测量误差分析

表中列有在各种自由度和臵信概率下，满足式
P( t t p )
tp
的t分布在区间[－tp，tp]内的概率为P。

t p
f (t , v)dt的t
p值。它表明自由度为v
假设一列等精度独立测定值x1 ，x2 ，…，xn 服 从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据 这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误 差的估计值： 1 x x n
第二章 测量误差分析与处理

当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一 系列不同的测量值，称为测量列。 利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差 对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求 得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差 作出估计，得出测量值，这就是数据处理。

第一节 随机误差的分布规律
一、随机误差的正态分布性质
例题2：
对例1所述的透平机转速测量，设测
量条件不变，单次测量的测定值为4753.1
r/min，求该透平机转速（测量结果的臵
信概率P＝95％）。
从例1可知＝2.0 P＝95％ z 1.96 z 3.9
速度＝4753.1 3.9 r / min） 95%) （ (P
例题1：
在等精度测量条件下对某透平机械的 转速进行了20次测量，获得如下的一列测 定值（单位：r/min） 4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速（设测量结果的臵信概 率P＝95％）。
n


i 1
n
2 i
n

xi X 0
i 1
n
2
n
因为真值X0为未知，所以必须用残差vi来 表示，即

v
i 1
n
2 i
n 1

x
n i 1
i
x

2
n 1
此式称贝塞尔公式。
三、测量结果的臵信度
假设用x 对μ进行估计的误差为 ，那 x 么x x 。对于某一指定的区间[－λ, λ]， 落在该区间内的概率为 P(。 x ) x

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子样平均值：代表由n个测定值x1, x2, …, xn 组成的子样的散布中心
1 x xi n i 1

n
子样方差：描述子样在其平均值附近散布 程度
1 2 s (x i x) n i 1
2
n
一、算术平均值原理


测定值子样的算术平均值是被测量真值的最 佳估计值。 算术平均值的意义 设x1、x2、…，xn为n次测量所得的值，则 算术平均值 x 为 n


正态分布的分布密度函数为
1 f e 2
2 2 2
式中， —— 标准误差（均方根误差）； e —— 自然对数的底。

如用测定值x本身来表示，则
1 f x e 2 ( x X0 )2 2 2
1 2 lim i n n i 1
b
a
1 e 2
2 2 2
d
2 2 2
1 P(a a) P( a) 2 e 0 2
a
d
若令a=zσ，则
2 P( a) P( z ) 2

z
0
e
z2 2
dz (z)
第二节 直接测量误差分析与处理
x1 x 2 x n i 1 x n n
x
i

算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有
vi x i x
式中 vi —— xi的剩余误差； xi —— 第i个测量值，i=1，2，…，n。
（1）剩余误差的代数和等于零，即
v
i 1 n
n
i
0
（2）剩余误差的平方和为最小，即
vi2 最小
i 1

测定值子样平均值的均方根误差是测定值 母体均方根误差的 1 / n 倍。
x


n
在等精度测量条件下对某一被测量进行多 次测量，用测定值子样平均值估计被测量 真值比用单次测量测定值估计具有更高的 精密度。
二、贝塞尔公式


12 22 n2
1 5 x (x i 989.8) 2 4.7 5 4 i 1
根据P＝95％和v＝4，查表得tp＝2.78，则测 量结果为
x t p x 989.8 13.2(P 95%)
若上例用正态分布求取给定臵信概率下 得臵信温度区间是[980.6,999.0]，这要比 由t分布求得得区间小。 这表明，在测量次数较少的情况下，用 正态分布计算误差限，往往会得到“太 好”的结果，夸大了测量结果的精密度。 因此，对小子样的误差分析，应采用t分 布处理。


臵信区间与臵信概率共同表明了测量结 果的臵信度，即测量结果的可信程度。 对于同一测量结果，臵信区间不同，其 臵信概率是不同的。 臵信区间越宽，臵信概率越大；反之亦 然。



一列等精度测量的结果可以表达为在一定 的臵信概率之下，以测定值子样平均值为 中心，以臵信区间半长为误差限的量
测量结果＝子样平均值±臵信区间半长 （臵信概率P＝？）

随机误差出现的性质决定了人们不可能
正确地获得单个测定值的真误差δi的数
值，而只能在一定的概率意义之下估计测
量随机误差数值的范围，或者求得误差出
现于某个区间得概率。

将正态分布密度函数积分
1 Fx e 2 x (x X 0 )2 2 2
dx

概率积分
P(a b)

测定值的随机性表明了测量误差的随机性
质。

随机误差就其个体来说变化是无规律的，
但在总体上却遵循一定的统计规律。

测量列中的随机误差： δi = xi－X0
式中,δi —— 测量列的随机误差，i = 1，2， 3，…，n； xi —— 测量列的测量值；
X0 —— 被测量的真值。

随机误差分布的性质


极限误差

测量列标准误差的三倍，定义为测量列 的极限误差
3

子样平均值的极限误差与测量列极限误 差的关系是
x n
五、小子样误差分析与t分布
当测量次数很少时，子样平均值的标准误 差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就 愈严重。
为了在σ未知的情况下，根据子样平均值 估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的 分布只取决于子样容量n，而与σ无关。这时 需引入统计量t。
n i 1 i
x
n 1 (x i x)2 n(n 1) i 1

