对偶问题的基本性质
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2_02对偶问题的基本性质
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一、对称定理： 对称定理： 定理： 对偶问题的对偶是原问题。 定理： 对偶问题的对偶是原问题 弱对偶性定理： 二、弱对偶性定理： ——若 X 和 Y 分别是原问题（P） 分别是原问题（ 若 及对偶问题（ 的可行解， 及对偶问题（D）的可行解，则有
CX ≤ Yb
对 偶 问 题
从弱对偶性可得到以下重要结论： 从弱对偶性可得到以下重要结论：
j
2
1
0
0
0
CB
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X
B
b
15 4 1
x1
x2 x3 x4 x5
0 2 0
x3 x1 x5
cj − z j
基解（ （ ）基解（0,1/3,0,0,-1/3） 0 D）5 1 0 0） 1 2/6 0 1 /6 0 ——非可行 非可行 0 4/6 0 -1/6 1 0 1/3 0 -1/3 0
c →
j
2
1
0
0
0
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CB
0 0 0
X
B
b
15 24 5
x1
x2 x3 x4 x5
x3 x4 x5
0 ）基解（0,0,0,-2,-1） 5 0 ） 0 （D）基解（1 6 2 0 1 0 ——非可行 0 1 1 非可行 0 1
cj − z j
− y4 − y5 − y1 − y2 − y3
解：
x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 ≥ 4 s .t . 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 + x 5 ≥ 3 x ,x ,x ,x ,x ≥ 0 3 4 5 1 2
运筹学(对偶问题及性质)
1
若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
2
当B为最优基时，应有
3
令Y=CBB-1, 则
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0 -Ys1
XB XN
Xs
0 Xs b
B N
I
cj-zj
CB CN
0
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
02
对偶性质
对偶性质
例2.4 已知线性规划 的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。 解：写出原问题的对偶问题，即 标准化
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：
对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： 吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
原问题的松弛变量
x1
x2
x3
x4
x5
x3
15/2
0
0
1
5/4
-15/2
x1
7/2
若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
2
当B为最优基时，应有
3
令Y=CBB-1, 则
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0 -Ys1
XB XN
Xs
0 Xs b
B N
I
cj-zj
CB CN
0
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
02
对偶性质
对偶性质
例2.4 已知线性规划 的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。 解：写出原问题的对偶问题，即 标准化
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：
对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： 吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
原问题的松弛变量
x1
x2
x3
x4
x5
x3
15/2
0
0
1
5/4
-15/2
x1
7/2
对偶问题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式讲授式、启发式本章知识结构图第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。
例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x现从另一角度提出问题。
假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。
显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。
设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h)设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。
因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A ，2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。
由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥25y 1+2y 2+y 3≥1 (2.1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 (2.2) 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3)，再综合(2.1)，(2.2)式有。
(LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题，通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。
二、对称形式下对偶问题的一般形式定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号’。
对偶问题的性质
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。
1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。
运筹学第3章 对偶问题
y1 + 2 y2 + 4 y3 = 3 2 y1 + y2 + 3 y3 = 2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
算例三
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
4.2_对偶性质
例： max Z x1 2x2 3x3 4x4
试估计它们目
（P）2xx11
2x2 2x3 3x4 20 x2 3x3 2x4 20
标函数的界。
x14 0 解：minW 20 y1 20 y2
__
可知：__X =（1，1，1，
1），Y =（1，1），
分别是（P）和（D）
y1 2 y2 1
st
x1 2x2 x1 x2
10 0
x1 5, x2 0
（1）用图解法求解上述问题； （2）写出它的对偶问题； （3）指出对偶最优解中的基变量。
对偶最优解 中的基变量是
y2和y4!
