第3章平稳时间序列分析

时间序列分析
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
• 自相关函数呈现出“伪周期”性
• 理论偏自相关函数
⎧2 ,k =1 ⎪3 ⎪ φkk = ⎨−0.5 , k = 2 ⎪0 ,k ≥ 3 ⎪ ⎩
• 样本偏自相关图
时间序列分析
(2) X t = − X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随 机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全 能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动 序列和格林函数便可确定系统的响应 拟合AR(p)模型的过程也就是使相关序列独立 化的过程.
时间序列分析
• 平稳性的Green函数判别法
欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j → ∞时，有G j → 0
ρ k 减小，且以指数速度减小，越来越与0接近，
这种现象称为拖尾.
时间序列分析
4、AR(1)的PACF （1） PACF的求解
AR (1)的 PACF 按照 PACF的递推公式有：
ρ 2 − ρ1φ11 φ12 − φ12 φ11 = ρ1； φ 22 = = =0 2 1 − ρ1φ11 1 − φ1 φ21 = φ11 − φ 22φ11 = φ1 ρ 3 − ρ 2φ 21 − ρ1φ 22 φ13 − φ12φ1 − 0 = =0 φ33 = 2 1 − ρ1φ 21 − ρ 2φ 22 1 − φ1 − 0
时间序列分析
（三）AR(1)的统计特征
1、 AR(1)的方差：
• 平稳AR(1)模型的传递形式为
∞ ∞ at i Xt = = ∑ (φ1 B) at = ∑ φ1i at −i 1 − φ1 B i =0 i =0
• Green 函数为
G j = φ1 , j = 0,1,
j
• 平稳AR(1)模型的方差
at at k1 k2 = =( + )at Xt = φ ( B) (1 − λ1 B)(1 − λ2 B) 1 − λ1 B 1 − λ2 B = k1 (1 + λ1 B + λ12 B 2 + = ∑ (k1λ1j + k2 λ2j )at − j
j =0 ∞
AR(2)的Green函数
)at + k2 (1 + λ2 B + λ22 B 2 +
时间序列分析
3、AR(2)模型平稳条件 • 平稳域
时间序列分析
例 3.3 考察如下模型的平稳性
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
(2) X t = X t −1 + 0.5 X t − 2 + at
时间序列分析
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at (2) X t = X t −1 + 0.5 X t − 2 + at
)at
∴ G j = k1λ1j + k2 λ2j
平稳 ⇔ 当j → ∞时，G j → 0 ⇔| λ1 |< 1,| λ2 |< 1
时间序列分析
(2) 特征根判别法与辅助方程判别法 –AR(2)模型平稳的充要条件是特征方程 的根都在单位圆内 –AR(2)模型平稳的充要条件是自回归辅 助方程的根都在单位圆外
（2） PACF的特点
当k ≥ 2时，φkk = 0，Hale Waihona Puke 种现象称为截尾现象. 时间序列分析
例3.2 考察如下AR模型的自相关与偏自相关
(1) X t = 0.8 X t −1 + at (2) X t = −0.8 X t −1 + at
时间序列分析
(1) X t = 0.8 X t −1 + at
= φ1γ k −1 = (k ≥ 1) =φ γ
k 1 0
时间序列分析
3、 AR(1)的ACF （1） ACF的求解
AR(1)的ACF ∵ γ k = φ1k γ 0 ,
（2） ACF的特点 ρ k = φ1k , ∵ φ1 < 1,
γk ∴ ρk = = φ1k γ0
∴当k 增大时，即序列之间的间隔增大时，
j =0 2 j 2 a ∞
• 两边求方差得
时间序列分析
2、协方差函数
• 在平稳AR(p)模型两边同乘X t − k , ∀k ≥ 1 ，再求期 望
E( Xt Xt−k ) = φ1E( Xt−1Xt−k ) + +φp E( Xt− p Xt−k ) + E(at Xt−k )
2 σ 2j 2j 2 Var ( X t ) = ∑ φ1 Var (at ) = ∑ φ1 σ a = a 2 1 − φ1 j =0 j =0 ∞ ∞
时间序列分析
2、AR(1)的协方差函数
• 递推公式
γ k = E ( X t −k X t ) = E (φ1 X t −1 X t − k ) + E ( X t − k at )
⎪ ⎪φ p ≠ 0 ⎨ 2 ( ) 0 ( ) σ ， E a Var a = = ⎪ t t a , E ( at as ) = 0, s ≠ t ⎪ EX a = 0, ∀s < t ⎩ s t
时间序列分析
自回归系数多项式
AR ( p ) 模型又可以简记为 引进延迟算子，
φ ( B) X t = at
其中系数 {G j , j = 1,2,
}
称为Green函数.
