大一高数课件第八章 8-1-1多元函数的基本概念

单值分支: z a2 x2 y2 z a2 x2 y2.
z
o
y
x
三、多元函数的极限
定义1 设函数 z f ( x, y) 的定义域为 D, P0( x0 , y0 )是 D 的内点或边界点，如果 P 以任何方式无限趋近于 P0 时，
函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数 A,
则称A为函数z f (x, y) 当 x x0 y y0 时的极限
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1时, 2，, 3便为数轴、平面、空间两点间的距
离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U(P0, ) P | PP0 | , P Rn
例如, 函数
f
(
x,
y)
x
xy 2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0,0极) 限不存在, 故 (0,为0)其间断点.
又如, 函数
在圆周 x2 y2 1 上间断.
注（1） 如果函数在 D上各点处都连续, 则称此函数在 上D
连续 （2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面
都 有 | f ( x, y) A | 成 立 ， 则 称 A 为 函 数 z f ( x, y) 当
x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明： （1）定义中 P 的P方0 式是任意的；
无界开区域．
o
y
o
x
x
（3）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
( x1, x2 ,, xn ) 的 全 体 为 n 维 空 间 ， 而 每 个 n 元 数 组
( x1, x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点，数 xi 称为该点的
第i 个坐标.
说明： n维空间的记号为 Rn;
P P0
例７ 解
求 lim xy 1 1. x0 xy
y0
原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念
（注意趋近方式的任意性）
闭区域上连续函数的性质
思考题
y0 )
例1 求
f ( x, y) arcsin的(3定 义x2域 ．y2 ) x y2
解
3 x
x2 y2
y2 0
1
2 x
x2 y2
y2
4
所求定义域为
D {( x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}. 是有界闭区域
例如 z ln(x y) 的定义域
y
D ( x, y) x y 0
当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称为二元函数的 图形.
二元函数的图形 通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
左图球面. D {( x, y) x2 y2 a2 }.
，使得对于适合不等式0 | PP0 | 的一切点 P D ，
都有 | f (P) A | 成 立，则称 A 为 n 元函数 f (P) 当
P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
四、多元函数的连续性
定义3 设 n元函数 f (P) 的定义域为点集 D, P0 是其内点或 边界点且 P0 D，如果 lim f (P) f (P0)则称n元函数 f (P)
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
D 称为该函数的定义域，x, y 称为自变量，z 称为因变量
数集 W z z f ( x, y), ( x, y) D 称为函数的值域
z f ( x, y) 在 ( x0, y0 ) 点的值记为
z
x x0 或
y y0
f
( x0,
2、 若 f ( x, y) x 2 y 2 ,则 f (2,3) __________; 2 xy
f (1, y ) ________________. x
3、若 f ( y ) x2 y2 ( y 0) ,则 f ( x) ________.
x
y
4、若
f(x
y, y) x
x2
解: 设 P( x沿, y直) 线 趋y 于 k点x , (0,0)
lim
x0
f
( x,
y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
1
k k
2
ykx
k值不同极限不同 !
故 f ( x, y) 在 (0,0点) 极限不存在 .
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P( x, y)沿 y kx 趋向于 P0( x0, y0)，若极限值与k 有 关，则可断言极限不存在；
y 2 ,则
f (x, y)
_________.
函数
4x y2 z
ln(1 x 2 y 2 )
的定义域是__________.
6、函数 z x y 的定义域是______________. 7、函数 z arcsin y 的定义域是_______________.
例如
z
x2 x y 1 y2
z sin(x y) z ln(1 x y)
等都是二元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f (P)时，如果 f (P) 是初等函
P P0
数，且 P0 是 f (P) 的定义域的内点，则 f (P) 在 点 P0 处连续，于是 lim f (P) f (P0 ).
记为 lim f ( x, y) A 或 f (x, y) A ( 0)
x x0
y y0
这里 | PP0 |
定 义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D, P0( x0 , y0 ) 是
D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数 ， 总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点，
是无界开区域
z ln xy 的定义域
o
x
D ( x, y) xy 0 不是区域
（2） 二元函数 z f (的x,图y)形
设函数 z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意取定的
P( x, y) D，对应的函数 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐
标、 y为纵坐标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)，
若点(x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0, y0)时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否断定
lim f (x, y) A？
( x, y)( x0 , y0 )
思考题解答 不能.
例
f
(
x,
y)
(
x3 x2
y2 y4
)2
,
( x, y) (0,0)
取 y kx,
f
(
x,
kx)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立．
例3 求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 x2
y y2
,
y0
其中
sin( x2 y)
lim
x0
x2 y
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
U(P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成
U ( P0 ). 点 P0的去心邻域记为
0 PP0 δ
• P0
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的
一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ，
y
o
x
y
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP K 对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集．
例如， {( x, y) | 1 x2 y2 4}
有界闭区域；
y
{( x, y) | x y 0}
P P0
在点 P0处连续.
对二元函数 f (x, y) ，如果 lim f ( x, y) f ( x0, y0 )
x x0 y y0
则称函数 f (x, y) 在点 P0(x0, y0) 处连续.
设 P0是函数 f (P)的定义域的内点或边界点，如果 f (P) 在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P)的间断点.
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y)存在，但两者不相
x x0 y y0
等，此时也可断言 f ( x, y)在点 P0( x0, y0)处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定义 2 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是其内
点或边界点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域 上D的多元连续函数，在 上至D 少取得它
的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得 两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任 何值至少一次．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限 次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证
lim( x2
x0
y2 )sin
x2
1
y2
0
y0
证
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
x2
y2
sin x2
1
y2
x2 y2
0, , 当 0 ( x 0)2 ( 时y ，0)2
内点、边界点、区域等概念也可定义．
二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
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（1）二元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) D，
变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量
x, y的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
(
x3 k2x2 x2k4x4 )2
x0 0
但是 lim f不( x存, y在) .
( x, y)(0,0)
原因为若取 x y2,
f
(
y2,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
1. 4
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty)=____. y
则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
•P
E
如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集.
例如， E1 {( x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
•P
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E），则称 P 为 E 的边界点．
第八章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第八章
第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、多元函数的概念
（源自文库）邻域
设 P0( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某一正数，
与点 P0( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为U (P0 , )，
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
0.
y0
• 若当点 P( x, y以) 不同方式趋于 P0( x0, y0)时, 函数趋于不同
值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在 .
例4. 讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0,0的) 极限.
•P
E 的边界点的全体称为E 的边界．
E
设 D 是开集．如果对于 D内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于 D，则称 开集 D 是连通的．
•
•
连通的开集称为区域或开区域． 例如，
{( x, y) | 1 x2 y2 4}. 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如， {(x, y) | 1 x2 y2 4}.