21
6、解的对应性定理
LP （ max ） 的 初 始 基 变 量 的 检 验 数 的 相 反 数 对 应 于 DP （min）的一组基本解。
24
可行解（0，1）， 目标函数值：24
9
4、对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值必相等。
例：
原始问题
对偶问题
MinZ 6x1 3x2
2 s.t.4
x1 x1
4 x2 3x2
16 24
x1, x2 0
MaxW 16 y1 24 y2
2 y1 4 y2 6 s.t.4 y1 3 y2 3
y1, y2 0
原始问题的最 优解（0，8）
目标函数 值都为24
对偶问题的最优 解（0，1）
10
5、互补松弛性
原问题和对偶问题达到最优时的充分必要条件是YsX*=0， Y*Xs=0。
即在LP的最优解中，若某一约束的对偶变量值为非零，则该 约束条件取严格的等式；反之，如果约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。
3.2 对偶问题的基本性质
MinW
与 与
s.t 变量
一致 相反
s.t 变量无约束 s.t为等号
MinZ 2
s.t 为等号 变量无约束
例2：试求下述LP问题的对偶问题
x
1
1
x
2
2
3
x
3
1
3
4
x
3
x
4
5 .......... .......... ...( 1)
x
2
5
x
3
x
4
2x
2
x
x
4 .......... .......... ..( 2 )
B b
1
时
y
0,
s1
y
s2
c
N
c B
B
1
N
MaxZ 例1：
2
x
1
x
2
s .t
6
5
1
x
2
1
x
2
15
2
x
1
x
24
化成标准形式
x
2
2
5
0
x ,x
MaxZ
5
6
2
x
1
x
2
0
x
3
0
x
4
0
x
5
x x
1
2 x2 x2 1
x
2
x
3
i
c x ˆ
j j 1
n
j
ˆ b y,
2.2运筹学 对偶问题的基本性质
y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应 约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原 问 题
对偶 问题
变量性质
检验数 基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件 不变的情况 下， 单位资源变 化所引起的 目标函数的 最优值的变 化。
运筹学_9 对偶问题的性质
Operational Research
4
对偶问题的性质：七个定理
（1）对称性定理：原问题－对偶问题之间的关系（对偶的对偶是原问题） （2）弱对偶定理：原－对偶问题可行解之间的关系（CX （0） ≤Y（0）b ） 最优定理：可行解满足一定条件下（ CX （0） ＝Y（0）b ）， X 、Y（0）成为最优解 无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。 （3）兼容性定理：可行基检验数相反数是对偶问题的一个基本解。 互补松弛定理： Y（0） 、X Y （0 ） X
两边乘负号两边再乘负号a取转置ya?operationalresearch弱对偶性定理弱对偶性定理原对偶问题原对偶问题可行解之间可行解之间的关系的关系cxcx00yy0011原问题任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值原问题任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界都小于等于
Operational Research
12
互补松弛定理
Y（0） 、X （0）是最优解的充要条件是 Y（0） X （0） s＝0、 Y（0） s X （0） ＝0
• 维度问题：X为n维，Ys约束n个
目的：通过对偶问题求解原问题
例 1-25
max z 3x1 4 x2 s.t x1 x2 6 x 1 2 x2 8 2 x2 6 x1 , x2 0
（0）是最优解的充要条件是 （0）
强对偶定理：原问题有最优解，对偶问题也有，且目标函数相等。
（0）
s＝0、 Y（0） s X （0） ＝0
Operational Research
5
对称性定理
• 对偶的对偶是原问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0
运筹学之对偶问题
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
对偶问题
明该资源在生产过程中没有做出贡献，只能理解为第i种 资源有剩余时再增加该资源量不能给企业带来利润或产值 的增加。 4、影子价格是企业生产过程中资源的一种隐含的潜在价值， 表明单位资源的贡献，与市场价格是不同的两个概念。 5、影子价格是一个变量。
对偶单纯形法 思路：(max型)
单纯形法：找基B，满足B-1b0，但 C - CBB-1 A不 全 0，（即检验数）。
XB XB B
CB
XN XS b N Eb
CN 0
XB XB E
CB
XN XS B-1N B-1
CN 0
b B-1b
XB XB E
λ0
XN
XS
B-1N
B-1
CN-CB B-1N -CBB-1
b B-1b -CBB-1b
令Y=CBB-1
