固体物理

晶体微观结构的几何理论
E.S. Fedorov
1895年：伦琴发现 X 射线。
1912年： 劳厄(M. von Laue)， 弗里德里希(W. Feriederich)， 克尼平(P. Knipping) 晶体X射线实验，验证了晶体结构的周期性。
量子力学：描述晶体内微观粒子的运动规律
t
(x1,
x2
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢：重复单元的边长。(a1, a2, a3) 点阵中任意两格点之间的位置矢量：
Rl = l1 a1 + l1 a1 + l3 a3
OR = l1/ a1 + l2/ a2 + l3/ a3
R/
l1/ : l2/ : l3/ = l1 : l2 : l3
晶列指数：[ l1 l2 l3 ]
O
[001] [010]
[111]
[100]
c b
[010]
a
[001]
[111] [100]
立方晶胞下的晶列指数
晶面族：所有的格点都分布在相互平行的一族平面上，且每个平面上 都有格点分布，这样的平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
《固体物理》是实验与理论高度结合的精确科学
晶体结构和对称性 晶体X射线衍射 晶格动力学 能带理论 晶体中电子输运
空间几何、群论等数学工具 光学、电磁学
理论力学、热力学与统计物理 量子力学
量子力学、数理方法
“量子力学的普遍理论业已完成…作为大部分物理学和全部化学之基础的
物理定律业已完全知晓，而困难仅在于将这些定律确且应用时将导致方程
a1
h1 : h2 : h3 = 1/r : 1/s : 1/t
(1). 晶面族的面指数可以有晶面组中任意晶面在基矢坐标轴上的截矩的系数 的倒数求出
(2). 截矩系数不一定是整数,但一定程存在截矩系数为整数的晶面
c b a
(3). 截矩系数可正可负,当晶面在基矢标轴的正方向时,截矩系数为正,反之为负
➢ 周期性介质--晶体的结构 （第一章） ➢ 晶体的结合方式（第二章） ➢ 晶体中的缺陷及其运动 （第四章） ➢ 晶体中电磁波（X射线）的传播 （第一章） ➢ 晶体中格波的传播 (第三章) ➢ 晶体中电子的德布洛意波的传播(第五、六章)
布里渊(L. Brillouin)
《周期结构中波的传播》--- 布里渊
配位数 = ？
a
2. 体心立方堆积 致密度 = 31/2π/8 =0.68 配位数 = ？ 3. 立方密堆积(面心立方堆积）
BCBCBCB CBCBCB
3. 立方密堆积(面心立方堆积）
致密度 = 21/2π/6 =0.74 配位数 = ？
4. 六角密堆积 致密度 = ? 配位数 = ？
§1.3 布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
b1 = 2πa2xa3/Ω b2 = 2πa3xa1/Ω
b3 = 2πa1xa2/Ω
F = ∫dV n(r) exp(-iΔk·r)
Δk = k’ - k
dV 晶体样品
φr
K’
n(r) = ∑GnG exp(iG·r)
k
F
=
∑∫dV
G
nG
exp(i(G-Δk)·r))
K’
G=Δk
G
|k’| = |k|= k (弹性散射)
点阵 + 基元 = 晶体结构
晶体结构 = 点阵 + 基元
a 晶体结构
a
基元
点阵
如何描述点阵结构
布喇菲空间点阵：沿三个不同的方向通过点阵中的结点做平 行的直线族，将节点包揽无遗，形成一个三维网格（晶格）。
周期：某一方向上两相邻结点的距离，称为该方向的周期。
原胞（固体物理学原胞）：以一个结点为顶点，以三个不同方 向的周长为边长的平行六面体。
第一章 晶体的结构 §1.1 晶体的基本性质
组成晶体的原子的性质以及原子的排列方式（晶体结构） 决定了晶体的性质！
晶体中的原子成周期性的排列（长程有序）！
晶体中的各项异性！
晶体的各项异性是晶体的平移对称性在晶体物理性质上的反 映，是晶体区别于非晶体的主要性质！
光学特性：晶体折射率的各向异性。
