03第三讲 二维随机变量的概率分布

第三讲 二维随机变量的概率分布

考纲要求

1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.

2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.

3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.

4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.

一、二维随机变量的概率分布

问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞⨯-∞内的概率.

二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤；

⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数

{}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞

=≤=≤<+∞=+∞=.

二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数

{}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞

=≤=<+∞≤=+∞=.

问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布

设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称

{},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====

为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中

01ij p ≤≤，1

1

1ij i j p ∞

∞

===∑

∑

.

⑵边缘分布

称{}1

(1,2,)i ij i j P X x p p i ∞

⋅===

==∑

，{}1

(1,2,)j ij j i P Y y p p j ∞

⋅===

==∑

分别为(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. 利用联合概率分布表计算如下： ⑶条件分布

称{}

(1,2,)ij i j j p P X x Y y i p ⋅===

= 为在j Y y =的条件下随机变量X 的条件分布；

称{}(1,2,)ij

j i i p P Y y X x j p ⋅

==== 为在i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布. 例

1.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p 且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求

⑴在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 个人下车的概率； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布(01-1). 解 ⑴{}(1)m m n m n P Y m X n C p p -===-； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布为

{}{}{},P X n Y m P X n P Y m X n ======

(1)

(0,1,2,0,1,,)!

n

m m n m

n e C p p n m n n λλ

--=

-==

2.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及关于X 和关于Y 的边缘概率分布的部分数值，将其余数值填入表中的空白处.

解 由联合分布与边缘分布的关系，得111116824

p =-=；

由独立性，得111124

64

p ⋅=

÷=；

由概率分布的性质，得213144

p ⋅=-=；其余数值可类似求出.

故

3.设随机变量1

1~(1,2)1/41/21/4i X i -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

且满足{}1201P X X ==，则

{}12P X X == . 【0】

问题3 何谓二维连续型随机变量的联合密度？它具有哪些性质？ 答 若存在非负函数(,)f x y ，使得随机变量(,)X Y 的分布函数 (,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞

-∞

=

⎰⎰

，则称(,)X Y 为二维连续随机变量，并称(,)f x y 为

(,)X Y 的联合概率密度或者联合密度函数.

联合概率密度具有如下性质： ⑴(,)0f x y ≥；

⑵(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞

-∞

=⎰

⎰

；

⑶(,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞

-∞

=

⎰⎰

连续；

⑷若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则(,)(,)xy

F x y f x y ''=； ⑸{}(,)(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰

.

例

1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度2(),(,)0,

x y ce f x y -+⎧=⎨⎩.,

0,0else y x +∞<<+∞<<

则常数=c ；),(Y X 落在区域{(,)1}D x y x y =+≤内的概率为 .

【提示：由2()

(,)41x y f x y dxdy dx e

dy +∞+∞+∞+∞-+-∞

-∞

=

=⎰

⎰

⎰

⎰

推出=c 4；

{}1

12()

2

(,)413x

x y P X Y D dx e

dy e

--+-∈=

=-⎰

⎰

.】

问题4 如何求二维随机变量的边缘密度？

答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则可按如下公式计算边缘密度： 关于X 的边缘密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞

=⎰

； 关于Y 的边缘密度()(,)Y f y f x y dx +∞-∞

=

⎰

.

例 设二维随机变量),(Y X 的概率密度26,,

(,)0,x y x f x y else

⎧≤≤=⎨⎩ 则),(Y X 关于X 的

边缘概率密度=)(x f X ，关于Y 的边缘概率密度=)(y f Y .

解 画出概率密度(,)f x y 的非零区域. 由图看出，X 的取值范围[0,1]， 当01x ≤≤时，2

2

()(,)66()x X x

f x f x y dy dy x x +∞-∞

=

=

=-⎰

⎰

，

关于X 的边缘概率密度26(),01,

()0,

.X x x x f x else ⎧-≤≤=⎨⎩

类似可求出关于Y

的边缘概率密度),01,

()0,

.

Y y y f y else ⎧≤≤⎪=⎨

⎪⎩