CN-CB B-1N≤0 -CBB-1 ≤0
YA ≥C
Y≥0
令Y=CBB-1两边右乘b，则Yb=CBB-1b=Z，有因Y≥0无上界，从 而Yb只存在最小值，得到另一个线性规划问题
x5 1 0 4 0 1 4 λj 6 -2 1 0 0 x1 1 -1/2 1 1/2 0 1 b x5 0 [1/2] 3 -1/2 1 3 λj 0 1 -5 -3 0 x1 1 0 4 0 1 4 c x2 0 1 6 -1 2 6 λj 0 0 -11 -2 -2
一个问题max
有最优解 无最优 无最优解
对(*)求偏导：
Z b
= CBB-1 = y
对偶解
y：b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
经济解释： b1
W=yb=(y1 … ym )
…
= b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
对偶单纯形法 思路：(max型)
单纯形法：找基B，满足B-1b0，但 C - CBB-1 A不 全 0，（即检验数）。
XB XB B
CB
XN XS b N Eb
CN 0
XB XB E
CB
XN XS B-1N B-1
CN 0
b B-1b
XB XB E
λ0
XN
XS
B-1N
B-1
CN-CB B-1N -CBB-1
b B-1b -CBB-1b
令Y=CBB-1
CN-CB B-1N≤0 -CBB-1 ≤0
YA ≥C
Y≥0
令Y=CBB-1两边右乘b，则Yb=CBB-1b=Z，有因Y≥0无上界，从 而Yb只存在最小值，得到另一个线性规划问题
x5 1 0 4 0 1 4 λj 6 -2 1 0 0 x1 1 -1/2 1 1/2 0 1 b x5 0 [1/2] 3 -1/2 1 3 λj 0 1 -5 -3 0 x1 1 0 4 0 1 4 c x2 0 1 6 -1 2 6 λj 0 0 -11 -2 -2
一个问题max
有最优解 无最优 无最优解
对(*)求偏导：
Z b
= CBB-1 = y
对偶解
y：b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
经济解释： b1
W=yb=(y1 … ym )
…
= b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
3.3 对偶问题的基本性质
它们为严格不等式；由互补松弛性得 x2*=x3*=x4*=0。
因y1 * ，y2 * >0；由互补松弛性得xs1=xs2=0，即原问题的两个约束条 件应取等式，故有
x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3
求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；
ω*=5
可行解。则存在 CX Yb ;
(3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问 题(原问题)无可行解;
(4) 可行解是最优解时的性质; (5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最
优解；且目标函数值相等; (6) 互补松弛性; (7) 原问题检验数与对偶问题解的关系.
3
(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题
当且仅当 x, y 为最优解。
y1-y2≤3
②
mx21x2y3yxi+1ny1y1j-x≥+，x112ω0++y2++，y32y=2≤23y22x≥≤2jx2x3=0≤33+1+15+x，x344+x+223x，+x555≥…≥x343+，③④⑤2x54+3x5
将y1* =4/5 , y2* =3/5的值代入约束条件，得 ②=1/5<3，③=17/5<5，④=7/5<2。
若 Y 是对偶问题的可行解，将 Y 左乘上式，得
YAX Yb
原问题的对偶问题是：
min = Yb;YA C;Y 0
因 Y 是对偶问题的可行解，所以满足
YA C
将 X 右乘上式，得到
YAX CX
于是得到
CX YAX Yb
运筹学之对偶理论(二)
第二节 对偶问题的基本性质
由于原问题与对偶问题是对同一研究对象的不同描述，因此利 用上节所讲的互补松弛定理，在知道原问题(或对偶问题)的最优解
时，可以求出对偶问题(或原问题)的最优解。本节我们进一步利用
对偶理论来说明原问题与对偶问题的解之间的关系。
性质1：对偶问题的对偶问题是原问题。
性质2：若原问题(或对偶问题)有最优解，则对偶问题(或原问 题)也有最优解。 性质3：若原问题(或对偶问题)无最优解，则对偶问题(或原问 题)也无最优ห้องสมุดไป่ตู้。
例1： (P60例4)已知线性规划问题
max z x1 x 2 x1 x 2 x3 2 2 x1 x 2 x3 1 x , x , x 0 1 2 3
试用对偶理论说明该线性规划问题无最优解。 解：其对偶问题为
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y y 1 1 2 y1 y2 0 y1 , y2 0
注：对于不对称的对偶问题，
互补松弛定理依然成立。
(i) 将X*代入原问题的三个约束条件，分别呈“<”,“>”和“=”,则 y1 y2 0 。
(ii) 由 x3
