沪科版七年级数学下册 10.1 相交线
沪科版数学七年级下册第10章第1节《相交线》课件(共15张PPT)
A
C O
D
B
如果两条直线只有一个公共点叫做这两条直线相交。 其中这个公共点叫做两条直线的交点。
10.1 相交线
问题：直线AB和直线CD相交于点O，它们形成了几个小于平 角的角？这些角在位置上有什么关系？
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 提角角123...具邻两示 的 的有补个： 顶 两一 角角点 条个 是有边公 成一共对条的出公顶现共点的边；，，角角而另的的且一顶两是边点边互互相互为为同为邻反反补向向角延延；长长线线； 4如.互果为两邻个补角角有的一两个角公相共拼顶为点平，角并，且即它互们为的邻两补边角分的两角 互别补互，为相反加向为延1长80线度，。 这样的两个角叫做对顶角。
想一想：这个图中，共有几对对顶角？
A
C O
D
B
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角。
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
（6）
思考探究：如图所示，直线AB和直线CD相交于点O， ∠1和∠3在大小上有什么关系？
解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180° ∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2 ∴∠1=∠3 对顶角相等
想一想：直线AD和BE相交于点O，OC是∠AOE的角平分
。 线，已知∠COE=62°，求∠BOD的度数
C
62°
E
A
D
O
B
解：∵ OC是∠AOE的角平分线， ∠COE=62°
沪科版七(下)10.1相交线
课题：沪科版七（下）10.1相交线一、教材分析本课要研究的是对顶角的概念及这些知识是为以后学习几何知识打下基础，是这一章的重点内容之一。
另外，本节课的内容还渗透着观察、比较的数学思想，重在训练学生的逻辑思维能力和分析、归纳、总结的能力，因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力培养上都起着非常重要的作用。
二、教学目标在学生已有的认知基础上，依据课程标准，结合本课在教材中的地位、作用，确定本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）知道什么是对顶角、邻补角（2）理解对顶角的性质2、能力目标：（1）会观察、会比较、会分析、会归纳（2）能熟练运用对顶角性质、并会运用知识解决有关问题3、德育目标：初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点。
4、情感目标：养成有良好的学习习惯，有浓厚的学习兴趣。
三、教学重难点重点：对顶角的概念和性质难点：对顶角性质的证明四、教学过程及设计（一）新课引入利用幻灯片展示大桥、楼房、轨道、护栏等图片供学生观察，观察后板书课题(二)新课讲解活动一、观察（展示幻灯片）问题1、两条相交直线把所在平面分成几部分？形成几个角？学生回答后给出评价问题2、∠1与∠3的顶点是什么？这两个角的两条边有何关系？学生回答后给出评价给出对顶角概念：两角具有公共顶点并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角问题3、图中还有其他对顶角吗？问题4、∠1与∠4有什么关系？教师给出邻补角概念：和为180°的两个角互为邻补角图中是否还有其他邻补角？学生回答后给出评价（三）巩固新知练习：判断下列图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由活动二、测量课本图1中的∠1与∠3，∠2与∠4，你有什么发现？ 如何证明你的猜想？教师引导学生证明，并要求学生板演最后给出规范的证明过程结论：对顶角相等练习： 1、直线a 、b 相交于点O,若∠1=24°，则∠2=（ ）2、如图所示，直线a 、b 相交于点O,若∠1+∠2=110°，则∠1=（），∠3=（ ）（四）新知探究12 12 1 21 212 1 2a b12 3a b12展示幻灯片（十字路口）是否相交？如果∠AOC=90°，那么其他三个角各是多少度？（六）课后小结同学们这节课你有哪些收获和疑问？五、作业1、课本习题10.1T2、32、同步练习10.1基础练习一。
沪科版(2024)数学七年级下册+第10章+10.1 相交线-第1课时 对顶角
解得 = .
12.阅读并补全解答过程.
如图所示，直线，，两两相交，
∠ = ∠，∠ = ∘ ，求∠的度数.
