高中数学课件：导数的概念及计算、定积分

f(x)dx叫做被积式．
7．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k为常数)； (2)∫ba[f1(x)± f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx； (3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中a＜c＜b)．
8．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝ f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x
＝－12sin 4x－2xcos 4x.
[一“点”就过] 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再 求导
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，
所以f′(1)＝f′(1)·2ln
2＋2，解得f′(1)＝1－22ln
， 2
所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2＋2x，
所以f′(2)＝1－22ln 2×22ln 2＋2×2＝1－24ln 2. 答案：1－24ln 2
4．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝coesx x； (4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.
方程为
()
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
解析：设y＝f(x)＝2sin x＋cos x， 则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2， ∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)， 即2x＋y－2π＋1＝0.
f(x)＝sin x f(x)＝ex
f(x)＝ln x
f(x)＝xα(α∈Q *) f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝___co_s__x f′(x)＝__e_x__
1
f′(x)＝__x__
f′(x)＝ αxα－1
[解题方略] 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参 数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或 取值范围．
[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
[过关集训]
1．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要 时可换元
3．对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝ f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是 明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x ＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所 求导数值．
[解析] (1)∵y′＝(ax＋a＋1)ex， ∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3. (2)由已知得f′(x)＝2e2x－2ex＋a， 则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的解， 令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3， 则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0， 即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<72. [答案] (1)－3 (2)3，72
考法(二) 求切点坐标 [例2] (1)已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与 直线x＋y＝0垂直，则切点P的坐标为________． (2)(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然 对数的底数)，则点A的坐标是________．
[答案] (1)y＝3x (2)x－y－1＝0
[解题方略] 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝ f′(x0)(x－x0)；求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0， f(x0))，则切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点 M(x1，y1) 代入切线方程，求 x0.
[解析] (1)∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1， 由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1， ∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1， ∴f(x0)＝0，即P(1,0)． (2)设A(m，n)，由y＝ln x，得y′＝1x，∴y′|x＝m＝m1 ， 则曲线y＝ln x在点A处的切线方程y－n＝m1 (x－m)． ∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝m1 (m＋e)． 又n＝ln m，解得m＝e，n＝1. ∴点A的坐标为(e,1)．
考点二 导数的几何意义(综合之翼巧贯通)
考法(一) 求切线方程 [例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的 切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲 线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
2．导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x) 上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为 _y_－__f_(x_0_)_＝__f′__(_x_0_)(_x_－__x_0_) ___．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
1wk.baidu.com
f′(x)＝__x_l_n_a__
4．导数的运算法则
(1)[f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (3)gfxx′＝__f′___x__g_x[_g_－_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(x_)_≠__0_)___．
二、“基本技能”运用好 1．通过对导数的概念、计算公式及运算法则的复习，提高学
生的运算求解能力． 2．通过对导数几何意义的复习，提升学生的直观想象能力．
1．下列求导运算正确的是 A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
() B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x
[抓特征] 本例2审“数据特征”知0，－1不在函数fx 的图象上，故需设切点坐标，根据导数的几何意义及切点在曲 线上建立方程组求解.
[解析] (1)∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋ 3)，
∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x. (2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. 联立yy00＝ ＋x10＝ln1x＋0，ln x0x0， 解得x0＝1，y0＝0. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为yx′＝ yu′·ux′，即y对x的导数等于 y对u 的导数 与 u对x 的导数的乘积．
6．定积分的概念
在
∫
b a
f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间
[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，
[答案] (1)(1,0) (2)(e,1)
[解题方略] 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导 数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横 坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
考法(三) 求参数 [例3] (1)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的 切线的斜率为－2，则a＝________. (2)(2020·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条 斜率为3的切线，则实数a的取值范围是________．
2．已知f(x)＝ln 22xx－ ＋11，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝ln22xx－ ＋11′＝2x1－122xx－＋11′ 2x＋1
＝22xx＋ －11·2x－1′2x＋21x－＋12x2 －12x＋1′ ＝4x24－1. 答案：4x24－1
3．(2020·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝ f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝________.
1．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于
A．0
B．－1
()
C.12
D．2
解析：依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4， 所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝12. 答案：C
2．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则
高中数学课件：
导数的概念及计算、 定积分
一、“基础知识”掌握牢 1．导数的概念 _Δl_itm→_0f__一x_0＋_般_ΔΔ_地xx_－_，_f_函x_0_数 为y＝函f数(xy)＝在fx(＝x)在x0处x＝的x瞬0处时的变导化数率，lΔt记i→m0作ΔΔfxy′＝(x0) 或y′x＝x0， 即f′x0＝lΔti→m0ΔΔxy＝__Δl_itm→_0f__x＋__Δ_Δx_x_－_f__x_. 称函数f′(x)＝lΔti→m0fx＋ΔΔxx－fx为f(x)的导函数．
答案：3
3．曲线y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝x＋2 22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
三、“基本思想”很重要 1．利用函数与方程的思想求解与导数有关的计算问题． 2．利用数形结合的思想求解与导数几何意义有关的问题．
2a＋b的值等于
()
A．2
B．－1
C．1
D．－2
解析：依题意知，y′＝3x2＋a，则133×＋1a2＋＋ba＝＝3k，， k＋1＝3，
解得ab＝＝－3，1， k＝2，
所以2a＋b＝1.故选C.
答案：C
四、“基本活动体验”不可少 你能求出由曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三 角形的面积吗？
解：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率k＝ln12， ∴切线方程为y＝ln12(x－1)， ∴所求三角形的面积S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝12log2e.
考点一 导数的运算(基础之翼练牢固) [题组练通]
1．已知f(x)＝sinx21－2cos2x4，则f′(x)＝________.
解析：因为f(x)＝sinx2－cosx2＝－12sin x， 所以f′(x)＝－12sin x′＝－12(sin x)′＝－12cos x. 答案：－12cos x
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝ln
x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′＝1x－x12.
(3)y′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2 ＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x，
解析：
x＋1x
′
＝x′＋
1 x
′
＝1－
1 x2
；(3x)′＝3xln
3；
x2cos x′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．
故选B.
答案：B
2．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4， 解得x0＝3.