4 0可知，将Y*代入对偶问题的第3个约束条时
, y 5 y 6 y y 3 , 由于 y y 0 呈“＝”，即： ,因此 3 3 1 2 3 1 2
T 的最优解为X 0,0,4 , z 12 。试用对偶理论求对偶问题的最优解。
解：对偶问题为：
min w 2 y1 y2 4 y3 2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
由于原问题与对偶问题是对同一研究对象的不同描述，因此利 用上节所讲的互补松弛定理，在知道原问题(或对偶问题)的最优解
时，可以求出对偶问题(或原问题)的最优解。本节我们进一步利用
对偶理论来说明原问题与对偶问题的解之间的关系。
性质1：对偶问题的对偶问题是原问题。
性质2：若原问题(或对偶问题)有最优解，则对偶问题(或原问 题)也有最优解。 性质3：若原问题(或对偶问题)无最优解，则对偶问题(或原问 题)也无最优ห้องสมุดไป่ตู้。
例1： (P60例4)已知线性规划问题
max z x1 x 2 x1 x 2 x3 2 2 x1 x 2 x3 1 x , x , x 0 1 2 3
试用对偶理论说明该线性规划问题无最优解。 解：其对偶问题为
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y y 1 1 2 y1 y2 0 y1 , y2 0
注：对于不对称的对偶问题，
互补松弛定理依然成立。
(i) 将X*代入原问题的三个约束条件，分别呈“<”,“>”和“=”,则 y1 y2 0 。
(ii) 由 x3
4 0可知，将Y*代入对偶问题的第3个约束条时
, y 5 y 6 y y 3 , 由于 y y 0 呈“＝”，即： ,因此 3 3 1 2 3 1 2
T 的最优解为X 0,0,4 , z 12 。试用对偶理论求对偶问题的最优解。
解：对偶问题为：
min w 2 y1 y2 4 y3 2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题的基本性质
x1
-1 -1
x2
-1 -2
x3
1 0
x4
0 1
-2
-1/2 1/2 -1/2 1 0 0
-3
0 1 0 0 1 0
0
1 0 0 -2 1 -1
0
-1/2 -1/2 -3/2 1 -1 -1
对偶单纯形法步骤：
1.列初始单纯形表，使得所有检验数j 0 ；
2.出基变量：取min {bi<0 }= bl → x(l) cj-zj 3.入基变量：min{—— |alk<0}= → xk
*
x1 2 x 2 2 3 x1 x 2 3
x1 0.8 x 2 0.6
z* 5
例：LP问题 min w 2 x1 3x 2 5 x3 2 x 4 3 y5 s.t x1 x2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x4 x5 3 x1, x 2, x3, x 4, x5 0 4 3 对偶问题最优解为y ( , ), 试用对偶理论找出原问题的最优解 5 5
max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4
s.t - x1-x2+x3=-3 - x1-2x2+x4=-4 xj 0, (j=1,2,3,4)
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 x3 -3 0 x4 -4 cj - zj 0 -3 x3 x2 cj - zj -2 x1 -3 x2 cj - zj 2 1 -1 2 -2 -3 0 0
Y0AX0 ，
Y0 A C ， ∴ CX0
∴
CX0 Y0 AX0 Y0 b
2.3 对偶问题的基本性质
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
y1 y1
4 y2 5
y3
2 3
y1 , y2 , y3 0
性质3：无界性
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
互为对偶的两个问题，如果一个问题具有 无界解，则其对偶问题无可行解。
注意
命题的逆命题不成立
互为对偶的两个问题，如果一个问题无可 行解，则其对偶问题具有无界解或无可行解。
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
例1：（常山机械厂） 例1：（四海机械厂）
生产计划模型
租赁模型
max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
s.t .
4
x1
16 5 x2 15
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
y1 y1
4 y2 5
设备C 0 5 15
（h）
利润 2 3
(百元)
意出租设备资源？
项目 设备A 设备B 设备C 利润 （h） （h） （h） （百元）
Ⅰ2 4 0 2 Ⅱ2 0 5 3 生产 12 16 15
能力
对偶问题的提出
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
例1：（常山机械厂） 例1：（四海机械厂）
生产计划模型
租赁模型
max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
s.t .