解理面： 晶体易于沿某些特定方向的晶面发生劈裂， 解理面是 能量相对较低的稳定面
物理常数的各项异性： 弹性常数、压电常数、介电常数、 电导率等，采用张量表示
§1.2 原子堆积的简单模型
基本思想：晶体是由半径相同的小球堆积而成！
两个基本概念： 致密度：在结构单元中硬球所占的体积比。 配位数：一个硬球最紧邻的硬球的数目。
几种常见的堆积方式：
1. 简立方堆积：
致密度 = π/6 = 0.524
n
ta3· n = ta2cos(a3^n) = ud
ta3 ud
cos(a1^n) : cos(a2^n) : cos(a3^n)
= 1/ra1 : 1/sa2 : 1/ta3
O
sa2
a2
= h1/a1 : h2/a2 : h3/a3
ra1
h1 : h2 : h3 = 1/r : 1/s : 1/t
a3
c b a
a2 a1
面心立方(FCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 ( b + c) a2 = 1/2 ( a + c) a3 = 1/2 ( a +b)
c
a1 b a2
a3 a
六方(Hexagonal)
k
a4
a3
a2 a1
j i
a3
a2
a1
a1 = a/2 (31/2 i + j) a2 = a/2 (-31/2 i + j)
a3 = c k
几种常见的晶体结构
CsCl
NaCl
金刚石
立方ZnS (闪锌矿)
六方ZnO (纤维锌矿)
石墨
基元 ? 点阵? 原胞、基矢?
§1.4 晶列、晶面指数
晶列：通过任意两格点做直线。
特点: (1) 晶列上的格点具有一定的周期性（晶格周期性的反映）； (2) 若一平行的直线族把格点包揽无余，且每个直线上都有格点， 则这些直线称为同一族晶列。 (3) 同一族晶列的取向相同； (4) 晶列上格点的周期相同； (5) 同一平面内相邻晶列之间的距离相等；
c b a
(4). 晶面族(h1 h2 h3) 将基矢 a1 a2 a3 分别截成|h1| |h2| |h3| 等份
(5). 晶面族(h1 h2 h3) 中距离原点最近的晶面在基矢 a1 a2 a3 的截矩系
数分别为1/h1 1/h2 1/h3
a3
C
n
n = AB^BC/|AB^BC|
a3/h
3
a2/h
晶胞（惯用原胞、布喇菲原胞）：为反映晶体的对称性，重复 单元不一定取最小。
特点: (1) 晶胞的选取反映晶体的对称性。 (2) 晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或面心。 (3) 晶胞的体积为原胞体积的整数倍。 (4) 每个晶胞中平均包含不止一个格点。
原胞基矢：(a1, a2, a3)
晶胞基矢：(a, b, c )
k
k + G= k’
(k + G)2= k2
|G|2 + 2k·G = 0 2k·G = |G|2 2k·G/|G| = |G|
dhkl = 2πn/|G|
-G -> G
G = n(hb1 + k b2 +l b3)
C60
C70
R. Buckminster Fuller (1895-1983)
碳纳米管(Carbon Nanotubes)
S.Ijima, Nature 358, 220 (1991)
石墨烯(Graphene)
A. K. Geim, Science 306, 666 (2004)
“《固体物理》主要是探讨具有周期结构特征的晶态物质 的结构和性质的关系。”
c
(11-1) (111) (1-11)
b a
面间距相同的晶面族, 其面上的格点的分布相同,称为同族晶面族 { h k l }
晶体衍射和倒格子
可见光入射晶体->光的折射 ~ 6000 Å (一) 布拉格定律
2dsinθ= nλ
θ θ
θ
dห้องสมุดไป่ตู้
dsinθ
10-3 ~10-5
入射束
单色器 晶体
来自单色器的射线束
山东大学物理学院基地班课程
《固体物理》
赵明文（山东大学物理学院）
2010-2011年 下学期
绪论
二十世纪以前，人们
仅仅从材料规则的外
形来推测材料内部的
???
