n个串并联自感线圈等效自感系数的计算要点

n个串并联线圈等效自感系数的计算
摘要：本文首先阐述了自感现象、互感现象的概念。

然后运用等效自感电动势法以及串联电路和并联电路的特点,分别对n个线圈串联和并联的总等效自感系数进行分析和讨论,进而得出比较简单的总等效自感系数的计算式。

这对分析复杂的混连电路有一定的指导意义。

关键词：串联线圈；并联线圈；等效自感系数
目录
引言 (1)
一、绪论 (1)
1.1 自感现象 (1)
1.2 互感现象 (2)
二、n个线圈串联时的等效自感系数 (2)
2.1 n个线圈的顺接串联 (2)
2.2 n个线圈的反接串联 (4)
2.3 两个串联线圈等效自感系数 (5)
三、n个线圈并联时的等效自感系数 (5)
3.1 两线圈的顺接并联 (6)
3.2 两线圈的反接并联 (7)
3.3 两个并联线圈等效自感系数 (8)
小结 (9)
参考文献 (9)
致谢 (10)
引言
在电工、电子技术等实际应用中，经常会遇到n 个无铁芯、不变形的线圈串联或并联的情况，而且各个线圈之间都存在有互感，对于这种在不忽略互感的前提下，如何将其进行等效处理，如何计算n 个串联、并联线圈的等效自感系数一直受到人们的广泛关注。

电磁学教材中只计算了单个线圈的自感现象和两个线圈的互感现象,很少提到n 个线圈的情况。

对于n 个串、并联线圈，当它等效为一个自感线圈时，其等效自感系数除了与各个线圈的自感有关外, 还与各线圈彼此之间的互感和连接方式有关。

计算n 个串联线圈等效自感系数的方法有磁链法、磁能法、等效自感电动势法。

但磁链法和磁能法在计算并联线圈的等效自感系数时，是比较复杂的，所以选择等效自感电动势法来计算]12-1[。

本文是在不忽略互感的前提下, 应用等效自感电动势法，求解n 个串联、并联线圈的等效自感系数L ，并对计算结果作了进一步的讨论。

一、绪论]1613[-
众所周知，电磁感应现象分为自感现象和互感现象。

自感现象在电工、无线电技术中有广泛的应用。

日光灯镇流器是自感用于电工技术的简单例子。

在电子线路中广泛使用自感线圈，特别是用它与电容器组成各种谐振电路来完成特定的任务。

互感现象在电工和电子学技术中有广泛的应用，变压器就是一个重要例子。

本章从自感现象和互感现象的概念出发，解释了何为自感现象和互感现象。

1.1 自感现象
电流通过线圈时，其磁场给线圈自身提供磁通。

如果电流随时间的改变而改变，磁通就会随时间而变化，线圈便会出现感应电动势。

像这种由自身的电流变化而引起的电磁感应现象叫做自感现象。

根据线圈的大小、形状和匝数的不同，那么它产生自感现象的能力也不同，假设有一个N 匝密绕的线圈，则每匝可以近似为一个闭合曲线，因此才可研究它的磁通。

设穿过每匝线圈的磁通相等，由法拉第电磁感应定律，每匝线圈的自感电动势应为：
dt
d φ
ε-
= （1）
根据毕奥—萨法尔定律: LI =自φ （2） L 为线圈的自感，它仅与线圈本身的因素有关而与电流无关，由（3）、（4）可得：
dt dI
L -=自ε （3）
1.2 互感现象
设有两个彼此靠近的线圈1 和 2，分别通入电流1I 和2I 。

当线圈1 的电流发生改变时，由它所激发的磁场也将随之改变，因而通过线圈2的磁通量也发生改变，这样线圈2中就产生感应电动势。

因此在线圈2 激起的感应电动势为：
12121=-M dI
dt ε （4）
同样, 当线圈2 的电流2I 发生改变时，也会造成通过线圈1 的磁通量发生改变，这样线圈1中就产生感应电动势。

在线圈1 中激起的感应电动势为：
21212-M dI
dt ε= （5）
像这种由于一个线圈中的电流变化，使得其周围的磁场也发生变化，从而在邻近线圈中产生感应电动势的现象，叫做互感现象。

由于互感现象产生的感生电动势称为互感电动势。

公式（4）中的12M 称为线圈2 对线圈1 的互感系数,同样公式（5）中的21M 称为线圈1 对线圈2 的互感系数；对于给定的线圈及磁介质（非铁磁质）有：1221M M = ,互感系数仅仅与两线圈的结构（如形状、大小、匝数）有关, 这个物理量是表示互感的强弱。

