第五章 计算机实时控制系统的设计5(状态观测器)

2 2 1
将方程式（5.128）代入到（5.127）式中，得
y(k ) Cx(k ) CG 1 x(k 1) CG 1 Hu(k )
同理
y (k 1) Cx (k 1) CG 2 x (k 1) CG 2 Hu(k ) CG 1 Hu(k 1) y (k 2) Cx (k 2) CG 3 x (k 1) CG 3 Hu(k ) CG 2 Hu(k 1) CG 1 Hu(k 2) y (k n 1) Cx (k n 1) CG n x (k 1) CG n Hu(k )
或
因为上式的右边都是已知的，只要下述矩阵的秩为满秩， 即 CG 1
2 CG rank n n CG
（5.131）
就可以求得状态 x(k+1) 。 上G n
因为矩阵 G 非奇异，（ 5.131 ）式的左边每一行乘 ，不为改变矩阵的秩。因此（5.131）等值为
1
1
将（5.128）式代入（5.129），得
x (k 1) G [G x (k 1) G Hu(k )] G Hu(k 1) G x (k 1) G H u(k ) G Hu(k 1)
同理
x (k 2) G 2 x (k ) G 2 H u(k 1) G 1 H (k 2) G 3 x ( k 1) G 3 Hu( k ) G 2 Hu( k 1) G 1 Hu( k 2) x (k n 1) G n x (k 1) G n Hu(k ) G n 1 Hu(k 1) G 1 Hu( k n 1)
CG 2 CG x (k 1) n CG
1 1
y (k ) y (k 1) y (k n 1) 0 CG 1 H CG n 1 H u( k ) 0 u(k 1) 1 CG H u(k n 1) 0
~ 在下面的讨论中，引用符号 x(k ) 表示状态的观测向量。在 ~ 很多系统中，用状态的观测向量 x(k ) 作为状态反馈，来获 得期望的控制向量u (k ) 。在状态观测器中，输出量 y (k ) x(k ) 作为输出量。 和控制量u (k ) 作为输入量，而 ~
1、状态观测的必要与充足条件 图5.20表示用状态观测器进行控制的系统。
§5.5 计算机控制系统的状态观测器
上节，我们讨论了极点配置的设计方法。即，需用全状态 反馈作为期望的控制向量。但在实际工程中，不是所有的 状态都是可以直接测量的。这时，上一章讨论的可观性的 概念起着重要的作用。从下面的分析将可看到，只有当系 统的可观性条件满足时，才能设计状态观测器。 例如，很多系统，只有输出变量是可以测的。因此对于不 能直接测量的状态变量，需要对它们进行估计。通常称这 种估计为观测器，在实际系统中，需要从输出和控制变量 来观测或估计不可测量的状态变量。 这时，上一章讨论的可观性的概念起着重要的作用。从 下面的分析将可看到，只有当系统的可观性条件满足时， 才能设计状态观测器。
x(k 1) (G KeC ) x(k ) Hu(k ) Key(k )
与方程式 (5.138) 相减，可得观测器的误差方程式为
x(k 1) ~ x(k 1) (G KeC )[ x(k ) ~ x(k )] （5.139） x(k ) 之间的差值作为误差 e(k)， 我们定义 x (k ) 与 ~
即
~(k ) e(k ) x(k )x
于是，方程式（5.139）成为
e(k 1) (G KeC )e(kபைடு நூலகம்)
（5.140）
由（5.140）式可见，误差信号的动态特性处决于 (G K eC ) 的特征值，如果矩阵 G K e C 对任意的初始值能使误差向 x (0) 的值如何，状态观 量收敛于零值。那么，不管 x (0) 和 ~ x(k )总会收敛于 x (k ) 。因此，我们可以选取合适的 测值 ~ (G K eC ) 的特征值，使误差向量能尽快地收敛于零值。
~ ~(k ) Hu(k ) K [ y(k ) Cx ~(k )] x(k 1) Gx e
2、全阶状态观测器 如果系统的状态观测器的阶次与系统的阶次相等，这样 的状态观测器称为全阶状态观测器。
x(k )与 假设 x(k) 是需要观测的状态，我们总希望观测值 ~ x (k ) 实际值尽可能地接近。 在下面的分析中，假定状态是不可测量的。因此，状态 x(k ) 观测值 ~ 不可能与实际状态 x (k ) 进行比较。如果输出 量 y(k ) Cx (k ) 是可以测量的，这样输出量的估计值 ~ ~(k ) y(k ) Cx 与输出量的测量值是可以进行比较的。使用 输出测量值与估计值之间的误差，作为校正项的状态观测 反馈控制系统，如图5.21所示。
CG n1 Hu(k 1) CG 1 Hu(k n 1)
组合上述n个方程式为矩阵方程，得
y (k ) CG 1 y ( k 1) 2 CG x ( k 1) n y ( k n 1) CG CG 1 H u( k ) 0 0 2 1 u ( k 1) CG H CG H 0 n n 1 1 u ( k n 1) H CG H CG H CG CG 1 y (k ) y ( k 1) 2 CG x ( k 1) n y ( k n 1) CG CG 1 H 2 CG H n CG H 0 CG 1 H CG n 1 H 0 1 CG H 0 u( k ) u( k 1) （ 5.130） u ( k n 1)
