 则 尺一 而 ＝ 所 以 。 ， Ｒ ， 据定理 ３知 是传递 关 系。 根 推论 ２ 尺 为 Ａ上 的二元关 系 ， 如果 Ｉ ： （ 表示集 合 的基数 ）则 Ｒ一定是 传递 关系 。 Ｒ一 １ ， 证明 如果Ｉ一 ＿ ， Ｒ ＝ 一 则 尺 中只有一 个序偶 ， 以 尺 。 咖， 据定理 ３知推 论 ２成立 。 Ｒ ｌ１ 设 Ｒ ， 所 尺 ＝ 根
定 义 ３ｎ Ｒ为集合 上 的二元 关 系 ， 于任 意 ０ ｂ ｃ Ａ， ｃ ６ ｒ 对 ， ， ∈ 当＜ｔ ＞∈Ｒ且 ＜ ，＞∈Ｒ时 ， 口ｃ ∈Ｒ， ， ６ｃ 有＜ ，＞ 称 为 上 的传递 关 系 ． 或者说 在 Ａ 上具 有传 递性 。
实现 传递 性 的判定 一般 按照 定义 ３中的条 件依 次对 中的每 一序 对＜ ，＞， 查是 否存 在序 对＜ ，＞∈ ０６ 检 ６ｃ
前 提条 件 进行 补充 ， 出一种 与文 献『１ 价 的定义 形 式 ， 用 该 等价 定 义 可 以较 好 地 实现 二元 关 系传 递 性 给 ７等 利 的判 定 。而二元 关 系 中， 常包含 有类 似 于 ，＞ 通 这样 的序偶 ， 中研究 了这 一类 序偶是 否对传 递性 有影 响 ， 文 并在 文献 ［】 ６的基 础上 给出 了传 递性 等价 的定 义和定 理 以及 传递 性 的相关 理论 。
例 １ 设集合 Ａ＝ １２ ３ ４ ， ｛ ， ， ，）Ｒ是 Ａ 上 的二 元关 系 ， ｛１ １ ， １ ２ ＜ ，＞，２ ３ ， ３ ３ ，４，＞ 尺＝＜ ，＞ ＜ ，＞， １３ ＜ ，＞ ＜ ，＞ ＜ ４ ｝试 判 定 Ｒ 的传 递性 。 解 应 用传递性 的等价 定义 ７ 由于 Ｒ ＝ ＜ ，＞ ＜ ，＞ ＜ ，＞ ， （ １２ ， １３ ，２ ３ ｌ
推论 ３ 尺为 Ａ上 的二元 关 系 ， 尺 为传递关 系 ， Ｃ 厶 ， 果将 关 系 Ｃ中 的任何一 个 序偶 添加 到 Ｒ 且 令 ＝一 如
中 ， 不会改 变 尺 的传 递性 质 。 都 推论 ４ Ｒ 为 Ａ上 的二 元 关 系 ， Ｒ 为传 递关 系 ， Ｒ ： ， 且 设 尺一 ＭＲ ｒ 是关 系 Ｒ 的关 系矩 阵 ， 任 意 口ｂ∈ 对 ， Ａ， Ⅱ ，Ⅱ ６ Ｒ， 且 ≠６ ＜ ，＞ 并且 在 韵 第 ｂ 与第 口 都 没有 １如 果 将序 偶＜ ，＞ 行 列 ， ０ ６ 添加 到 Ｒ 中 ， Ｒ 的传递 性 则
质不 会改变 。
推论 ５ 尺为 上 的二 元关 系 ， Ｒ 为传递 关 系 ， ： ， Ｂ Ｒ 。 如果 Ｂｎ￣ ｒ， 且 尺一 令 ＝ Ｒ ， ＝ｋ 则将 中的任何
一
个 序偶 删除 。 都不会 改变 Ｒ 的传递 性质 。 推论 ６ Ｒ为 上 的二 元关 系 ， 且 为传递 关系 ， Ｒ ＝ 一 ＭＲ 设 Ｒ ， ， 系 的关 系矩 阵 ， 是关 对任 意 Ⅱ ｂ Ａ， ， ∈ 且
义 ４给 出以下传 递性 判断 的等价定 义 。 定义 ７ 尺为集 合 上 的二元 关 系 ， 尺 ： ， 设 尺一 如果 对 于： Ⅱ ６ Ｖ＜ ，＞∈Ｒ ， ６ ｃ 有＜ ，＞甓Ｒ ， ＜ ，＞∈ 或 ６ ｃ Ｒ 且
＜ ．＞∈ ， 称 为 Ａ 上的传递 关 系或者 说 Ｒ在 Ａ上 具有传 递性 。定 义 ７也可 以表达 成如 下蕴含 的形式 。 Ⅱ ｃ Ｒ，则
证 明 由推论 ７可证 。
定理 ４ Ｒ 为 上 的二元 关系 ， Ｒ＝
， 令
。 ， 果 尺 是传递 关 系 ， 如 则 一定 是传 递关 系 。
证 明 假设 Ｂ不 是传 递关 系 ， 在序偶 ，＞ 存 ｙ ∈Ｂ，ｙ ∈Ｂ， ＜ ，＞ 而 ， Ｂ， ｚ ＞隹 因为 是 传递 关 系 ， 据定 理 根
助项 目（ ＫＴ ０ ０ ０ ＫＦ ２ １ Ｂ ２）
【 者 简 介］ 小 燕 （９ ４ ）女 ， 徽桐 城人 ， 教 授 ， 士 ， 究 方 向 为 ： 据 挖 掘 、 糙 集 理 论 。 作 汪 １７ 一 ， 安 副 硕 研 数 粗
３ ８
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １丘
证 明 由定 理 １ 及定 理 ２可证 。
尺。
在 二元 关系 中 ， 果 不 为空 集 ， 如 则应 用定 义 ７ 定 义 ８或 者定 理 ３都可 以很 快地 判定 Ｒ 的传 递性 。 、
比文献［— ］ 费 的时间少 ， ６ ８花 如果 为空集 ， 则文 中的判 断方法 和文献 【］文 献［］ ６、 ８一样 。