(完整版)多元函数的最值问题(学生版)

多元函数的最值问题

一、背景介绍

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题及竞赛中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力.因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是必须具备的解题技能. 二、方法思想

1.常用方法：换元法、配方法、基本不等式法、柯西不等式法、消元法、数形几何法等；

2.基本思想：化归转化、数形结合. 三、题型归纳

题型一：换元法

例1.实数,x y 满足2

2

4545x xy y -+=，设2

2

S x y =+，求S 的最大值与最小值.

例2.已知实数,x y 满足2

2

2

2

2429x xy y x y +++≤，令)x y xy ω=++，试求ω的最大值和最小值.

例3.已知,,a b c 均为正数，且21a b c ++=，则11

a b c

++的最小值为_______. 题型二：减元法

例4.设实数,,x y z 满足237x y z +-=，求2

2

2

x y z ++的最小值.

例5.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2

y x z

⋅的最小值是_____.

例6.若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是______.

题型三：构造法

例7. 设n 为自然数，,a b 为正实数，且满足条件2a b +=，则11

11n n

a b +

++的最小值是________.

例8. 对于满足1r s t ≤≤≤的一切实数,,r s t ，求

22224

(1)(1)(1)(1)s t W r r s t

=-+-+-+-

的最小值.

例9.设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求

3

21231(35)()35

x x x x x x +++

+ 的最小值和最大值.

例10.求实数a 的取值范围，使得对x R ∀∈和0,

2πθ⎡⎤

∀∈⎢⎥⎣⎦

恒有 221

(32sin cos )(sin cos )8

x x a a θθθθ+++++≥

题型四：一题多解

例11. 已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则

21

3x y x y

++-的最小值为 . 例12.已知任意非零实数,x y 满足22

2

34()x xy x y λ+≤+恒成立，则实数λ的最小值为____．

变式练习：()

22222x xy m x y +≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数m 的最小值为 .

例13.已知正实数,a b 满足2

2

91a b ，则

3ab

a b

的最大值为 .

四、直击考题

1.（2002年一试二11题）若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是______.

【变式1】设,x y R ∈，且44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是（ ）

B.2

C.2.（2017年预赛一试第8题）设0x y ≥>，若存在实数,a b 满足0,0a x b y ≤≤≤≤，

且2

2

2

2

2

2

()()x a y b x b y a -+-=+=+，则

x

y

的最大值为（ ）

D.1

3.（2017预赛一试第11题）设,,a b c 是互不相等的正整数，则

abc

a b c

++的最小值为____.

4.（2016年预赛一试第8题）设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>

，则

）

5.(2016预赛一试第6题)记(,,)M x y z 为,,x y z 三个数中的最小数，若二次函数

2()(,,0)f x ax bx c a b c =++>有零点，则(

,,)b c c a a b

M a b c

+++的最大值为（ ） A.2 B.54 C.3

2

D.1

6.（2016预赛一试第2题）已知实数,x y 满足

33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则2244x y x ++的最小值为____.

五、课后练习

1.求22

1

x y

z x y +=

++的最大值和最小值. 2.设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a ++

+=.求1

2

2313121

111n

n

n n a a a a a a a a a a a a -+

+

+

+++

++++

++++

+的最小值.

3.设1xy =，且0x y >>，求22

x y x y

+-的最小值.

4.设,,a b c 为正数，且1abc =，求111

212121

a b

c ++

+++的最小值

. 5.设,,

x y z 是不全为零的实数，求

222

2xy yz

x y z +++的最大值. 6.对所有,,a b c R +

∈的最小值.

7.已知,,a b c R +

∈，求

938432a b c

b c c a a b

++

+++的最小值. 8.设,,a b c 为正实数，且abc a c b ++=，求222

223

111

p a b c =-++++的最大值. 9.设0,0,0,1x y z x y z ≥≥≥++=，求222

23f x y z =++的最大值和最小值.