时间序列分析
• AR(1)的格林函数 AR(1):
X t = φ1 X t −1 + at
) at = ∑ φ1j at − j
j =0 ∞
1 Xt = at = (1 + φ1 B + φ12 B 2 + 1 − φ1 B
从而格林函数为
称上式为一阶自回归过程，记为AR(1) 式中at为均值为0、方差为σa2的白噪声序列
时间序列分析
2、模型特点
基本假定
若干关系
模型实质
时间序列分析
（二）AR(1)的可逆性与平稳性
1、AR（1）模型可逆性判别 AR（1）模型是无条件可逆的 2、AR（1）模型平稳性判别 • 判别原因 – AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之 一，但并非所有的AR模型都是平稳的 • 判别方法 – 格林函数判别法 – 特征根判别法（辅助方程判别法） 时间序列分析
（1）格林函数判别法 • Green函数定义 AR模型的传递形式
p p ∞ at ki =∑ Xt = at = ∑∑ ki (λi B ) j at Φ ( B) i =1 1 − λi B i =1 j = 0
= ∑∑ ki λi j at − j
j = 0 i =1
∞
p
∑G a
j =0
∞
j t− j
• 自相关函数按指数形式单调收敛到零
理论偏自相关函数
样本偏自相关图
⎧0.8 , k = 1 φkk = ⎨ ,k ≥ 2 ⎩0
时间序列分析
(2) X t = −0.8 X t −1 + at
• 自相关函数按指数形式单调收敛到零
理论偏自相关函数
样本偏自相关图
⎧−0.8 , k = 1 φkk = ⎨ ,k ≥ 2 ⎩0
自回归系数多项式
φ ( B) = 1 − φ1 B − φ2 B −
2
− φp B
p
自回归辅助方程
φ ( B) = 0
时间序列分析
（二）AR(p)的可逆性与平稳性
1、AR(p)模型的可逆性
AR(p)模型是无条件可逆的
时间序列分析
2、AR(p)模型平稳性判别 （1）格林函数判别法
AR(p)的Green函数
时间序列分析
• 辅助方程的根
φ1 + φ + 4φ2 1 = λ1 = B1 2
2 1
φ1 − φ + 4φ2 1 = λ2 = B2 2
2 1
∵ 平稳 ⇔| λ1 |< 1,| λ2 |< 1
时间序列分析
φ1 + φ12 + 4φ2 1 < 1 ⇒ φ1 + φ12 + 4φ2 < 2 | |< 1 ⇒ −1 < 2 B1
2、AR(2)的ACF （1） ACF的求解
AR (2)的ACF ⎧1, ⎪ ⎪ φ1 ρk = ⎨ ⎪1 − φ2 ⎪ ⎩φ1 ρ k −1 + φ2 ρ k − 2 k =0 k =1 k≥2
（2） ACF的特点
时间序列分析
3、AR(2)的PACF （1） PACF的求解
时间序列分析
（2） PACF的特点
时间序列分析
（2）特征根判别法与辅助方程判别法
• 特征根判别 – AR(p)模型平稳的充要条件是它的 p 个特征根 都在单位圆内 – 根据特征根和辅助方程的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归辅助方程的 根都在单位圆外 • 平稳域表示 – 平稳域
{φ1 ,φ2 ,
,φ p 单位根都在单位圆内 }
φ2 = 0.5, φ2 + φ1 = 0.5, φ2 − φ1 = −1.5
φ2 = 0.5, φ2 + φ1 = 1.5, φ2 − φ1 = −0.5
时间序列分析
（三）AR(2)的统计特征
1、AR(2)的协方差函数
• 平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