解：因为∠ = ∠，(已知)
∠ = ∠
_________，(对顶角相等)
所以∠ = ∠.(等量代换)
对顶角相等
又因为∠ = ∠，(____________)
12
4条直线相交于一点，有____对对顶角.
(2)根据(1)总结规律，写出条直线相交于一点，有多少对对
顶角( ≥ ,为正整数).
解：有( − )对对顶角.
(3)根据(2)中发现的规律，求10条直线相交于一点，有多少对
对顶角.
× ( − ) = (对)，即有90对对顶角.
7.[2024·安庆期末] 如图是利用量角
器测量角的示意图，则图中∠的度
数为( A
A.∘
)
B.∘
C.∘
D.∘
(第7题)
8.
[2024·宿州期中] 如图，当
光线从空气中射入某种液体中时，光线的传
播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫
作光的折射.如图，垂直于液面于点
(第8题)
等量代换
所以∠ = ∠.(__________)
又因为∠ = ∘ ，(已知)
. ∘
所以∠ = ∠ =_______.(等式的性质)
3星题 提升练
13.［几何直观］观察图形(如图)，回答下列问题(平角除外)：
2
(1)2条直线相交于一点，有___对对顶角；
6
3条直线相交于一点，有___对对顶角；
(第10题)
根据题意，易得
∠ = ∠ = ∘ .因为射线平分∠，所以
∠ =
沪科版数学七年级下册第10章第1节《相交线》课件(共17张PPT)
有关概念
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另
外一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补
角
C
B
2
1
3
4
A
D
对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的 两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角
注：对顶角是成对出现的
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明 理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
A
1
E
2、如右图，AB，CD相交于O点，∠AOC=70° O
∠1= 30°， 求∠BOE的度数？
B
解：∵∠DOB=∠__A_O__C__ (____对_顶__角__相__等____C_)
∠_A__O_C__=70° （已知）
∴∠DOB=_7_0__°（等量代换）
又∵∠1=30° （已知）
∴∠BOE=∠_D__O_B - ∠_1__=_7_0__°- _3_0__°=_4_0__°
想一想
在这些图片中的直线， 有哪些共同的特征？
你能举出一些我们生活中的相 交线例子吗？
相交线的特点：
只有一个公共点的两条直线形成相交线
1、请你任意画出两条相交直线，并试着描以怎么表示呢？
3、∠1与∠2；∠1与∠3 在位置上有什么关系呢？
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
（6）
我们知道了∠1与∠2，∠1与∠3的位置关系，那它们 在大小（角的度数）上有什么关系呢？
C
B
试着说明一下具有这种关系的理由？
2
1
3
4
A
D
对顶角的性质：
沪科版数学七年级下册10.1《相交线》教学设计
沪科版数学七年级下册10.1《相交线》教学设计一. 教材分析《相交线》是沪科版数学七年级下册第10.1节的内容，主要介绍了相交线的定义、性质及运用。
本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
教材通过生动的图片和实际的例子，引导学生探究相交线的性质，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的直线、射线、线段的知识，对于图形的认知和观察能力也有一定的基础。
但学生在空间想象和逻辑推理方面还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.理解相交线的定义和性质。
2.能够运用相交线的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.相交线的定义和性质。
2.相交线在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的图片和实际的例子，引导学生探究相交线的性质。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的图片和实际问题，用于引导学生探究。
3.练习题：准备相应的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相交线现象，如交通路口、交叉的电线等，引导学生关注相交线，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生观察相交线的图形，提问：什么是相交线？相交线有哪些性质？让学生积极思考，回答问题。
3.操练（10分钟）让学生在纸上画出相交线的图形，并观察和分析相交线的性质。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用所学的相交线知识解决问题。
如：在一条直线上，有多少个点可以找到与之相交的线段？5.拓展（10分钟）引导学生思考：相交线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，培养学生的实际应用能力。
10.1 相交线 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册
方法二：检测∠2 是否 为 135°.
