漫谈微分几何、多复变函数与代数几何

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。

多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时 Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Ber

gman核函数，那个时代的多复变函数还是 Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的 Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。

代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域

称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如：Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H? Cartan （E?Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau 证明了 Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。 Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的， Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是 Cartan发展了Levi-Civita 联络的概念，发展出微分几何

中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。

正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE （偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得 PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。

大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan 的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的 Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。

如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题