03第三讲 二维随机变量的概率分布

第三讲 二维随机变量的概率分布
考纲要求
1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.
2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.
4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
一、二维随机变量的概率分布
问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞⨯-∞内的概率.
二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤；
⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数
{}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞
=≤=≤<+∞=+∞=.
二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数
{}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞
=≤=<+∞≤=+∞=.
问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布
设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称
{},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====
为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中
01ij p ≤≤，1
1
1ij i j p ∞
∞
===∑
∑
.
⑵边缘分布
称{}1
(1,2,)i ij i j P X x p p i ∞
⋅===
==∑
，{}1
(1,2,)j ij j i P Y y p p j ∞
⋅===
==∑
分别为(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. 利用联合概率分布表计算如下： ⑶条件分布
称{}
(1,2,)ij i j j p P X x Y y i p ⋅===
= 为在j Y y =的条件下随机变量X 的条件分布；
称{}(1,2,)ij
j i i p P Y y X x j p ⋅
==== 为在i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布. 例
1.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p 且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求
⑴在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 个人下车的概率； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布(01-1). 解 ⑴{}(1)m m n m n P Y m X n C p p -===-； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布为
{}{}{},P X n Y m P X n P Y m X n ======
(1)
(0,1,2,0,1,,)!
n
m m n m
n e C p p n m n n λλ
--=
-==
2.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及关于X 和关于Y 的边缘概率分布的部分数值，将其余数值填入表中的空白处.
解 由联合分布与边缘分布的关系，得111116824
p =-=；
由独立性，得111124
64
p ⋅=
÷=；
由概率分布的性质，得213144
p ⋅=-=；其余数值可类似求出.
故
3.设随机变量1
1~(1,2)1/41/21/4i X i -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
且满足{}1201P X X ==，则
{}12P X X == . 【0】
问题3 何谓二维连续型随机变量的联合密度？它具有哪些性质？ 答 若存在非负函数(,)f x y ，使得随机变量(,)X Y 的分布函数 (,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞
-∞
=
⎰⎰
，则称(,)X Y 为二维连续随机变量，并称(,)f x y 为
(,)X Y 的联合概率密度或者联合密度函数.
联合概率密度具有如下性质： ⑴(,)0f x y ≥；
⑵(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞
-∞
=⎰
⎰
；
⑶(,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞
-∞
=
⎰⎰
连续；
⑷若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则(,)(,)xy
F x y f x y ''=； ⑸{}(,)(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰
.
例
1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度2(),(,)0,
x y ce f x y -+⎧=⎨⎩.,
0,0else y x +∞<<+∞<<
则常数=c ；),(Y X 落在区域{(,)1}D x y x y =+≤内的概率为 .
【提示：由2()
(,)41x y f x y dxdy dx e
dy +∞+∞+∞+∞-+-∞
-∞
=
=⎰
⎰
⎰
⎰
推出=c 4；
{}1
12()
2
(,)413x
x y P X Y D dx e
dy e
--+-∈=
=-⎰
⎰
.】
问题4 如何求二维随机变量的边缘密度？
答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则可按如下公式计算边缘密度： 关于X 的边缘密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞
=⎰
； 关于Y 的边缘密度()(,)Y f y f x y dx +∞-∞
=
⎰
.
例 设二维随机变量),(Y X 的概率密度26,,
(,)0,x y x f x y else
⎧≤≤=⎨⎩ 则),(Y X 关于X 的
边缘概率密度=)(x f X ，关于Y 的边缘概率密度=)(y f Y .
解 画出概率密度(,)f x y 的非零区域. 由图看出，X 的取值范围[0,1]， 当01x ≤≤时，2
2
()(,)66()x X x
f x f x y dy dy x x +∞-∞
=
=
=-⎰
⎰
，
关于X 的边缘概率密度26(),01,
()0,
.X x x x f x else ⎧-≤≤=⎨⎩
类似可求出关于Y
的边缘概率密度),01,
()0,
.
Y y y f y else ⎧≤≤⎪=⎨
⎪⎩
问题5 如何求二维随机变量的条件密度？
答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，关于,X Y 的边缘密度分别为(),()X Y f x f y ，则可按如下公式计算条件概率密度：
在Y y =的条件下，X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =
；
在X x =的条件下，Y 的条件概率密度(,)()()
Y X X f x y f y x f x =.