1 2
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) .
(1)
如图
a，图图a中共有
图 2
b对对顶图角；c
(2) 如图 b，图中共有 6 对对顶角；
(3) 如图 c，图中共有 12 对对顶角；
(4) 猜测：若有 n 条直线相交于一点，则可形成_n_(_n_-_1_)
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C ）
P
A
B
A
B
C
D
3. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD
中最短的是 ( C )
C
A. AC
B. BC
C. CD
D. 不能确定
4.找出图中互相垂直的线段： A
DC
AO⊥CO
A
BO⊥DO
D
B
O
B
5. 下列说法正确的是（ D ） A. 线段 AB 是点 B 到直线 AC 的距离 B. 线段 AB 的长度是点 A 到直线 AC 的距离 C. 线段 BD 的长度是点 D 到直线 BC 的距离 D. 线段 BD 的长度是点 B 到直线 AC 的距离 A D
沪科版数学七年级下册
第10章 相交线、平行线 与平移
10.1 相交线
第1课时 对顶角及其性质
视频引入
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观察思考 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
你发现了什么？ 直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
对顶角的概念 活动：逐渐握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角 逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布 片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系 到两条相交直线所成的角的问题.
沪科版七年级数学下册课件-10.1 相交线
求各个角的度数．
a
变式3 若 1: 2 = 2: 7 ， 求各个角的度数．
1 O2 43
归纳小结
角的 名称
特征
性 相同点 不同点 质
对 顶 角
邻 补 角
①两条直线相 交形成的角；
对顶
②有公共顶点; 角相
③没有公共边 等
①两条直线相
交而成；
邻补
①都是两条 直线相交而 成的角；
②都有一个 公共顶点；
①有无公共 边
C
图中还有哪些邻补角？ A
23
1 4O
B
D
2．细心观察，归纳定义
例 1（1）下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？ 为什么？
12 （1）
12 （2）
12 （3）
3．动手操作，推出性质
∠1与∠2有怎样的数量关系？
C 互补
23
A
1 4O
B
D
邻补角互补 即和为180°
2．细心观察，归纳定义
∠1与∠3有怎样的位置关系？
∠1与∠3有怎样的数量关系？
相等
C
23
A
1 4O
B
D
对顶角的性质: 对顶角相等.
2．细心观察，归纳定义
例 1(4)如图，三条直线AB ，CD ，EF相交于 点O，∠AOE的对顶角是 ∠FO，B
∠EOD的邻补角是 ∠FOD、∠CO．E
A
F
C
O
D
E
B
4．动脑思考，例题解析
例2 如图，直线a，b相交于点O，∠1= 40 求 ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
（1）
1 2
（2）
1 2
（3）
12 （4）
【沪科版教材适用】七年级数学下册《10.1.1 相交线》课件
A．165°
B．155° C．150° D．130°
角的名称
特征 ①两条直线相交
性质
相同点
不同点 对顶角没有公共
角相 都是两直线 边而邻补角有一 ②有一个公共顶点 等 相交而成的 条公共边；两条 ③没有公共边 角，都有一 直线相交时，一 ①两条直线相交 个公共顶点， 邻补 个有的对顶角有 面成的角 它们都是成 邻补角 角互 一个，而一个角 ②有一个公共顶点 对出现. 补 的邻补角有两个. ③有一条公共边 对顶角
（来自《教材》）
知2－讲
例2 如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O, ∠DOE＝90°，∠AOE＝36°，求∠BOC 的度数．
知2－讲
因为∠BOC＝∠AOD或∠BOC＝∠BOF＋ 导引： ∠COF，所以有两种途径；求∠AOD或∠BOF， ∠COF；而它们都可由已知∠DOE＝90°，
∠AOE＝36°求出．
知2－讲
总 结
本题的解法是探究发现规律的一种方法， 即从简单图形入手，发现其中的规律特征，再 类比归纳，推出一般结论．
知2－练
1
如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，
∠1＝20°，∠BOC＝90°，求∠2的度数．
知2－练
2 如图，直线 AB，CD相交于点O，若∠1＝30°， 则∠2，∠3的度数分别为( A．120°，60° B．130°，50° C．140°，40° )
D．150°，30°
知2－练
3
如图，三条直线AB，CD，EF相交于一点O，则
∠AOE＋∠DOB＋∠COF等于(