图5.20 有状态观测器的控制系统
现在讨论状态向量能够观测的必要与充足条件。 由图5-20可得状态和输出方程为
x(k 1) Gx (k ) Hu(k ) y (k ) Cx (k )
（5.126） （5.127）
为了能对状态向量进行观测，必须能够从y(k), y(k-1) ,…，y(k-n+1)和 u(k ), u(k 1), , u(k n 1) 来获得 x(k+1)
CG 2 CG n CG
1
1
CG 1 H 2 CG H n CG H
由上述的分析得出，当系统是完全可观测的条件下，可 由方程式（ 5.130）求得状态 x(k+1)。但由于实际系统中， 存在着外界扰动和测量噪声，不能获得精确的状态向量， 所以对有扰动的系统，需要采用观测的方法。如果矩阵 C 不是1xn 矩阵，而是 mxn矩阵 (m>1)。这样，（5.131）式 的逆阵就不能定义，故不能使用（ 5.133 ）式来求取状态， 这时，可以采用另一种方法，即对系统的状态向量进行估 计，并构成一个原系统的动态模型。例如，考虑由方程式 （5.126）和（5.127）所描述的控制系统，假设状态 (k )来 近 似 x(k )， 得 用动态模型的状态观测值 x （5.134） （5.134） ~ ~(k ) Hu(k ) x(k 1) Gx (5.135) ~ ~(k ) y (k ) Cx
u
x
yy
x (k 1)
~ x (k )
y
~
u u
图5.21 状态观测反馈控制系统
由图5.21，可得 ~(k ) （5.136） u(k ) Kx ~ ~(k ) Hu(k ) K [ y(k ) ~ x(k 1) Gx y(k )] （5.137） e 其中 K e 观测器的反馈增益矩阵（nxm）维。（5.137）式 可改写为 ~ x(k 1) (G K eC ) ~ x(k ) Hu(k ) K e y(k ) （5.138） x (k 1) 是比测量值 在方程式（5.138）中，因为观测值 ~ Y(k) 超前一个采样周期，所以由（5.138）式给出的状态 观测器称为预报观测器。其中 G K e C 的特征值为观测器 的极点。 （1）全阶状态观测器的动态误差 将方程式
其中 C,G 和 H与原系统相同，假定动态模型与原系统有同 ~ x ( k ) 样控制信号 u(k)，初始条件也是同样的，那末 与 x(k ) ~ x ( k ) 将是相同的，如果初始条件是不同的，那末 与 x(k ) 也是不同的。 当初始条件不同时，用 e(k) 表示 间的误差，即 e (k ) x (k ) ~ x (k ) 将(5.126)式减去（5.134）式，得
x(k )
与
~ x(k ) 之
~(k 1) G[x(k )~ x(k 1) x x(k )]
或
e (k 1) Ge(k )
在上式中，误差向量可能存在着两种情况。一种情况， x(k ) 状态观测值是逼近于真 e(k) 是逼近于零的。这样，~ 实值 x (k ) 的；另一种情况，e(k)是不逼近于零的。这样， x(k ) 也就是不逼近真实值 x (k ) 。 状态观测值 ~
。
由方程式（5.126），得 或
G x(k 1) x(k ) G Hu(k )
1
1
x(k ) G x(k 1) G Hu(k )
1
1
（5.128）
此处要求G非奇异
移前1次，得
x(k 1) G x(k ) G Hu(k 1)（5.129）
1 1 1 1
因此，需要对（ 5.134 ）和（5.135 ）式所示的模型进行修 正。因为系统的状态可能不能测量，但输出量 y(k)往往是 ~(k ) 之间的偏 可测的。用输出量的测量值 y(k)与估计值 Cx ~(k 1) ，这样，方程式（5.134）成 差来校正状态的观测值 x 为 （5.13） 其中 K e 为一个权矩阵。用上式获得的状态观测值，作为 图5.20中的状态反馈值，可以减少动态模型与真实系统之 间的误差。
（2）预报观测器的设计 下面讨论求取观测器的反馈增益矩阵 K e 重写方程式（5.140），得
CG n 1 n2 CG rank n C
（5.132）
上式也等值于
rank[C * G * C * (G*)n1C*] n
方程式（5.132）就是由（5.126）式和（5.127）式所描述系统的状 态完全可观测的 必要与充足条件。也就是说，如果满足方程式 （5.132），系统的状态是完全可观测的。那么，状态 x (k 1) 就可 从 u (k ), u (k 1), u (k n 1)和 y (k ), y (k 1), , y (k n 1) 中求得。 如果 y(k) 是标量，在这一特殊情况下，矩阵C是 1xn 矩阵。将方程式（ 5.130 ）的两边乘上由方程式（ 5.131）描述 的逆矩阵，可以求得 x(k+1)为