应用光学第十七章

n 1 n'
可将其化简为
x '2
y2 n 1 2 n'
2

f '2 n 1 n'
2
由此可见，当f'>0情况下： n'>n时，曲面为椭球面 n'<n时，曲面为双曲面 n'=-n时（反射情况），曲面为抛物面 由上述非球面与一球心在F处的球面组成的透镜，将对无限远物体在F处成一理想像，将光学、 系统的组后一面非球面化，可以校正系统球差，改善像点质量
它的级数展开式可写为
zsphere
系数B，C等可写为
1 2 1 4 1 6 r 3r r 2r0 8r0 16r05
（1）
B
1 1 1 2 ( 1 b ) ( 1 e ), C (1 c), 8r03 8r03 16r05
17.3非球面的初级像差
b,c等统称为变形系数，它标志了与球面的差异，当b=c=0时，变形就消失了，这样，非球面
ym 2 处，加入校正器后，使所有光线都交在最 则当只考虑初级球差时，可认为在 3 f ' 3
2
小弥散斑处
4
r

当屏由反射镜的近轴焦点移到新焦点时，边缘和近轴光线的光程差缩短了ΔⅡ,ΔⅡ就是以新
焦点为参考点时的波像差：
2 y 2 3 ym 2 3 f' 2 2f' 4 r
17.3非球面的初级像差
同轴非球面系统的像差性质类同于球面系统，所不同的只是像差分布值不同 可将非球面方程式看做是由球面与一个中心厚度无限薄的校正板的叠合 任意一个旋转对称非球面可表示为
z
1 2 r Br 4 Cr 6 2r0
坐标原点与非球面相切的球面方程为
r 2 2r0 z z 2
17.2非球面曲面方程
v 还可以将旋转对称非球面子午截线方程式的z表示成r2的幂级数：
z Ar2 Br4 Cr 6 Dr8
v 上式中的系数可以表示为
(1 e2 ) 2 ar0 1 1 e2 A ,B ,C , 3 5 2r0 8r0 16r0
v 则上式可表示为
可见消球差的等光程面仍是二次曲面 当物体在无限远时，曲面为抛物面y2=4l'x 当l=-l'时，得到的是平面x=0
当l=l'时，曲面为球面y2=2lx-x2
当l l ' 且同号时为椭球面，异号时为双曲面
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
（2）反射面应用 二次圆锥曲面多用于作为反射镜面，其中天文望远镜要求的视场比较小，主要观察对象基本 上位于光轴上，所以大型天文望远镜多利用上述介绍的等光程反射面，构成对轴上点等光程 的反射镜系统，主要有牛顿系统、格里高利系统和卡塞格林系统三种类型
如右图所示，将光轴设为x轴，物体立于无限
远，光线入射到曲面上的折射点为P（x,y）， 曲面要求消球差，根据费马原理，满足等光程 要求，即近轴光线的光程与远轴光线的光程相 等，这样的曲面方程为
n' f ' nx n' ( f ' x) 2 y 2
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
在上式中，令 x' x f '
的数学公式求得，右图表示一个曲面的 子午截线，由图可知
tan dy / dx y'
对于法线的倾角φ ，显然有
tan dx / dy 1 / y'
曲面的子午截线与弧失截线的曲率半径分别为
3 2
rt (1 y '2 ) / y ' ' rs y / cos y 1 y '2
对于轴上点来说，满足等光程条件，但是对轴外点来说，彗差和像散却很大，因此视场受到 限制
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
（3）高次曲面的应用 为了扩大系统的视场，可以把主镜和副镜做成高次曲面，代替原来的二次曲面 缺点： 主镜焦面不能独立使用 不能用更换副镜来改变系统的组合焦距
（4）校正器 另一种扩大系统视场的方法是在像面附近加入透镜式的视场校正器，用以校正反射系统的彗 差和像散
方程可写为
z
将上式与（1）式相减，的
1 2 1 b 4 1 c 6 r 3 r r 5 2r0 8r0 16r0
z
b 4 c 6 r r 3 5 8r0 16r0
式中Δ z为中心无限薄的校正板的厚度增量，仅考虑第一项，Δ z引起的附加光程差为
l (n n' )z (n n' )
b 4 r 3 8r0
当光阑处于非球面顶点时，非球面与近轴半径相同的球面相比，产生的初级波差为
b 4 (n n' )e 2 4 ~ 4 W (n n' ) 3 r hr 3 8r0 8r0
17.3非球面的初级像差
相应的初级像差系数增量为
b 4 (n'n)e 2 4 S (n n' ) 3 h h 3 r0 r0 S 0 S 0 S V 0 S V 0
y是校正器上曲面的垂直坐标，ym仍是边缘光线入射高度
加入校正器后，边缘光线和近轴光线到新焦点的总光程差以ΔⅢ表示：
3y2 2 y4 (n 1)dy (n 1)dy 3 ym 3 8r 4r
17.5施密特校正器的设计
当ΔⅢ=0，即消球差情况下，校正器的厚度为：
Thank you!
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
