《运筹学》对偶理论

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线性规划的对偶模型
(2) 非对称型对偶问题
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若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式 再写对偶问题。也可直接写出非对称形式的对偶问题。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数
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目标函数变量的系数
min w 5 y1 9 y 2 4 y 3 y1 3 y 2 2 y 3 2 2 y y 2 y 1 1 2 3 s.t. 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 y1 y 2 y 3 5 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
总结
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约束条件对变量，
变量对约束条件；
正常对正常，
不正常对不正常；
变量正常是非负，
约束条件正常看目标(max ≤ ，min ≥)。
课堂作业：求解下面线性规划的对偶规划
max z 2 x1 x 2 3x3 5 x 4
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LP
x1 2 x 2 3 x3 x 4 5 3x x 2 x x 9 1 2 3 4 s.t. 2 x1 2 x 2 4 x3 x 4 4 x1 0, x 2 0, x3 无约束，x 4 0
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把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发 现一个有趣的现象。
原问题与对偶问题对比表 A（y1） 甲（x1） 乙（x2） 2 2 12 B（y2） 1 2 8 C（y3） 4 0 16 D（y4） 0 4 12 2 3 minω max z
线性规划的对偶模型
2. 原问题与对偶问题的对应关系
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t.12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2 0
min w b1 y1 b2 y2 11 y1 21 y2 c1 s.t. 12 y1 22 y2 c2 y1 0, y2无约束
第3章 线性规划对偶理论及其应用
本章主要内容： 线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
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设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B， C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值 及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
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对偶问题
目标函数: minb´Y
m个决策变量: Y 0
n个约束条件: A´Y C´
对偶问题
非规范形式的对偶关系
原问题
对非规范形式的对偶关系，只需对上述表进行相应修改即可： 例如对于一个最小化问题，若某个决策变量yi 0, 则期对偶的约束条件 为型的; 若其某个约束条件是型, 则其对应的对偶变量是非正的.
对偶问题 （原问题）
线性规划的对偶模型
（1）对称形式
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特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变 量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非 负.
P：
maxZ CX AX b X0
D:
minW Y T b A T Y C T Y0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
非规范形式线性规划的对偶问题
1 变量取值范围不符合非负要求的情况
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 , x 2 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
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解：原问题的对偶问题为
minW 5 y1 4 y 2 6 y 3 4 y1 3 y 2 2 y 3 2 y1 2 y 2 3 y 3 3 4 y 3 5 3 y1 2y 7y y 1 1 2 3 y1 0, y 2 0, y 3无 约 束
产品数据表
设备 产品 甲 乙 设备可利用机时数（时） A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 产品利润 （元／件） 2 3
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
线性规划的对偶模型
解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：
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max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
max z c1 x1 c2 x2 11x1 12 x2 b1 s.t.21x1 22 x2 b2 x1 0, x2 0
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max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 0
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t. 21x1 22 x 2 b2 x1 0, x 2 无约束
对偶问题（DLP）
max z CX AX b s.t. X 0
规 范 形 式
最大化问题: 约束条件全为型 决策变量全部非负
min w b' Y A' Y C ' s.t. Y 0
最小化问题: 约束条件全为型 决策变量全部非负
规范形式的对偶关系
原问题
目标函数: max CX m个约束条件: AX b n个决策变量: X 0
min 12 y1 8 y 2 16 y 3 12 y 4 2 y1 y 2 4 y 3 0 y 4 2 s.t 2 y1 2 y 2 0 y 3 4 y 4 3 y , y , y , y 0 1 2 3 4
线性规划的对偶模型
非规范形式线性规划的对偶问题
2 约束方程不是“≤”的情况
max z c1 x1 c 2 x 2 11x1 12 x 2 b1 s.t.21x1 22 x 2 b2 x1 , x 2 0
min w b1 y1 b2 y 2 11 y1 21 y 2 c1 s.t.12 y1 22 y 2 c 2 y1 , y 2 0
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max z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s .t 4 x1 16 4 x 12 2 x1 , x 2 0
原问题 （对偶问题）
min 12 y1 8 y 2 16 y 3 12 y 4 2 y1 y 2 4 y 3 0 y 4 2 s.t 2 y1 2 y 2 0 y 3 4 y 4 3 y , y , y , y 0 1 2 3 4
线性规划的对偶模型
对 偶 问 题 ： minW 2 y1 3 y 2 5 y 3 2 y1 3 y 2 y 3 2 3 y 1 y 2 4 y 3 3 5 y1 7 y 2 6 y 3 4 y1 , y 2 , y 3 0
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解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x 1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
已知P，写出D
线性规划的对偶模型
例. 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
线性规划的对偶模型
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
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（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型 产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收 费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线 性规划数学模型为：
目标函数 max 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = n个 变 量 ≥0 ≤0 无约束
约束条件右端项
目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 约 束 条 件
变 量
线性规划的对偶模型
例2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
m axZ 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4 4 x1 x 2 3 x 3 2 x4 5 7 x4 4 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 4 x 3 x4 6 x 0, x , x 0, x 无约束 2 3 4 1
原问题（生产计划）
min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
对偶问题（资源定价）
规范形式的线性规划问题
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原问题（LP）
max z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s .t 4 x1 16 4 x 12 2 x1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器 用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定 价才是最佳决策？
资源定价问题（LP2）
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min w 5 y1 4 y 2 9 y 3 y1 2 y 2 4 y 3 3 s.t. 2 y1 y 2 3 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0
比较
max z 3x1 2 x 2 x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3x 2 9 xБайду номын сангаас , x 2 0
DLP
对偶性质
例3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
maxz 2 x1 x 2 5 x 2 x 3 15 6 x1 2 x 2 x 4 24 s.t x1 x 2 x 5 5 xj 0
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min w 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y 3 y4 2 s.t 5 y1 2 y 2 y 3 y5 1 yi 0