二、n 个线圈串联时的等效自感系数]9-1[
线圈串联的方式有两种，即顺接串联和反接串联。

假设有n 个理想的线圈，分别称为线圈1、线圈2、…、线圈 n ,它们的自感系数分别为123....n L L L L 、、,它们之间的互感分别为121312123212(1)....,....,...n n n n n n M M M M M M M M M -、、、,现在把n 个线圈串联在一起,运用等效自感电动势法以及串并联电路的特点,分别对n 个线圈顺接和反接的等效自感系数进行计算,进而得出等效自感系数的计算式。

2.1 n 个线圈的顺接串联
若两线圈之间首尾相连叫做线圈的顺接, 如图1 所示，此时各线圈中的电流方向相同。

设线圈中通入的电流为 I ,并且使电流随时间增加,那么在线圈1 中产生自感电动势1L ε和线圈2、3、4 ...n 对线圈1 的互感电动势21ε、31ε...1n ε。

这 n 个电动势方向相同, 并与电流的方向相反。

因此，线圈 1 中的感应电动势1ε是自感电动势和互感电动势之和, 即：
1L121311...n εεεεε=++++
3121
21311-...n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
=++++（） （6） 对于线圈 2 中的感应电动势2ε为：
2L212322...n εεεεε=++++
3212
12322-...n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
=++++（） （7） 同理，对于线圈 n 有:
L 12(1)...n n n n n n εεεεε-=++++
11212(1)-...n n n
n n n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
--=++++（） （8） 由串联电路性质:I I I I １２ｎ＝＝＝．．．＝,12...n εεεε=+++。

那么n 个顺接串联的线圈, 等效为一个自感线圈后, 等效自感系数L 为：
123....d d d d n
L I t
I t εεεεε
++++=-
=-
1
2
12....d d d d d n
n I t
I t
I t
εεε=-
-
--
11213122123212(1)....(....)....(....)n n n n n n n L M M M L M M M L M M M -=+++++++++++++++（）1
11
()n
n
n
i ij i i j L M j i ====+≠∑∑∑
（9） 即等效自感系数L 等于所有线圈总自感之和加所有线圈互感之和。

2.2 n 个线圈的反接串联
两个线圈逆接串联时两个线圈尾尾或首首b 、d 相接,称为线圈的反接，如图2 所示。

n 个线圈串联反接时，即相邻的两个线圈尾尾相接或首首相接, 此时相邻线圈中的电流方向相反。

对于任意一个线圈来说, 与之相邻的线圈反接, 与之相隔奇数的线圈顺接,与之相隔偶数的线圈反接。

顺接线圈在该线圈中产生的互感电动势与该线圈中的自感电动势方向相同,反接线圈在该线圈中产生的互感电动势与该线圈中的自感电动势方向相反。

当线圈的电流I 从a 处通入时,且电流随时间增加,那么在线圈1 中产生自感电动势1L ε和线圈2、3...n 对线圈1 的互感电动势21ε、31ε…1n ε。

因此，线圈1 中的感应电动势1ε是自感电动势和互感电动势之和, 即：
1L121311...n εεεεε=++++
(1)
31241
2131411---...-1n n n n dI dI dI dI dI L M M M M dt dt dt dt dt
≠=+++（） （10） 对于线圈 2 中的感应电动势2ε也是自感电动势和互感电动势之和，为：
2L212322...n εεεεε=++++
1(2)
32242
1232422-...-1n n n n dI dI dI dI dI L M M M M dt dt dt dt dt
+≠=++-++（） （11） 同理，对于线圈 n 有:
L 12(1)...n n n n n n εεεεε-=++++
3112123(1)--1(1)(1)...(1)n n n n
n n n n n n n n dI dI dI dI dI L M M M M dt dt dt dt dt
--=+--+--+-（
（） （12） 由并联电路性质:123....n I I I I I =++++，12...n εεεε====。

那么对于n 个反接串联的线圈,其等效自感系数L 为：
123....n
L dI dt
dI dt
εεεεε
++++=-
=-
1
2
12....n
n dI dt
dI dt
dI dt
εεε=-
-
--
1
11
()n
n
n
i ij i i j L M j i ====±≠∑∑∑ （13）
即n 个反接串联的线圈的总自感L 等于所有线圈总自感之和减所有反接线圈互感之和。

2.3 两个串联线圈等效自感系数
（1）若两线圈为顺接，根据上边的计算结果：1
11
L ()n
n
n
i ij i i j L M j i ====+≠∑∑∑，此时n=2，
,1i j i j =≠，，ij ji M M =，解得：1212L L L 2M =++，那么两线圈的磁通根据这个计
算结果可已看出，是相互加强的。