4
x1
16 5 x2 15
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
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可行解，且有
C则X Y b, 分别X ,是Y （1
）和（2）的最优解 。
证明：因为（1）的任一可行解 X 均满足
CX Y b,
CX Y b
则 X为 （1）的最优解， 反过来可知：Y 也是（2）的最优解。
对偶问题的基本性质
四、对偶定理（强对偶性）： ——若原问题及其对偶问题均具有可行
解，则两者均具有最优解，且它们最优 解的目标函数值相等。
2
3
问
5y 2y y 1 题
收
1
2
3
购
y,y ,y 0
1
2
3
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
x1 x2 x3 x4
x5
x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
S
j
jj
xˆ 0 YˆP c
YˆPj j
c j
j
j条约束
说明：在线性规划问题的最优解中，如果对 应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 该约束条件为严格等式；反之如果约束条 件为严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
• 互补松弛定理应用：
– （1）从已知的最优对偶解，求原问题 最优解，反之亦然。
A的第i行
YˆX 0 Yˆ(b AXˆ ) 0 yˆ xˆ 0
S
i
si
yˆ i
0
xˆ si
0
A Xˆ i
n
a ij
xˆ
j
j 1
b , i
xˆ 0 A Xˆ b yˆ 0
si
i
i
i
原问题第i条约束
另一方面：
Y Xˆ 0 (YˆA C)Xˆ 0 (YˆP c )xˆ 0
CX YAX Yb
从弱对偶性可得到以下重要结论：
• （1）极大化问题（原问题）的任一可行 解所对应的目标函数值是对偶问题最优 目标函数值的下界。
• （2）极小化问题（对偶问题）的任一可 行解所对应的目标函数值是原问题最优 目标函数值的上界。
• （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
– （2）证实原问题可行解是否为最优解 。
– （3）从不同假设来进行试算，从而研 究原始、对偶问题最优解的一般性质。
– （4）非线性的方面的应用。 以上性质同样适用于非对称形式。
对偶问题的基本性质
返回
0 1
0 1/对4偶问题1/ 2 0 1/最4 优解3 / 2
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
• 两个问题作一比较:
1.两者的最优值相同 z w 8.5
2.变量的解在两个单纯形表中互相包含
原问题最优解（决策变量）
c j z j 15/ 2 0 0 7 / 2 3/ 2
x3 x4 x5 x1
x2
原问题松弛变量 原问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 最优解
原问题 的变量
原问题松弛变量
x1 x2 x3 x4
x5
x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
x1 x2
7/2 3/2
1 0
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 y3 y4
y5
y2 1/ 4 5 / 4 1 0 1/ 4 1/ 4
y3 1/ 2 15 / 2 0 1 1/ 2 3 / 2
设原问题（1） 对偶问题（2）
max z CX s.t. AX b
X 0
min w Yb s.t. YA C
Y 0
一、对称定理：
定理对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
二、弱对偶性定理：
——若 和X 分别Y 是原问题（1 ）及对偶问题（2）的可行解，
则有 CX Yb
证明A：X b YAX Yb YA C YAX CX
证明：
原问题与对偶问题的解一般有三种情况： 一个有有限最优解 另一个有有限最优解。 一个有无界解 另一个无可行解。 两个均无可行解。
五、互补松弛性：
——若 Xˆ分,Y别ˆ是原问题（1）与对
偶问题（2）的可行解， X分S ,别YS为（
1）、（2）的松弛变量，则：
即： YˆX S
0,Y Xˆ S
0
Xˆ ,Yˆ 为最优解
第二节对偶问题的基本性质
•引例
•对称性
•弱对偶性
•最优性
继续
•对偶性（强对偶性）
•互补松弛性
返回
引例
max z 2 x1 x2
厂
原 s.t.
5x2 15
家
问
6 x1 2 x2 24
题
x1 x2 5
x1, x2 0
min w 15 y 24 y 5y 对
1
2
3
s.t
6y y 2 偶
• （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
• （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
• （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
对偶问题
CX Y b
对偶问题的基本性质
三、最优性定理：
——若 和X 分别Y 是 （1）和（2）的
x 7 / 2, x 3/ 2
1
2
对偶问题的松弛变量
对偶问题最优解（决策变量）
y 0, y 1/ 4, y 1/ 2
1
2
3
原问题的松弛变量
从引例中可见：
原问题与对偶问题在某种意义上
来说，实质上是一样的，因为第二个
问题仅仅在第一个问题的另一种表达
而已。
理论证明： 原问题与对偶问题解的关系
对偶问题的基本性质