由于 ( x ) / x 服从自由度v = n－1的t分布，所 以可用上式做以下的概率描述
x P( t t p ) P( t p tp ) P x
或

P(x t p x x t p x ) P

一、误差传布原理
设间接测量值y是直接测量值x1，x2，…， xm的函数，其函数关系的一般形式可表 示为 y = f（x1，x2，…，xm） 假定对x1，x2，…，xm各进行了n次测量， 那么每个xi 都有自己的一列测定值xi1 ， xi2 ， … ， xin ， 其 相 应 的 随 机 误 差 为 i1 ， i 2，… ，in 。
有界性：在一定的测量条件下，测量的随 机误差总是在一定的、相当窄的范围内变 动，绝对值很大的误差出现的概率接近于 零。 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大， 绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为 零的误差出现的概率比任何其它数值的误 差出现的概率都大。


对称性：绝对值相等而符号相反的随机 误差出现的概率相同，其分布呈对称性。 抵偿性：在等精度测量条件下，当测量 次数不断增加而趋于无穷时，全部随机 误差的算术平均值趋于零。

定义t为
x x t x
n

t不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度 函数为 v 1
f (t; ) ( 2 ) v t v( ) 1 2 v
2 ( v 1) / 2
式中， 是特殊函数，v是正整数，称为t分布 的自由度。
当进行n次独立测量时，由于t受平均值 的约束，服从自由度为n－1的t分布，所 以ν＝ n－1。 t分布与母体均方根误差σ无关，只与子 样容量n有关。

第三节 间接测量误差分析与处理
在间接测量中，测量误差是各个测量值 误差的函数。因此，研究间接测量的误 差也就是研究函数误差。 研究函数误差有下列三个基本内容：

已知函数关系和各个测量值的误差，求函数 即间接测量值的误差。 已知函数关系和规定的函数总误差，要求分 配各个测量值的误差。 确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最 小值时的测量条件。
x 4752 .0
2.0
x
n 0.447
P 95% z 1.96 0.876 0.9
速度 4752.0 0.9(r / min)(P 95%)

在实际测量工作中，并非任何场合下都能 对被测量进行多次测量，而多为单次测量。 如果知道了在某种测量条件下测量的精密 度参数，而且在同样的测量条件下取得单 次测量的测定值，那么单次测量情况下测 量结果的表达式为： 测量结果＝单次测定值±臵信区间半长 （臵信概率P＝？）
在同样的臵信概率下，用单次测定值 表示测量结果比用多次测量所获得的测定 值子样平均值表示的误差大。
四、测量结果的误差评价

标准误差
若测量结果用单次测定值表示，误差限 采用标准误差，则 测量结果＝单次测定值x±标准误差 （P=68.3%） 若测量结果用测定值子样平均值表示， 误差限采用标准误差，则 测量结果＝子样平均值x±标准误差 （P=68.3%）
x 机变动的随机区间 , x
内包含被
测量真值”这一事件的概率。

定义区间 x , x 为测量结果的臵信区 间，也称为臵信限 λ为臵信区间半长，也称为误差限


概率 P(x x ) 为测量经过在臵信区 间 x , x 内的臵信概率。 危险率： x ) 1 P(x



若将测量x1，x2，…，xm时所获得的第一个测定 值代入函数关系式，可求得间接测量值的第一个 测定值y1，即 y1 = f（x11，x21，…，xm1） 由于测定值x11，x21，…，xm1与真值之间存在随 机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记为 δy1。由误差的定义，上式可写为 Y+δy1=f（X1+δ11 , X2 +δ21 ,…, Xm+δm1 ）
同样地，可以求得测定值子样平均值 x 落 在区间[μ－λ, μ＋λ]的概率为 P( x )

P( x )表示“测定值子样平均
值这一随机变量出现于一个固定区间 内 , ”这一事件的概率；

P(x x ) 表示“在宽度一定作随
n
二、正态分布密度函数与概率积分
对于一定的被测量，在静态情况下，X0 是一定的，σ的大小表征着诸测定值的 弥散程度。 σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐， 幅值越大；σ值越大，正态分布密度曲 线越平坦，幅值越小。 可用参数σ来表征测量的精密度，σ越 小，表明测量的精密度越高。



σ并不是一个具体的误差，它的数值大小只 说明了在一定条件下进行一列等精度测量时， 随机误差出现的概率密度分布情况。 在一定条件下进行等精度测量时，任何单次 测定值的误差δi可能都不等于σ，但我们认 为这列测定值具有同样的均方根误差σ；而 不同条件下进行的两列等精度测量，一般来 说具有不同的σ值。
测量结果可表示为： 测量结果 x t p （置信概率P ?） x
例3
用光学高温计测量某金属铸液的温 度，得到如下5个测量数据（℃）： 975，1005，988，993，987 设金属铸液温度稳定，测温随机误差属 于正态分布。试求铸液的实际温度（取P ＝95％）。
解：
x 989.8