A．150° B．180° C．210° D．120°
)
知2－练
4 如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝
沪科版七年级数学HK下册精品教学课件 第10章 相交线与平行线 10.1 相交线(1)
图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角。
做一做: 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
12
（4）
1
2
（5）
1
2
（6）
∴∠2=∠
-∠ = - =
°
DOB 1 80 30 50 °°
D 1
E 2
B
4.如图,直线a、b相交,∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的
度数。
解: ∵∠3=∠1bBiblioteka ∠1=40° ∴∠3=40°
1（ （2
a
） 4
）3
∴∠2=180°－∠1=140°
∴∠4=∠2=140°
线，研究它们对今后的学习、工作和生活都很有用。 本章要研究相交线成的角和它的性质，平行线和平移 的概念和性质，并用以解决一些简单的实际问题.
剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个 角的位置保持怎样的关系？
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别 是∠BOD两边的反向延长线。
对顶角：
思考探究
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和 ∠BOD这两个角的大小保持怎样的关系？
用量角器量一量图中∠1和∠3的度数，并比较它 们的大小关系？你能说明具有这种关系的道理吗？
由∠1＋∠2＝180°, ∠2＋∠3＝180°， 可得∠1＝∠3. 对顶角相
等
议一议:
1.你能举出生活中包含对顶角的例子吗?
2.学以致用：图中是对顶角量角器，你能说出用它测 量角的原理吗？
七年级数学下册课件-10.1 相交线21-沪科版
10.1 相交线
沪科版本数学学科七年级下册第十章
O
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条 直线相交。该公共点叫做这两条直线的交点。
10.1相交线
1、两条直线相交
C
2O
B
1
3
4
A
D
沪科版本数学学科七年级下册第十章
观察：1、两条直线相交组成 几个角？
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
2、 将这些角两两相配能得 到几对角？
1
1
2
2
1
2
12
（1）
否
（2）
是
（3）
否
（4）
否
10.1相交线
沪科版本数学学科七年级下册第十章
2、如图1，三条直线ＡＢ、ＣＤ、 ＥＦ两两相交，在这个图形，直线ＡＢ、ＣＤ 相交于O，ＯＥ是射线。则 ∠3的对顶角是___∠__A_O_D______， ∠1的对顶角是___∠__B_O_D______。
2、对顶角的性质：对顶角相等。
C A
E B
F
D
图1
E
A
1O2
C
3
D
B
图2
10.1相交线
沪科版本数学学科七年级下册第十章
4.如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O ，求∠1+∠3+∠5等于多少度？
D
E
B
6 5O
1
4
23
A
F
C
10.1相交线
沪科版本数学学科七年级下册第十章
知识点总结
1、对顶角的定义：有公共顶点，并且 两边分别互为反向延长线，这样的两个 角叫做对顶角。
10.1相交线
沪科版数学七年级下册10.1《相交线》教学设计
沪科版数学七年级下册10.1《相交线》教学设计一. 教材分析《相交线》是沪科版数学七年级下册第10.1节的内容，主要介绍了相交线的概念、性质及应用。
本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
教材通过生动的图片和实际的例子，引导学生探究相交线的性质，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，但是对于相交线的概念和性质可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握相交线的性质。
同时，学生可能对于一些抽象的概念和定理还比较难以理解，需要教师通过生动的讲解和形象的比喻，帮助学生理解和记忆。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握相交线的概念和性质，能够运用相交线的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：相交线的概念和性质。
2.难点：相交线性质的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握相交线的性质。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，通过自主探究和合作交流，解决问题。