问题6 如何判断随机变量的独立性？ 答 判断随机变量的独立性的方法有：
⑴随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=； ⑵离散型随机变量X 与Y 相互独立,,ij i j i j p p p ⋅⋅⇔∀=； ⑶连续随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y f x y f x f y ⇔=.
问题7 何谓二维均匀分布？
答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度1
,(,),
(,)0,(,),x y D f x y x y D σ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
其中σ为D 的面
积，则称(,)X Y 服从区域D 上的均匀分布.
问题8 何谓二维正态分布？它具有哪些性质？ 答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度
2211222
11221(,)[()2()()()]2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫----=
--+⎨⎬-⎩⎭
则称(,)X Y 服从二维正态分布，记作22
1212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.
二维正态分布22
1212(,,,,)N μμσσρ具有如下性质：
⑴关于X 和Y 的边缘分布分别为211(,)N μσ，2
22(,)N μσ；
⑵条件分布均为正态分布；
⑶X 和Y 的非零线性组合aX bY +服从正态分布； ⑷X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0ρ=.
例 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）.
(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 2
1}0{=
≤-Y X P (D) 2
1}0{=
≤-Y X P
【提示 独立的正态变量的线性函数仍为正态变量；B 】
二、二维随机变量函数的分布
问题9 如何求二维随机变量函数的概率分布？
答 设(,)g x y 在随机变量(,)X Y 的一切可能值有定义，则称(,)Z g X Y =为随机变量
(,)X Y 的函数.
求离散型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =取哪些值，并求出对应的概率；
求连续型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =的取值范围，并求出分布函数.
求两个独立随机变量X 与Y 的和Z X Y =+的概率密度，可用如下的卷积公式 ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞
=
-⎰
.
例
1.设ηξ,是两个相互独立且服从同分布的随机变量，如果ξ的分布律为
3,2,1,3
1}{==
=i i P ξ，求),max(ηξ=X 与),min(ηξ=Y 的分布律.
解 ),m a x (ηξ=X 的取值为1，2，3
{}{}{}{}111,1119
P X P P P ξηξη========
；
{}{}{}{}321,11,22,29
P X P P P ξηξηξη====+==+===；
{}{}{}531129
P X P X P X ==-=-==
，
故),max(ηξ=X 分布律为：
类似可求出),min(ηξ=Y 分布律为：
2.设1X 和2X 独立，)2,1(1}2{,}1{=-====i p X P p X P i i ，令
1,0,X ⎧=⎨⎩
为偶数
若为奇数
若2121X X X X ++ 则2X 的概率分布为 .
3.设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x D 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S .(99-1)
解 ),(Y X 的概率密度1
,(,)(,)20,(,)x y D
f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
X 的取值范围为[0,2]，Y 的取值范围为[0,1]，S XY =的取值范围为[0,2].
S XY =的分布函数{}()S F s P S s =≤，
当0s ≤时，{}()0S F s P S s =≤=，当2s ≥时，{}()1S F s P S s =≤=， 当02s <<时，
{}{}{}
()11S F s P S s P S s P XY s =≤=->=->21
1
(,)1(1ln 2ln )2
2
s s
x
xy s
s f x y dxdy dx dy s >=
=-
=
+-⎰⎰
⎰⎰，
故S 的概率密度1
(ln 2ln ),02,
()20,.S s s f s else ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩
4.设随机变量X 和Y 相互独立， 2
~(,)X N μσ， ~(,)Y U ππ-.试求Y X Z +=的密度函数（用)(x Φ表示）.(92-1)
解 X 和Y 相互独立，2
~(,)X N μσ，~(,)Y U ππ-，
则),(Y X 的密度函数=),(y x f 1
(),()()20,.X X Y f x y f x f y else πππ⎧-<<⎪
=⎨⎪⎩
，
Y X Z +=的分布函数
{}{}()(,)Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰
11()(
)22z y X z y dy f x dx dy πππ
π
μ
Φπ
π
σ---∞
---=
=
⎰
⎰
⎰
（令z y t μ
σ
--=
）
1()()()22z z z z t dt t dt πμ
πμ
σσ
πμπμ
σ
σ
σ
ΦσΦπ
π
--+-+---=
-=
⎰
⎰
，
Y X Z +=的密度函数
1
()()[]2Z Z z z f z F z πμπμπσσ+---⎛⎫⎛⎫'==
Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。