（2）若两线圈为反接，同理可以求得：1212L L L -2M =+，则两线的圈磁通根据这个计算结果可已看出，是相互减弱的。

三、n 个线圈并联时的等效自感系数
]
12-6[
同样，线圈并联的方式也有两种，即顺接并联和反接并联。

假设有n 个理想的线圈，即线圈1 、线圈2 、……、线圈n ,自感系数各为123....n L L L L 、、,它们之间的互感各为121312123212(1)....,....,...n n n n n n M M M M M M M M M -、、、。

现在把n 个线圈并联在一起,运用和计算线圈串联时等效自感系数L 的相同计算方法，对n 个线圈并联的顺接和反接的等效自感系数进行计算,得出等效自感系数的计算式。

3.1 两线圈的顺接并联
如图3所示，设从a 端通入的电流为 I ,并且使电流随时间增加,那么在线圈1 中产生自感电动势1L ε和线圈2、3、4 ...n 对线圈1 的互感电动势21ε、31ε...1n ε。

根据并联电路的性质:I I I I +++１２ｎ＝．．．, 12...n εεεε====。

当电流变化时，在线圈1 中产生自感电动势1L ε和线圈2、3、4 ...n 对线圈1 的互感电动势21ε、31ε...1n ε，那么在线圈1 中产生的感应电动势1ε是自感电动势和互感电动势之和。

因此，线圈1 中的感应电动势1ε为：
1L121311...n εεεεε=++++
3121
21311-...n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
=++++（） （14） 线圈 2 中的感应电动势2ε是自感电动势和互感电动势之和：
2L212322...n εεεεε=++++
3212
12322-...n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
=++++（） （15） 同理，对于线圈 n 有:
L 12(1)...n n n n n n εεεεε-=++++
11212(1)-...n n n
n n n n dI dI dI dI
L M M M dt dt dt dt
--=++++（） （16） 设n 个线圈并联后的其等效自感系数为L ，则有L dI
dt
ε=，得：
12n 12d d d d ...L L L ...L d d d d n I I I I
t t t t εεεε======+++ （17）
整理后得：
121211121222
1212...0...0........0n n n n n n n n dI dI dI L L L M L M dt dt dt dI dI dI L M L L L M dt dt dt dI dI dI L M L M L L dt dt dt ⎧
++++++=⎪⎪
⎪++++++=⎪⎨
⎪⎪
⎪++++++=⎪⎩
（）（）（）（）（）（）（）（）（） （18） 把上式可以看成是关于
12...n
dI dI dI dt da dt
、的齐次方程组, 且12...n dI dI dI dt da dt 、的取值是
任意的，即它们是线性无关的，故方程组共有无穷多解。

要使这个齐次方程组有非零解，而
12...n
dI dI dI dt da dt
、不会恒为零, 那么这个系数行列式必须为零,这样就可以计算出含有待求未知量L 的行列式为：
0...
(212)
212
1
211=+++++++++n
n
n
n n L L M L M L M L L L M L M L M L L L （19）
上式如同量子力学中的久期方程,求解该方程,便可得到等效电感L 的表达式。

3.2 两线圈的反接并联
如图4所示，当n 个线圈并联反接时，对于任意一个线圈来说，与之相邻的线圈反接，与之相隔奇数的线圈顺接，与之相隔偶数的线圈反接。

顺接线圈在该线圈中产生的互感电动势与该线圈中的自感电动势方向相同,反接线圈在该线圈中产生的互感电动势与该线圈中的自感电动势方向相反。

当线圈的电流I 从a 处通入时,且电流随时间增加,那么在线圈1 中将产生自感电动势1L ε和线圈2、3、…、n 对线圈1 的互感电动势21ε、31ε…1n ε。

令21α、31α…1n α为线圈2、3、…、n 相对于线圈1 的磁通系数，若线圈n 对线圈1产生的互感电动势与线圈1的自感电动势方向相同，那么11n α=，且11n n αα=；若线圈n 对线圈1产生的互感电动势与线圈1的自感电动势方向相反，那么1-1n α=，且11-n n αα=。