（1）消球差等光程反射面 右图中，轴上物点A，经反射面后成理想像于点A'，根据等光程原理有 a+a'=l+l' 即
(l x) 2 y 2 (l ' x) 2 y 2 l l '
展开后经整理得
y2
4ll ' 4ll ' x x2 2 l l' (l l ' )
应用光学
第十七章 非球面及其在光学系 统中的应用
*
马韬
苏州大学现代光学所
matao@
苏州市十梓街1号，215006
目录
1 2 非球面的概念 非球面的曲面方程 非球面的初级像差
3
4 4
消球差的等光程折射非球面
（1）消球差等光程反射面 （2）反射面应用 （3）高次曲面的应用
5
施密特校正器的设计
y4 y6 1 2( x1 x) 3 5 4r 8r
当反射镜在空气中，n'=-1光程差即为波像差W， 只考虑初级像差时，可得
2 ym L' 3 f '2 r
上式表示边缘球差，其中ym表示缘边光线的入射高度
17.5施密特校正器的设计
假设反射系统的球差δL'所形成的最小弥散斑距离近轴光像点为3δL'/4
了产生与反射镜相反符号的球差，它的补偿原理可用费马原理说明
由于校正器的边缘比中心稍厚，边缘光线的光程通过校正器后便得到了一个增量，如果这 个增量恰好等于由反射镜引起的光程差，则到达焦点F'时，各光程相等，球差便得到了校 正
17.5施密特校正器的设计
由于光线通过校正器时，边缘会引起强烈 的折射，产生很大的色差，为了克服这个 缺点，施密特又做了改进，这就是第二种 形式的校正器，如右图所示
dy
1 4 3 2 2 y y ym 3 4(n 1)r 2
由上式可以看出，光线不发生偏折的中性区离光轴为 y 3 / 4 y m 施密特系统的像场弯曲初级像差理论，经推导得
1 n' n n' R nn ' r
故
R r/2
R为像面弯曲的曲率半径，r是球面反射镜的曲率半径，因此这种系统中若像面做成曲面， 则整个像面是清晰的
由此可见，按初级像差理论 ① 单个非球面只能用来校正一种初级像差 ② 由于SⅣ=0，非球面化不能改变初级场曲系数 光阑不在校正板时
b 4 (n'n)e 2 4 S (n n' ) 3 h h r0 r03 S S (hz / h) S S (hz / h) 2 S V 0 S V S (hz / h)3
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
右图为以校正器示意图，校正器的作用是要校正球面反射镜的球差，为了避免附加像差，校
正器做的很薄，且放在反射镜的曲率中心即光阑位置处
优点：有较大的相对孔径 缺点：系统长度比较大，等于主反射 镜焦距的两倍
17.5施密特校正器的设计
第一种形式的施密特校正器如吓图所示，它的一面是平面，另一面是非球面，边缘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度比较大，是为
③ 当光阑位于折射面上时，非球面化仅只影响球差系数
④ 随着光阑的远离折射面，非球面化对轴外像差的影响也随之增大
⑤ 非球面化对初级色差系数是无影响的
17.4二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面
二次圆锥曲面及其衍生高次项曲面光学元件是在非球面应用中比较广泛的一类，包括透镜、
反射镜和校正器等
1.消球差的等光程折射非球面
17.2非球面曲面方程
1.旋转对称的非球面方程 光学设计时常将光轴设为z轴，坐标原点与非球面顶点重合，关于z轴对称的旋转对称非球面 方程为
r 2 2r0 z (1 e2 ) z 2 az3 z 4 z 5
其中r0为近轴部分的曲率半径，r2=x2+y2 当上式中最高次项为z的二次项时，它表示的曲面称为二次曲面，不同e2表示的曲线形状不同 e2<0扁球面 e2=0球面 0<e2<1椭圆面 e2=1抛物面 e2>1双曲面
2
17.1概述
1.非球面的概念
v 广义的非球面是指不能用球面定义描述的面形，非球面囊括了各种各样的面形，其中有：
旋转对称的非球面和非旋转对称的非球面 关于两轴对称的面形 排列有规律的微结构阵型 包含衍射结构的光学表面 形状各异的自由曲面 v 一般的非球面概念多是狭义的，主要指的是能够用含有非球面系数的高次多项式来表示的 面形，其中心到边缘的曲率半径连续发生变化 v 在光学系统中常常引进旋转对称非球面校正除场曲外的各种单色像差。在光阑附近使用非 球面可以校正各带的高级球差，在像面前或离光阑很远的地方用非球面可以校正像散和畸 变
下面对第二种施密特校正器的厚度方程进 行推导 波像差W和球差δL'的关系为 W=n'δL'ydy/f'2 球面的级数展开式为
x
1 2 1 4 1 5 y 3 y y 5 2r 8r 16 r
17.5施密特校正器的设计
二次抛物面的方程为
x1
1 2 y 2r
如右图所示，可知球面反射镜的光程差为
z
cr 2 1 1 (1 k )c 2 r 2
a 2 r 2 a 4 r 4 a6 r 6
v
此式是偶次项非球面方程，其中，c=1/r0,k=-e2,a2,a4,a6等为多项式系数，k为锥面度
17.2非球面曲面方程
2.非球面的法线及曲率
一般对称非球面的法线及其曲率半径由熟知