微观结构！
“凡草木花多五出,雪花独六出” --- 《韩诗外传》西汉
雪花的六角对称性是其内部周期性结构的体现 --- 《六角雪花论》J. Kepler （1611）
几种常见的晶胞
简立方(SC)
a1 = a i a2 = a j a3 = a k
a=ai b=aj c=ak
j i
k
c b a
体心立方(BCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 (-a + b + c) a2 = 1/2 ( a – b + c) a3 = 1/2 ( a +b - c)
,
,
xn
,
t)
Hˆ(x1,
x2
,
,
xn
,
t)
《固体物理》的研究对象
固态(晶体和非晶体)
物 质 液态(液晶体和非晶液体) 的 气态 状 态 等离子态
凝聚态物理
玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC）
结构 →长程有序（周期性） 晶体的特点
性能 → 各向异性
《固体物理》的研究内容
晶体的结构和功能的关系
力学、热学、电学、磁学、光学、等
2
B
O
a2 d = a1/h1 ·n
a1/h1 A
A
a1
(6). 晶面指数(h1 h2 h3) 和基矢和基矢相关,同一晶面在不同的基矢下, 晶面指数不同. 因此,在标注晶面指数时,同时应标注基矢!
密勒指数(h k l ) : 在晶胞基矢下的晶面指数.
{111}
-- (111), (111) (1-11), (11-1) (111-), (1-1-1) (11-1-), (1-11-)
（1）不同原子组成的晶体具有不同的性质。 （2）同种原子按不同的排列方式组成的晶体具有不同的性质。
（同质异构体）
碳 --- 奇妙的家族
Carbon: 1s22s22p2
石墨 (Graphite)
金刚石 (Diamond)
富勒烯(Fullerenes )
Robert F. Curl
1996年
H.W. Kroto R. E. Smalley
主束中未偏离的部分
(111)
(220) (311) (400)
θ 2dsinθ= nλ
(二) 散射波振幅
Rl = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3
n(r + Rl ) = n(r) (平移不变性)
n(r) = ∑GnG exp(iG·r)
G·Rl = 2πμ
G=Kh = h b1+ kb2 + mb3
a3· n = a3cos(a3^n) = h3d
cos(a1^n) : cos(a2^n) : cos(a3^n)
h1d
h3d
h2d
a2
= h1/a1 : h2/a2 : h3/a3
(h1 h2 h3)
n a1
ra1· n = ra1cos(a1^n) = ud
a3
sa2· n = sa2cos(a2^n) = ud
由于组成晶体的组分和组分原子的排列方式的多样性， 使实际的晶体结构非常复杂！
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同的点（结点）在空 间作规则的周期性的无限分布。
晶体的对称性
点阵的对称性
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
式过于复杂而难以求解。
--- 狄拉克 (1929)
参考书目
1. 《固体物理教程》 王矜奉 编著 （山东大学出版社） 2. 《固体物理导论》 基泰尔 （C. Kittel) (化学工业出版社） 3. 《固体物理学》 黄昆、韩汝琦 （高等教育出版社） 4. 《凝聚态物理学》上卷 冯端、金国钧 高等教育出版社） 5. 《Solid State Physics》 G. Grosso 、G. P. Parravicini (Elsevier)
1784年 法国学者阿羽依
R.J. Haliy
晶体是由无数个具有多面体形状的原始“组成单元”在三维空间无 间隙地平行堆砌而成
1848年 法国学者布拉斐(A．Bravais): 空间点阵
1890 年：费多罗夫(E.S. Fedorov) 1891 年：熊夫里斯 (A. Schönflies)
空间群论
特征：
(1) 同一晶面族中的晶面相互平行；（可以用晶面的法线方向表征晶面族的方向） (2) 相邻晶面之间的间距相等；（面间距是描述晶面的一个重要参数） (3) 相互平行的一族晶面把所有的格点包揽无遗，且每个平面上都有格点分布；
a1· n = a1cos(a1^n) = h1d
a2· n = a2cos(a2^n) = h2d a3