数学建模中的预测方法：时间序列分析模型

ut
vjB
j
ut
j0
（3）自回归移动平均【ARMA】模型【B-J方法建 模】
自回归移动平均序列：
Xt 1Xt1 2 Xt2 L p Xt p ut 1ut1 2ut2 L qutq 【5
【5】称为 (
p,
q阶) 的自回归移动平均模型，记为ARMA
】
( p,
q)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注1：自回归系数 1,2 ,L , p 移动平均系数 1,2,L ,q 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形
X t (B)ut
注1：移动平均过程无条件平稳
【4 】
注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
1 w1B w2B2 L
Xt
wi
Bi
Xt
ut
i0
注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA
过程，即 Xt 1 v1B v2B2 L
隔 期的k观测值之间的相关程度。
nk
( Xt X )( Xtk X )
k t1 n
(Xt X )2
t 1
2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 Xt1, Xt2,L , Xtk1
的条件下， X t 与 Xtk 之间的条件相关关系。其相关程度
用偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型， 需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节 周期一致.
列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调 销售额等时间序列都具有明显的季节变化.
一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个 月；季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
判断时间序列季节性的标准为：自相关系数是否与0 有显著差异。
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情 况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序 列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判 断错误.
数学建模中的预测方法
1. 插值与拟合方法：小样本内部预测
应用案例：
（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题； （2）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
2.回归模型方法：大样本的内部预测
注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6
注4：ARMA过程的平稳条件是(B) 的根均在单位圆外 】
可逆条件是 (B) 的根都在单位圆外
2、随机时间序列的特性分析
（1）时序特性的研究工具
1）自相关
构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为 自相关。
自相关程度由自相关系数 度 k量，表示时间序列中相
1
k 1
kk
k
k 1, j
j 1
k j
k 1
1 k 1, j j
j 1
k 1 k 2,3,L
k 其中 k是滞后 期的自相关系数，
kj k1, j kk k1,k j , j 1, 2,L , k 1
（2）时间序列的特性分析
1）随机性 如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间不
注2：一般假定 X均t 值为0，否则令
X
t
Xt
记 B为k 步k 滞后算子，即
表示为
Bk X，t 则 X模t型k 【1】可
Xt 1BXt 2B2 Xt L pBp Xt ut
令 (B) 11B 2B，2 模L型可简pB写p 为
(B) X t ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 (B)
5.神经网络方法：大样本的未来预测．
时间序列分析模型
一、时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种 精度较高的时间序列短期预测方法.
通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列 的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测.
三种基本类型：自回归（AR：Auto-regressive）模 型；移动平均（MA：Moving Average）模型；自回归 移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
的根均在单位圆外
（2）移动平均【MA】模型
移动平均序列 ：
X t ut 1ut1 2ut2 L qutq
【3
】
式【3】称为q 阶移动平均模型，记为MA（q ）
注：实参数 1,2 ,L ,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令(B) 11B 2B2 L qBq 则模型【3】可简写为
存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0 没有显著差异。
2）平稳性
若时间序列满足
1）对任意时间 t，其均值恒为常数； 2）对任意时间 t和 ，s 其自相关系数只与时间间隔 有关t ，s而与 和 的t起始点s无关。那么，这个时间序
列就称为平稳时间序列 。
3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计； （2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测
（1）自回归【 AR 】模型
自回归序列：
X t 1 X t1 2 X t2 L p X t p ut 【1 】
【1】式称为 p阶自回归模型，记为AR（ p）
注1：实参数 1,2 ,L 称,为p 自回归系数，是待估参数.随机
项 是相互u独t 立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为
的正态分布. 2随机项与滞后变量不相关。
应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （4）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的 未来预测；
应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。