郑振龙《金融工程》笔记和课后习题详解-互换的定价与风险分析【圣才出品】

第七章互换的定价与风险分析

7.1复习笔记

互换既可以分解为债券的组合，也可以分解为一系列远期协议的组合。根据这一思路就可以对互换进行定价。

根据国际市场上的惯例，在给互换和其他柜台交易市场上的金融工具定价时，现金流通常用LIBOR贴现。这是因为LIBOR反映了金融机构的资金成本。

一、利率互换的定价

1．利率互换定价的基本原理

（1）互换的本质，即未来系列现金流的组合。

（2）对一方而言，利率互换可以看做一个浮动利率债券多头与固定利率空头头寸的组合，这个利率互换的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。由于互换为零和游戏，对于另一方而言，该利率互换的价值就是固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差。也就是说，利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另一个债券的空头来定价。

（3）利率互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。只要知道组成利率互换的每笔FRA的价值，就可以计算出利率互换的价值。

具体来看，与远期合约相似，利率互换的定价有两种情形：

第一，在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。对于利率互换协议的持有者来说，该价值可能是正的，也可能是负的。

第二，在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。也就是说，

协议签订时的互换定价，就是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。

2．协议签订后的利率互换定价

（1）运用债券组合给利率互换定价

定义：

B fix为互换合约中分解出的固定利率债券的价值。

B fl为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。

对于互换多头，也就是固定利率的支付者来说，利率互换的价信就是

（7．1）

反之，对于互换空头，也就是浮动利率的支付者来说，利率互换的价值就是

（7．2）

这里固定利率债券的定价公式为

（7．3）其中，A为利率互换中的名义本金额，k为现金流交换日交换的固定利息额，n为交换次数，t i为距第i次现金流交换的时间长度（1≤i≤n），r i&则为到期日为t i的LIBOR连续复利即期利率。

显然固定利率债券的价值就是未来现金流的贴现和。

浮动利率债券的定价公式则为

（7．4）

其中，k*为下一交换日应交换的浮动利息额（这是已知的），距下一次利息支付日则还有t1的时间。

在浮动利率始终等于该债券的合理贴现率的条件下：

第一，在浮动利率债券新发行时，该债券的价值就等于它的面值；

第二，在任一重新确定利率的时刻，付息之后的浮动利率债券价值就等于新发行的同期限的浮动利率债券面值，付息之前的浮动利率债券价值就等于面值A加上应付利息k*；

第三，根据证券定价的一般原理，在不考虑流动性因素的情况下，选定证券存续期内的任一时点，证券的价值等于该时刻的证券价值加上现在到该时点之间现金流的贴现值。

在为浮动利率债券定价时，选定下一个付息日为未来时点，这样就得到了公式（7．4）。

（2）运用远期利率协议给利率互换定价

对于收取固定利息的交易方，FRA的定价公式为

更确切地理解，t时刻FRA的价值等于约定利率r k与T至T*时刻远期利率r F差异导致的息差现值。

要运用FRA给利率互换定价，只要知道利率期限结构，从中估计出FRA对应的远期利率与息差现值，即可得到每笔FRA的价值，加总就可以得到利率互换的价值。

3．协议签订时的利率互换定价

利率互换签订当日的定价问题，即如何确定互换协议中的固定利率。

运用债券组合方法进行，利率互换协议中合理的固定利率就是使得互换价值为零的利率水平，也就是通常所说的互换利率。由于互换市场实行做市商制度，而且计息频率等往往有所变化，现实中的互换利率往往是市场以一定的计息频率为基础、就特定期限形成的互换中间利率。

美元互换利率与美元LIBOR及欧洲美元期货利率有着本质的联系，互换利率与欧洲美元期货利率是基本等价的。总之，由于主要在银行间市场上报价，互换利率中所蕴涵的违约风险和流动性风险与LIBOR相当接近。而欧洲美元期货利率虽然是在期货交易所形成的，是世界上交易最活跃的金融产品之一，其违约风险和流动性风险都低于LIBOR和互换利率，但总的来看，由于都与LIBOR挂钩，这三种利率之间存在着天然的一致性和内在联系。

基于所覆盖的时间期限不同，LIBOR、欧洲美元期货利率与美元互换利率常常互相补充，形成市场中所称的“互换利率期限结构”或“互换收益率曲线”。

美元无风险利率期限结构与互换收益率曲线之间的差异被称为互换价差，主要体现了银行间市场的信用风险与流动性风险。

与国债利率期限结构相比，美元互换曲线有其自身的突出优势：

①利率互换在很多到期期限上均有活跃的交易，这使得互换曲线能够提供更多到期期限的利率信息；

②新的互换会在市场上不断地产生，这使得特定到期El的互换利率具有延续性，几乎每天都可以估计出特定到期日的互换利率，而特定期限国债利率则往往只有在国债新发行之后才能更新，以发行期限进行循环；

③互换是零成本合约，其供给是无限的，不会受到发行量的制约，而国债则由于供给的制约会产生新发行与以前发行的证券价格的差异，进而对利率产生影响。

此外，对于许多银行间的金融衍生产品来说，与无风险利率相比，互换利率由于反映了其现金流的信用风险与流动性风险，是一个更好的贴现率基准。

上述原因决定了美元互换收益率曲线成为市场中重要的利率期限结构，影响日益显著。

二、货币互换的定价

1．货币互换定价的基本原理

货币互换也可以分解为债券的组合或远期协议的组合，只是这里的债券组合是一份外币债券和一份本币债券的组合，远期协议是远期外汇协议。

对于互换一方来说，这笔货币互换可以看作一个美元固定利率债券多头与一个英镑固定利率债券空头的组合；如果按行进行分解，该笔货币互换则可以看作一系列远期外汇协议的组合。

2．运用债券组合为货币互换定价

定义V互换为货币互换的价值，那么对于收入本币、付出外币的一方：

（7．5）

其中，B F是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值，B D是从互换中分解出来的本币债券的价值，S0是即期汇率（直接标价法）。

对付出本币、收入外币的那一方：

（7．6）3．运用远期外汇协议的组合为货币互换定价

只要能够计算并加总货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可得到相应货币互换的价值。

三、互换的风险

与互换相联系的风险主要包括信用风险与市场风险。