风险与收益衡量的基础知识
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+0.5×(5-5.25)(5-5)
协方差的大小 在一定程度上 反映了X和Y相 互间的关系，
路漫漫其悠远
+0.25×(1-5.25)(4-5) =2.25
但它还受X与Y 本身度量单位
的影响.
相关系数
定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0,
为随机变量X和Y的相关系数 . 在不致引起混淆时，记 为 .
路漫漫其悠远
协方差计算（离散型）
路漫漫其悠远
经济形势
协方差习题
繁荣
正常 萧条
概率
1/4
1/2
1/4
甲公司股价 10
5
1
乙公司股价 6
5
4
E（P甲）=0.25×10+0.5×5+0.25×1=5.25
E（P乙）=0.25×6+0.5×5+0.25×4=5 Cov(R甲, R乙)=0.25×(10-5.25)(6-5）
揭示出什么固定模式。
路漫漫其悠远
协方差
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
路漫漫其悠远
关于XY的符号:
XY ≦1. 当 XY > 0 , 称X与Y为正相关. 当 XY = 0 , 称X与Y不相关 当 XY < 0 , 称X与Y为负相关 当 XY =1,称X与Y完全正相关 当 XY =-1,称X与Y完全负相关
正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少 的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.
X为离散型，
P{X=xk}=pk
路漫漫其悠远
X为连续型， X~f(x)
两批零件的长度有如下的分布
E(ξ1)=9 E(ξ2)=9
路漫漫其悠远
=0.5
第二批零件更好。
两种方案的预期收益相同
路漫漫其悠远
第二种方案风险更大
方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证：Var(X)=E[X-E(X)]2
X
E（X）
路漫漫其悠远
数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出X,Y独立
4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
路漫漫其悠远
测量结果的
均值都是 a
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
路漫漫其悠远
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
风险与收益衡量的基础 知识
路漫漫其悠远
2020/3/23
第一节 基础知识
• 数学期望 • 方差 • 标准差 • 协方差 • 相关系数
路漫漫其悠远
数学期望
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布
是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…
如果
有限, 定义X的数学期望
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和.
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
乙较好
路漫漫其悠远
方差
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 }
(1)
为X的方差.
采用平方是为了保证一切
注：也可以记 作D(X)
差值X-E(X)都起正面的作用
由于它与X具有相同的度量单位，在实
际问题中经常使用.
衡量离散程度 称之为标准差或根方差
路漫漫其悠远
协方差
协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们 之间的互动性。
协方差可为正值、负值或零。 ➢ 正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均
值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。 ➢ 负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与
之相反，另一个则会出现小于均值的值。 ➢ 协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能
路漫漫其悠远
计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
路漫漫其悠远
接上例
Var（P甲） =0.25×（10-5.25）2
+0.5×（5-5.25）2 +0.25×（1-5.25）2 =10.19
σ甲=3.19
Var（P乙） =0.25×（6-5）2
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路漫漫其悠远
Var(X)=E[X-E(X)]2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 .
路漫漫其悠远
由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 .
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
利用期望 性质
路漫漫其悠远
故方差为
路漫漫其悠远
方差的性质
(1)D(c)=0 D(c)=E(c-Ec)2
路漫漫其悠远
标准差
在实际问题中，由于数据单位的要求。
一般用：
σ= Var(X)
路漫漫其悠远
例1
X甲
X乙
E（X甲） E（X乙）
多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2 乙的技术较好。
路漫漫其悠远
例2 一批产品有一、二、三等品，等外品及废 品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1， 0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元， 5元，4元及0元。求产品的平均产值。 X
连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x), 如果
有限,定义X的数学期望为
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分.
路漫漫其悠远
仅用数学期望反映事物特征行吗？
路漫漫其悠远
某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪 器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点 表示如图：
协方差的大小 在一定程度上 反映了X和Y相 互间的关系，
路漫漫其悠远
+0.25×(1-5.25)(4-5) =2.25
但它还受X与Y 本身度量单位
的影响.
相关系数
定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0,
为随机变量X和Y的相关系数 . 在不致引起混淆时，记 为 .
路漫漫其悠远
协方差计算（离散型）
路漫漫其悠远
经济形势
协方差习题
繁荣
正常 萧条
概率
1/4
1/2
1/4
甲公司股价 10
5
1
乙公司股价 6
5
4
E（P甲）=0.25×10+0.5×5+0.25×1=5.25
E（P乙）=0.25×6+0.5×5+0.25×4=5 Cov(R甲, R乙)=0.25×(10-5.25)(6-5）
揭示出什么固定模式。
路漫漫其悠远
协方差
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
路漫漫其悠远
关于XY的符号:
XY ≦1. 当 XY > 0 , 称X与Y为正相关. 当 XY = 0 , 称X与Y不相关 当 XY < 0 , 称X与Y为负相关 当 XY =1,称X与Y完全正相关 当 XY =-1,称X与Y完全负相关
正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少 的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.
X为离散型，
P{X=xk}=pk
路漫漫其悠远
X为连续型， X~f(x)
两批零件的长度有如下的分布
E(ξ1)=9 E(ξ2)=9
路漫漫其悠远
=0.5
第二批零件更好。
两种方案的预期收益相同
路漫漫其悠远
第二种方案风险更大
方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证：Var(X)=E[X-E(X)]2
X
E（X）
路漫漫其悠远
数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出X,Y独立
4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
路漫漫其悠远
测量结果的
均值都是 a
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
路漫漫其悠远
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
风险与收益衡量的基础 知识
路漫漫其悠远
2020/3/23
第一节 基础知识
• 数学期望 • 方差 • 标准差 • 协方差 • 相关系数
路漫漫其悠远
数学期望
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布
是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…
如果
有限, 定义X的数学期望
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和.
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
乙较好
路漫漫其悠远
方差
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 }
(1)
为X的方差.
采用平方是为了保证一切
注：也可以记 作D(X)
差值X-E(X)都起正面的作用
由于它与X具有相同的度量单位，在实
际问题中经常使用.
衡量离散程度 称之为标准差或根方差
路漫漫其悠远
协方差
协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们 之间的互动性。
协方差可为正值、负值或零。 ➢ 正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均
值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。 ➢ 负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与
之相反，另一个则会出现小于均值的值。 ➢ 协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能
路漫漫其悠远
计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
路漫漫其悠远
接上例
Var（P甲） =0.25×（10-5.25）2
+0.5×（5-5.25）2 +0.25×（1-5.25）2 =10.19
σ甲=3.19
Var（P乙） =0.25×（6-5）2
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路漫漫其悠远
Var(X)=E[X-E(X)]2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 .
路漫漫其悠远
由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 .
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
利用期望 性质
路漫漫其悠远
故方差为
路漫漫其悠远
方差的性质
(1)D(c)=0 D(c)=E(c-Ec)2
路漫漫其悠远
标准差
在实际问题中，由于数据单位的要求。
一般用：
σ= Var(X)
路漫漫其悠远
例1
X甲
X乙
E（X甲） E（X乙）
多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2 乙的技术较好。
路漫漫其悠远
例2 一批产品有一、二、三等品，等外品及废 品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1， 0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元， 5元，4元及0元。求产品的平均产值。 X
连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x), 如果
有限,定义X的数学期望为
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分.
路漫漫其悠远
仅用数学期望反映事物特征行吗？
路漫漫其悠远
某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪 器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点 表示如图：