1 − φ2 ⎧ 2 ⎪γ 0 = (1 + φ )(1 − φ − φ )(1 + φ − φ ) σ a 2 1 2 1 2 ⎪ φ1γ 0 ⎪ ⎨γ 1 = 1 − φ2 ⎪ ⎪γ k = φ1γ k −1 + φ2γ k − 2，k ≥ 2 ⎪ ⎩ 时间序列分析
时间序列分析
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第三章
平稳时间序列分析
3.1 自回归过程 3.2 移动平均过程 3.3 自回归移动平均过程
时间序列分析
自回归过程 一、一阶自回归AR(1)
（一）AR(1)特征
1、模型表达式 已知零均值平稳序列{ X t } 具有一期记忆，即
3.1
X t = φ1 X t −1 + at
–AR(p)模型平稳的充要条件是
当j → ∞时，有G j → 0
（2）特征根判别法与辅助方程判别法 –AR(p)模型平稳的充要条件是自回归辅 助方程的根都在单位圆外 时间序列分析
（三）AR(p)的统计特征
1、方差
X t = ∑ G j at − j
j =0
∞
• 平稳AR模型的传递形式
Var ( X t ) = ∑ G σ , G j为Green函数
• 自相关函数不规则衰减
• 理论偏自相关函数
⎧ 2 ⎪− 3 ⎪ φkk = ⎨−0.5 ⎪0 ⎪ ⎩ ,k =1 ,k = 2 ,k ≥ 3
• 样本偏自相关图
时间序列分析
三、p 阶自回归模型AR(p)
(一)AR(p)特征
具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模 型，简记为 AR ( p ) ⎧ X t = φ1 X t −1 + φ2 X t − 2 + + φ p X t − p + at
时间序列分析
二、二阶自回归AR(2) （一）AR(2)特征
1、模型表达式
X t = φ1 X t −1 + φ2 X t − 2 + at
2、模型特点
时间序列分析
（二）AR(2)的可逆性与平稳性
1、AR（2）模型可逆性判别
AR（2）模型是无条件可逆的
时间序列分析
2、AR(2)模型平稳性判别 （1）格林函数判别法
G j = φ , j = 0,1,
j 1
• 上式是差分方程 X t = φ1 X t −1 + at 的解.它 at 表明系统是怎样记忆扰动 或某一时刻进 入系统的扰动对后继行为的影响程度，是过 去扰动的权重函数. 时间序列分析
时间序列分析
φ1接近于1,表明系统的记忆较强；相反， φ1接近于 0，表明系统的记忆较弱，故格林函数亦称为记忆函 数.
当k ≥ 3时，φkk = 0, 即
时间序列分析
AR(2)ACF、PACF示例
时间序列分析
时间序列分析
时间序列分析
例3.4 考察如下AR模型的自相关与偏自相关
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at (2) X t = − X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
⇒ φ12 + 4φ2 < 2 − φ1 ⇒ φ12 + 4φ2 < 4 − 4φ1 + φ12 ⇒ φ2 + φ1 < 1 1 | |< 1 ⇒ −1 < B2
φ1 − φ12 + 4φ2
2
< 1 ⇒ φ1 − φ12 + 4φ2 > −2
⇒ φ12 + 4φ2 < 2 + φ1 ⇒ φ12 + 4φ2 < 4 + 4φ1 + φ12 ⇒ φ2 − φ1 < 1
时间序列分析
（3）AR(1)模型平稳条 件 • 特征根 λ = φ1 • 平稳域
φ1 <1
例 3.1 考察如下模型的平稳性
(1) X t = 0.8 X t −1 + at
(2) X t = −1.1X t−1 + at
时间序列分析
(1) X t = 0.8 X t −1 + at
(2) X t = −1.1X t −1 + at