中南大学数值分析试题8

= yn + h 2 (K1 + K2 ), = f (xn , yn ), = f (xn + th, yn + thK1 ), = f (xn + (1 − t)h, yn + (1 − t)hK1 ).
ห้องสมุดไป่ตู้
6. 对实验方程y = λy (λ < 0), 试证明如下方法给出的绝对稳定条件. (a) 改进的Euler公式: |1 + λh + (b) 经典R-K公式: |1 + λh +
11. 取h = 0.1, 试用经典R-K法求解方程组:
y1 y2
= 3y1 + 2y2 , y1 (0) = 0, = 4y1 + y2 , y2 (0) = 1, 0 < x ≤ 0.2.
12. 取h = 0.1, 试用经典Euler法求解方程组:

y
2−h n ) 2+h
(1)
= x + y, 0 < x ≤ 1
y (0) = 1
(2)
y
= 3y/(1 + x), 0 < x ≤ 1
y (0) = 1
1
5. 证明对任意参数t, 下列R-K公式是二阶的:
yn+1 K1 K2 K3
习题八
1. 用改进的Euler方法解初值问题:
y
= x + y, 0 < x ≤ 1,
y (0) = 1.
取步长h = 0.1计算, 并与准确解y = 2ex − x − 1比较. 2. 用改进的Euler方法解初值问题:
y
= x2 + x − y,
y (0) = 0.
14. 取h = 0.5, 用差分法解边值问题:
y
= (1 + x2 )y,
y (−1) = y (1) = 1.
15. 取h = 0.2, 用差分法解边值问题:
(1 + x2 )y − xy − 3y y (0) − y (0) = 1,
= 6x − 3, y (1) = 2.
3
取步长h = 0.1计算y (0.5), 并与准确解y = x2 − x + 1 − e−x 相比较. 3. 对初值问题:
y
= −y,
y (0) = 1.
证明Euler公式和梯形公式求得的近似解分别为 yn = (1 − h)n , yn = ( 并证明当h → 0时, 它们都收敛于准确解y = e−x . 4. 取h = 0.2, 用经典R-K法求解下列初值问题:
(λh)2 2 |
≤ 1. +
(λh)4 24 |
(λh)2 2
+
(λh)3 6
≤ 1.
7. 分别用二阶显式Adams方法和二阶隐式Adams方法解下列初值问题:
y
= 1 − y,
y (0) = 0.
取h = 0.2, y0 = 0, y1 = 0.181, 计算y (1), 并与准确解y (x) = 1 − e−x 相比较. 8. 证明求解初值问题y = f (x, y ), y (x0 ) = y0 的差分公式 1 h yn+ 1 = (yn + yn−1 ) + (4fn+1 − fn + 3fn−1 ) 2 4 是二阶的, 并求出其局部截断误差的主项. 9. 设有初值问题y = f (x, y ), y (x0 ) = y0 , 用Taylor展开定理构造形如 yn+ 1 = α(yn + yn−1 ) + h(β0 fn + β1 fn−1 ) 的两步法, 试确定系数α, β0 和β1 , 使它具有二阶精度, 并推导其局部截断误差的主项. 10. 设有初值问题y = f (x, y ), y (x0 ) = y0 ,用Taylor展开定理构造形如 yn+ 1 = α0 yn + α1 yn−1 + hβ1 fn−1 的差分公式，试确定系数α0 , α1 和β1 ,使它具有尽可能高的精度，并求出其局部截断误 差． 2
y1 + 4xyy + 2y 2 = 0, 0 < x ≤ 0.2, y (0) = 1, y (0) = 0.
13. 将下列方程化为一阶方程组, 并判断它们是否为刚性方程组: (a) y + 3y + 2y = sin(x), y (0) = α, y (0) = β ; (b) y + 16y + 15y = sin(2x + 1), y (0) = α, y (0) = β ; (c) y + 4y + 5y + 2y = 0, y (0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0.