在职研究生数值分析深刻复习资料及答案解析

在职研究生数值分析复习资料

考试时间：120分钟

一、单项选择题(每小题4分，共20分)

1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

2. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)

3. n 阶差商递推定义为：0

1102110]

,,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设

差商表如下：

那么差商f [1，3，4]＝( A )。

A. (15－0)/(4－1)＝5

B. (13－1)/(4－3)=12

C. 4

D. －5/4

4. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( B )

(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散 5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( A )。

A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式

B. 在区间[a ，b]上连续的函数

C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数

D. 在每个子区间上可微的多项式

二、填空题(每空2分，共20分)

1. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是

226104()25555

P x x x =-

++（题目有问题，或许应该是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是

1,(0,1,2...)1

k

x k k k k x e x x k x -+-=-=+

3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}

()k X 收敛的充分必要条件是k k X X →∞

=()*lim 。

4 .设 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ， ‖A ‖∞＝___5____，‖A ‖1＝___5___，‖X ‖∞＝__ 3 _____。

5. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ⨯b 有 2 位有效数字，a +b 有 1 位有效数字。

6. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。

7. 求积公式)4

3

(32)21(31)41(32)(1

0f f f dx x f +-≈

⎰具有___3__ 次代数精度。 三、利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近

似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。

四、已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式

（)]()(2)([211

b f x f a f h

T n k k n ++=∑-=），计算积分⎰=10dx e I x ，并估计误差

（),(),("12

)(2

b a f h a b f R n ∈--

=ηη）

。

五、已知方程组⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a

（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛；

（3）取5=a ,T X )10

1

,51,101()0(=，求出)2(X 。

六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y 值，保留小数点后四位）。

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<-=1)0()10(2'y x y x y y 七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-=+--=+-11

2123454

321321321x x x x x x x x x 八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。

⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=-+-=--10

52151023210321

321321x x x x x x x x x 九、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算

⎰

20

)(dx x f ，

（2）估计截断误差的大小 十、设有线性方程组b Ax =，其中 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=582,3015515103531b A

（1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性 十一、用牛顿迭代法求方程0x

x e

--=的根。（迭代三步即可）

十二、已知单调连续函数y =f (x )的如下数据，若用插值法计算，x 约为多少时

f (x )=0.5，要求计算结果保留小数点后4位。