3.讲授法：对于一些抽象的概念和定理，通过生动的讲解和形象的比喻，帮助学生理解和记忆。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2.学具：学生用书、练习本、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相交线现象，如交叉的道路、铁路等，引导学生观察和思考：这些现象有什么共同的特点？什么是相交线？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍相交线的概念和性质。
相交线是指在同一平面内，两条直线相交于一点的现象。
相交线有两条，分别叫做相交线的两支。
相交线的性质有：相交线的两支在交点处垂直，交点是两条直线的交点，相交线的两支分别与交点构成两个直角三角形，等等。
沪科版七年级数学下册第十章相交线平行线与平移PPT课件全套
1 4 A D 2
B
o 3
∠1，∠2，∠3，∠4
2、将这些角两两相配能得到几对角？
C
1 4 A D 2
B
o 3
1、你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？ 两直线相交 分类 ∠1 和∠2 ∠2 和∠ 3 ∠3 和∠4 ∠4 和∠1 位置关系 大小关系
C
1
A
2
B 3
4
∠1 和∠3
D ∠2 和∠4
练一练 1．下列说法中，正确的是（ C ）． A．若两直线不相交则平行 B．若两直线不平行则相交 C．若两线段平行，则它们不相交 D．如果两条线段不相交，那么它们 平行 2．在同一平面内，有不重合三条直线， 其中只有两条是平行的，那么交点 有（ C ）． A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
如图，当直线AB与CD相交于O点， ∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
例1：如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥CD于 O, ∠AOE：∠COE=1:3，求∠BOD的度数。
解：∵OE⊥CD
E
∴ ∠COE=90°
又∵∠AOE：∠COE=1:3
1 ∴ ∠AOE= ∠COE=30° 3
A O C
11 Cm
垂线的性质（1）
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l 的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条. 结论: 在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就 是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
探究点三：垂线段的性质 P
C ‗‗‗‗‗‗‗‗ B
‗‗‗‗‗‗‗‗
a
一 条直 结论 1、经过直线外一点，有且只有‗‗‗‗‗ 线与这条直线平行（平行公理）. c 2、如果两条直线都与第三条直线 b 互相平行 平行，那么这两条直线也‗‗‗‗‗‗‗ （平行公理的推论）. b∥c 如图，如果b∥a，c∥a，那么‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ .
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图形，不能说“垂线段是距离”.
探究新知
七年级·沪科版
2.点P在直线L外，把一根细绳的一端用图钉固定在点P处，
拉紧细绳，按图所示步骤进行操作.
.P
O.
L
步骤1 垂直拉紧
O
L
A
步骤2 绕点P转动
观察细绳上的标记点O(垂直拉紧时的垂足)位置的变化， 你有什么发现？
把这些点分别与点P连接，得到线段PA，PB，PC，PO，其中
PO⊥L.
观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？
P
线段PO最短
A BO
C
探究新知
由上图归纳可知：
七年级·沪科版
垂线性质2：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，
垂线段最短.简称垂线段最短.
注意： （1）直线外一点到这条直线的垂线只有一条，而斜
探究新知
七年级·沪科版
探究
在图(2)中，∠1与∠3的大小有什么关系？你能说明具有
这种关系的道理吗？
C
B
2 13
4O
∠1=∠3
A
D
由∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°， 可得 ∠1＝∠3.
结论：对顶角相等
探究新知
七年级·沪科版
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于O点，且∠AOD=90°，
位同学的跳远成绩？为什么这样量？
拉紧的皮尺，从离起跳线最近的足迹测量，并让皮尺与 起跳线垂直.
因为点到直线的垂线段的长叫点到直线的距离，这才是跳远成绩.
随堂练习
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1.下列说法中，不正确的是( C )
A.在同一平面内，经过一点只能画一条直线和已知直线垂直. B.一条直线可以有无数条垂线. C.在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条. D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直.
