定积分的概念和性质
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第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的概念 三、 定积分的性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
由连续曲线
、x轴、 及两直线
所围成的图形称为曲边梯形。
如何求其面积 A？
y f (x)
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
y
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
为高的小矩形, 并以此小
矩形面积近似代替相应
小曲边梯形面积
得
o a x1
i
xi1 xi
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
n
n
A Ai f (i )xi
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
b
n
a
f
( x) dx
lim
0
i 1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
（1）定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u)d u
（2）规定
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
b
a
a f (x)dx 0
2.定积分的几何意义:
y
曲边梯形面积
y
a0
a
b
b
0
x
曲边梯形面积的负值
y
A1
A3
A5
a c A2
d
e A4 f b x
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
tn= T2 t
将[T1, T2]它分成n 个小段 在第i个小段上物体经过的路程为
2) 取近似.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
3) 求和.
4) 取极限 . 上述两个问题的共性: • 所求量为同一类和式极限: 特殊乘积和式的极限
二、定积分的概念
1Βιβλιοθήκη Baidu定积分的定义
在a,b之间任意添加分点
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
3、可积的充分条件: 定理.
定理. 且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
例2.利用定积分的几何意义计算
5
（1） xdx. 0
a
（2）
a2 x2 dx.
0
三、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
1.方向性
长度依次为：
x1 x1 x0, x2 x2 x1,, xn xn xn1
用直线
x
xi将曲边梯形分成
n
个小曲边梯形;
y
每个小曲边梯形的面积为 Ai
曲边梯形的面积
o a x1
A
i
xi1 xi
2) 取近似.
在第i 个小曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意添加 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把[a , b] 分成n个小区间 [x0, x1],[x1, x2 ][xn1, xn ]
b
2. a dx b a
a
a f (x)dx 0
3.线性
( k 为常数)
4.线性
b
b
b
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
5.可加性 对a,b, c
6. 保号性 若在 [a , b] 上
推论1.（保序性 ）若在 [a , b] 上 推论2.(绝对可积性）
i1
i1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
y
A Ai
i1
n
lim
0
i1
f
(i
)xi
o a x1 xi1 xi
i
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在这段时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 分割.
0
T1＝t0 t1 ti–1 i ti
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
若极限
存在， 且唯一
则称之 为函数
即
在区间
上的定积分,
记作
b
f (x)dx
b a
f
(
x)
d
x
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
a
此时也称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
a f (x) dx f ( )(b a)
y f (x) y
oa bx
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
-------称为函数f(x) 在[a,b]上的平均值
例3：比较
2 exdx
2
和 (x 1)dx
0
0
例4：估计 2 (x2 x)dx 的值 0
5
0 xdx.
小结： 定积分的概念及性质
1.定积分定义
2.定积分的几何意义 3.可积的充分条件 4.定积分的性质
定积分的性质
1.方向性
b
2. a dx b a
3.线性
a
a f (x)dx 0
( k 为常数)
4.线性
b
b
b
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
5.可加性 对a,b, c
6. 保号性 若在 [a , b] 上
推论1.（保序性 ）若在 [a , b] 上 推论2.(绝对可积性）
则 (a b) 则
(a b)
(a b)
7.估值定理：若 M max f (x), m min f (x) ,则
[a, b]
[a, b]
(a b)
则 (a b) 则
(a b)
(a b)
7.估值定理：若 M max f (x), m min f (x) ,则
[a, b]
[a, b]
(a b)
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
积分中值公式
• 积分中值定理的几何意义
5.1 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的概念 三、 定积分的性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
由连续曲线
、x轴、 及两直线
所围成的图形称为曲边梯形。
如何求其面积 A？
y f (x)
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
y
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
为高的小矩形, 并以此小
矩形面积近似代替相应
小曲边梯形面积
得
o a x1
i
xi1 xi
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
n
n
A Ai f (i )xi
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
b
n
a
f
( x) dx
lim
0
i 1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
（1）定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u)d u
（2）规定
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
b
a
a f (x)dx 0
2.定积分的几何意义:
y
曲边梯形面积
y
a0
a
b
b
0
x
曲边梯形面积的负值
y
A1
A3
A5
a c A2
d
e A4 f b x
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
tn= T2 t
将[T1, T2]它分成n 个小段 在第i个小段上物体经过的路程为
2) 取近似.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
3) 求和.
4) 取极限 . 上述两个问题的共性: • 所求量为同一类和式极限: 特殊乘积和式的极限
二、定积分的概念
1Βιβλιοθήκη Baidu定积分的定义
在a,b之间任意添加分点
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
3、可积的充分条件: 定理.
定理. 且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
例2.利用定积分的几何意义计算
5
（1） xdx. 0
a
（2）
a2 x2 dx.
0
三、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
1.方向性
长度依次为：
x1 x1 x0, x2 x2 x1,, xn xn xn1
用直线
x
xi将曲边梯形分成
n
个小曲边梯形;
y
每个小曲边梯形的面积为 Ai
曲边梯形的面积
o a x1
A
i
xi1 xi
2) 取近似.
在第i 个小曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意添加 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把[a , b] 分成n个小区间 [x0, x1],[x1, x2 ][xn1, xn ]
b
2. a dx b a
a
a f (x)dx 0
3.线性
( k 为常数)
4.线性
b
b
b
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
5.可加性 对a,b, c
6. 保号性 若在 [a , b] 上
推论1.（保序性 ）若在 [a , b] 上 推论2.(绝对可积性）
i1
i1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
y
A Ai
i1
n
lim
0
i1
f
(i
)xi
o a x1 xi1 xi
i
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在这段时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 分割.
0
T1＝t0 t1 ti–1 i ti
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
若极限
存在， 且唯一
则称之 为函数
即
在区间
上的定积分,
记作
b
f (x)dx
b a
f
(
x)
d
x
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
a
此时也称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
a f (x) dx f ( )(b a)
y f (x) y
oa bx
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
-------称为函数f(x) 在[a,b]上的平均值
例3：比较
2 exdx
2
和 (x 1)dx
0
0
例4：估计 2 (x2 x)dx 的值 0
5
0 xdx.
小结： 定积分的概念及性质
1.定积分定义
2.定积分的几何意义 3.可积的充分条件 4.定积分的性质
定积分的性质
1.方向性
b
2. a dx b a
3.线性
a
a f (x)dx 0
( k 为常数)
4.线性
b
b
b
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
5.可加性 对a,b, c
6. 保号性 若在 [a , b] 上
推论1.（保序性 ）若在 [a , b] 上 推论2.(绝对可积性）
则 (a b) 则
(a b)
(a b)
7.估值定理：若 M max f (x), m min f (x) ,则
[a, b]
[a, b]
(a b)
则 (a b) 则
(a b)
(a b)
7.估值定理：若 M max f (x), m min f (x) ,则
[a, b]
[a, b]
(a b)
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
积分中值公式
• 积分中值定理的几何意义