第4节 单调有界定理及其应用PPT课件

Ai Z, pi ,qi ,ri {0,1,2,,9}, i 1,2,3,
.
考察 {Ai}由 , 于 {an}有界、递 可增 知 {An， }在某一行
N0达到最A大 ， 并值 不随行的增. 加而改变
再 考 察 p1,第 q1,r1, 二 ， 设 x列 1是 在 N0项 第后 本 出 现 的,最 设 大 出 的 现 N1项 , 在 易N 第 见 1N0.
可{a 知 nk}也有 .从 上 .而 .界 ....
11
例4 研究下面两数列的极限
sn11 1 !2 1 !3 1 ! n 1 !,
en
1
1 n n
解：（ 1） sn显然单调递增，且
s n 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 1 3 4 1 2 1 n
111 22 1 2 21 n 13
a2k11213141 7181 115 (2k1 1) (2k 11)
10
1224488(22kk 11)
12 1 14 1 18 1 1(2k 1 1) 1
12 1 1 2 1 1 2 2 1 1 k 1
1
1
1
k
21
1 21
21 21
. 1
表{a 明 n}的子 {a2k1列 }是有,上 而{界 a 由 n}递 的 ,增
3
对第三,列 第四列 ,重复同样的过 可 以程得 到，数
x2,x3,x4, 和相应N 的 1N 正 2N 整 3 数 .
下 a 证 A .x 1x 2 x k 就是 {a n }的 数 .极 列 限
（ xk表 示 {an数 }从列 N 第 k项 小 数 k项 点 都 xk ） 后
0,取 mN*, 1 0m,则 对 所 n有 Nm,的
an的 整 数 部 分前 及 m位 小 的 数 a数 相 点 与 .同 因 后此 :
|a na|1 m 0.
即 ln i a m nA .x 1x 2x 3 . 4
推论4.1
(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛； (2)若单调数列的一个子列趋向无穷大 ,则此数列
趋向于无穷大； (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷大； (4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界.
|ana|. 6
例1 证明 xn 数 3列 3 3(n 重根 式 )的极.限存在
证 显x n 然 1x n , xn是单调递 ; 增的
又 x 133 ,假x 定 k3, xk13xk 33 3,
xn是有界 ; 的 ln im xn 存在 .
x n 13x n, xn 213xn, ln i x m n 2 1ln i (m 3xn),
证明: (1) 数列若有无界,子 则列 发散 .
事实上， kN 对*,有
a2k 11 21 31 41 51 81 9116
2k1 1121k
11214141818116116
21k 21k
9
111 11k, (k0,1, ) 2 2 2 2
k个
可 {a n } 见 无 ,进 界 {而 a n } 发 .得 散 (2){an}严格递 ,只 增须证有收敛子 由于列即
A2 3A, 解A 得 11,3A 11(3 舍去)
2
2
ln i m xn
1 13. 2
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例2 求数列 ann!的极,限 a为任意给定.的实数
解 令xn|an!|n, nN*. 则n当 |a|时 ,
|a| xn1xnn1xn.
因此 {xn}是从某一项数 开,列 且 始有 递0下 减 . 界 的
所以 x极 ln ix m n存 限. 在 在 x n 1 x n n |a |1 两 n 边 ,得 x 令 x 到 0 0 .
则称 {an}是严格单(递 调减 递 )数增 列 .
定理4.1 单调有界数列必有极限.
几何解释: x 1 x 2 x 3 x n xn1 A M
x
2
证明 不妨 {an}递 设,有 增上 , 界
将各项 an用十进制数表示：
a1 A1 . p1 p2 p3 , a 2 A2 .q1q2q3 , a 3 A3 .r1 r2 r3 ,
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )1 ( 2 ) 2 ! n3 ! n n
1(11)1 (2) (1n 1 )
n ! n n
n
112 1 !3 1 ! n 1 !sns.
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ln i m enln i m (1n 1)n 存在 设， ln im ene, 则es. ( 3 ) 对 nm,
5
(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；
证明：不妨 an单 设 增lk ， i m ank且 a 有
0 , K , k K ,有 a n k a
取 NnK 1,对 nN ,由单调 nk 性
anK1anank
即 a n K 1 a a n a a n k a
所以 {xn}为无穷 ,从小 而ann!也是无穷. 小
注：数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以我们可以将 8 “从某一项开始为单调的数列”看作单调数列。
例3 (1 )设 a n 1 1 2 n 1 ,n N * ,求 { a n } 证 发 . 散
( 2 ) 设 a n 1 2 1 n 1 ,n N * , 1 ,求 { a n } 收 证 .
§1.4 单调有界定理及其应用
1
一、 单调有界定理
定义4.1(单调数列定义) 若数{列 an}满足：
a n a n 1 ( a n a n 1 )n ,1 ,2 ,3 ,
则{称 an}是单调 (递 递)减 数 增.列 若数{列 an}满足：
a n a n 1 ( a n a n 1 )n ,1 ,2 ,3 ,
e n 1 1 1 ! 2 1 ! ( 1 n 1 ) m 1 ! ( 1 n 1 ) ( 1 m n 1 ) 固m 定 ,令 n ，得
ln i m sns.
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n 1 k C n k n 1 k k !(n n !k ) ! k 1 ! 1 n 1 1 k n 1
( 2 ) 观 en 和 察 en 1 易 en 知 en 1 ， 即 {en }递 数 . 增
en1n 1nkn 0Cn kn 1k