第章
10.1 相交线
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学习目标：
1、理解对项点的定义，掌握对项角的性质. 2、掌握垂线的概念及性质，理解点到直线的距离，会
作一条已知直线的垂线段. 3、熟练运用对项角的概念及垂线的性质进行计算.
学习重点：1、对项角的定义和性质.
2、垂线的概念和性质.
学习难点：1、与对项角和垂线有关的计算.
2、过一点画已知直线.
情景引入
观察思考：这一组图片它们的什么共同特点吗？
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有的线相交在一起.
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观察
观察剪刀剪东西的过程，可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相交直线， 如图(1)中虚线所示，把这两条相交直线用图(2)表示，在剪东西的过程中， ∠AOC与∠BOD这两个角的位置和大小始终保持怎样的关系？
12
12
1 2
A
B
C
D
2、如图，直线AB，CD相交于O， ∠DOE=60 °，OB是∠DOE的
平分线，那么∠AOC为多少度？
C
E
解： ∵ OB是∠DOE的平分线，
A
∠DOE=60 °
O
D
BOD 1 DOE 30
2
∵ ∠AOC= ∠BOD（对项角相等）
∴ ∠AOB=30 °.
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C
B
2 13
4O
（1）
A
D
（2）
∠1 和∠3 有公共顶点O，且它们的两边分别互为反向延
长线.
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概念：
对顶角：如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O，并且它们
的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
C
B
3 12
4O
A
D
图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠3和∠4也是一对对顶角.
∠1=40°，求∠2的度数.
AE
C
解：
1
O
∵ ∠DOF= ∠ 1=40°（对项角相等）
2
且∠AOD+ ∠DOF+ ∠2=180 °
∴ ∠2=180 °- ∠AOD+ ∠DOF =180 °- 90°-40° =50°.
D
F
B
随堂练习
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1、下列各图中， ∠1与∠2为对顶角的是（ ）.
12
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由上绕绳操作可归纳得：
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点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到 直线的距离.
注意：“点到直线的距离”是指垂线段的长度，是一个数量，
不能说“作出点到直线的距离”，这是错误语句.
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交流与思考： 如图，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这
是直角，就称这两条直线互相垂直.
A
其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
它们的交点叫做垂足.
C
2.表示方法：
垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
O
D
B
如“直线AB垂直于直线CD”，记作“AB⊥CD”，
（或“CD ⊥ AB”）.
探究新知 3、垂线的画法
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(1)用直角三角板过一点画已知直线的垂线有三 个步骤:
①一靠:把三角板的一条直角边靠在已知直线上.
②二过:使三角板的另一条直角边经过已知点.
③三画:沿已知点所在的直角边画出直线.
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(2)画垂线有两种情况： ①过直线上一点画已知直线的垂线. 如作图:
三画 A
﹒P
B 二过
L 一靠
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②过直线外一点画已知直线的垂线. 如作图:
﹒ 三画 A P
注意：
（1）如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射 线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直.
（2）经过一点画射线或线段和的垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上.
如下图：
.P
.
O
A
B
.
A
BP
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观察思考： 1.如图，点P在直线l外，在直线l上任意取一些点A,B,C,O，
思考 将十字街口的两条道路看作两条直线，如图(2)中的AB和
CD，它们相交于点O，形成4个角.如果∠AOC=90°,那么其
他3个角的度数各是多少？为什么？
A北
C 西
O
D 东
（1）
B南 （2）
其他3个角的度数都是90°，因为对顶角相等.
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垂直
1.定义：在两条直线AB和CD所形成的四个角中，如果有一个角
2. 已知直线L外一点P,则点P到直线L的距离是指( C ) A.点P到直线L的垂线的长度 B.点P到直线L的垂线 C.点P到直线L的垂线段的长度 D.点P到直线L的垂线段
随堂练习
二过
L
B
一靠
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总结： 根据以上两个操作，你能得出什么结论？
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垂线性质1： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外. （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯 一性.
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