那么，线圈1 中的感应电动势1ε是自感电动势和互感电动势之和, 即：
1L121311...n εεεεε=++++
121
212111...n n n dI dI dI
L M M dt dt dt
αα=+++ （20）
线圈 2 中的感应电动势2ε：
2L212322...n εεεεε=++++
222
121222...n n n dI dI dI
L M M dt dt dt
αα=+++ （21） 同样，线圈 n 的感应电动势n ε为：
L 12(1)...n n n n n n εεεεε-=++++
1121122(1)(1)-1
...n
n n n n n n n n n n n dI dI dI dI
M M M L dt dt dt dt
ααα---=++++（） （22） 设n 个线圈并联后的等效自感系数为L ，则L dI
dt
ε=，根据并联电路性质：
12n 12...L L L ...L n dI dI dI dI
dt dt dt dt
εεεε======+++ （23）
整理得：
121212111121212222121122--...-0-...0........0n n n n n n n n n n n n dI dI dI L L L M L M dt dt dt dI dI dI L M L L L M dt dt dt dI dI dI L M L M L L dt dt dt αααααα⎧+++=⎪⎪
⎪-+++-=⎪
⎨
⎪⎪
⎪-+-++-=⎪⎩
（）（）（）（）（）（）（）（）（） （24） 上式也是一个齐次线性方程组，根据3.1中（22）式的分析，那么含有待求未知量L 的行列式为：
12121
11
1212
222
1122-...-...0......
...
...-...
n n n n n n
n n n
L L L M L M L M L L L M L M L M L L αααααα----=-- （25）
同时，ij ji M M =，ij ji αα=±，i j ≠，解这个行列式方程，就可以可求得n 个线圈反接并联后的等效电感系数L 。

3.3 两个并联线圈等效自感系数
（1）若两线圈为顺接，那么两线圈磁通相互加强，即12211αα==时，根据上边的计算结果可得：
12112
2L-L L-M 0L-M L-L =，而1221M M =，解得：21212
1212
L L -M L L L -2M =
+
（3）若两线圈为反接，那么两线圈磁通相互削弱，即1221-1αα==时，同理可得：
2
1212
1212
L L -M L L L 2M =
++
小结
在第二和第三部分分别计算了n 个线圈串联和并接的等效自感系数L ，根据以上的计算，对等效自感系数L 作如下总结： 对于串联线圈：
（1）n 个线圈串联，连接方式为顺接时，等效自感系数：1
11
L ()n n n
i ij i i j L M j i ====+≠∑∑∑，即顺接而成的线圈等效自感系数L 大于n 个线圈自感系数之和1
n i i L =∑,由此可以得出：线圈整体感应能力增强。

（2）n 个线圈反接串联时,等效自感系数:1
11
L ()n
n
n
i ij i i j L M j i ====±≠∑∑∑,即反接而成的
串联线圈，它的等效自感系数L 小于n 个线圈自感系数之和1
n
i i L =∑。

对于并联线圈：
n 个线圈并联后的等效自感系数为L 可以通过解下面行列式求出。

12121
11
1212
222
1122-...-...0......
...
...-...
n n n n n n
n n n
L L L M L M L M L L L M L M L M L L αααααα----=--
此时，ij ji M M =，ij ji αα=±（i j ≠），即顺接并联时ij ji αα=；反接并联时
ij ji αα=±。

解这个行列式方程，就可以可求得n 个线圈并联后的等效电感系数L 。

本文通过求解n 个串并联线圈的等效自感系数，分别n 个串并联线圈的等效自感系数的计算公式，这会对串并联自感电路在实际生产生活中的应用有着理论性的指导作用。

参考文献
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[16][美]马丁哈威特.天体物理概念[M].北京科学出版社,1981.
致谢
本论文是在吕仕儒老师的悉心指导下完成的。

首先感谢吕老师在论文中给了我大量的指导，在我撰写论文的每一步中，我都得到了他耐心的建议和帮助。

其次，感谢我的班主任任青老师陪伴我度过了四年的大学生活，任老师给我无微不至的关怀和帮助，对我的学习和生活产生了很大的影响，在此我向任老师表示深深的感谢。

最后，还要把感激之情献给我的家人。

感谢你们给予我的巨大支持和鼓励，使我可以全身心地投入到学习中。

正是你们给予我的精神支持和生活帮助，使我顺利完成本论文。

Calculate equivalent Self-induction Coefficient of n Coils in
Series and Parallel
Abstract: First, this article elaborates the concept of self-induction phenomenon, self-induction coefficient and mutual-induction phenomenon. Then it respectively analyzed and discussed the total equivalent self-inductance coefficient of n series and parallel coils using the method of equivalent self-inductance electromotive force and the characteristic of the series circuit and parallel circuit, and solved total equivalent self-inductance coefficient of relatively simple calculation formula. This could play an important role in analysis of complex mixed connect circuit.
Key words: Coils in series; Coils in parallel; Equivalent self-inductance coefficient。