24.1.2 垂直于弦的直径

B
试一试吧
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A
A
O
BLeabharlann Baidu
D
C
D
B
C
O
AB 10cm
AB 2 5cm
课堂总结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
AB=37 cm CD=7.23 cm 所以
AD=0.5AB=0.5×37=18.5 cm
OD=OC-CD=R-7.23 在RT△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 解得
R≈27.3（m） 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m
练习:
1.在圆O中，直径CE⊥AB于
E
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
求圆O的半径。
解：由题OD=4cm,
∴OD =OC-DC
又∵AC 10cm
A
O D
B
且
AC 2 DC 2 OA2 OD2
C
即
AC 2 （OC-OD）2 OC 2 OD2
解得
R=5或R=-（ 1 舍去）
所以圆O的半径为5cm
C
O
E
A
B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中，
AE和BE,A⌒C和B⌒C，A⌒D与B⌒D重合．
合
法
可以发现： 圆是轴对称图形。任何一条直径所在
直线都是它的对称轴
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧
赵州桥主桥拱的半径是多少？
邹岗中学 余威
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过 哪些轴对称图形？
如果一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 常见的轴对称图形有：角、线段、等腰三角形、矩 形等.
2、圆是不是轴对称图形呢？
.
圆是轴对称图形，经
过圆心的每一条直线都是
它们的对称轴
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其坐在圆的圆 心为O，半径为R 经过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧 AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB 的重点，C是弧AB的重点，CD就是拱高 由题设可知
剪一个圆形图片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能 得到什么结论？你能证明你的结论吗？
学生分组活动
结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在
的直线都是圆的对称轴.
验证结论
理由如下：连结AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
叠
半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程
D
任意知道两个量，可根据 勾股定理 定理求出第三个量.
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OE C
B
巩固训练
3.一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径为
7cm，则弓形的高为＿5＿c＿m＿.
C
C
A
D
B
O
O
A
D