第5章 测量误差基本知识PDF

1 1 2 2 n 1 2 n
n
证明：根据改正数计算公式，可得各观测值的改正数为：
vi = x − l i
等式两端分别乘以 P 得：
i
Pi vi = Pi ( x − l i )
上列n个式两边分别平方，并求其和，则有：
[ Pvv] = P ( x − l ) + P ( x − l ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P ( x − l )
n = ± 2 . 8 n mm
7
若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为
Δ 容 = 3 × ± 2.8 n） ±8.4 n ≈ ±8 n mm （ =
例3：用DJ6型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差
mβ = ?
解：∵ 已知DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中 误差mα=±6″ ∴ 由 得
解一：由线性中误差传播定律，显然有：
m = m + m + m ，而m = (3m ) + m
2 2 2 2 2 2 U x y z z x
2 y
则有：
m = ± 10m + 2m
2 U x
2 y
第三节 误差传播定律
解二：由于 U = X + Y + Z = 4 X + 2Y 应用线性函数中误差传播定律，得：
1 2 3
若μ = m1 = ±2′′： (±2) P1 = 2 = = 1; 2 m1 (±2)
2 2
μ
1 P2 = 2 = ; m2 4
μ
2
1 P3 = 2 = m3 16
μ
2
若μ = m2 = ±4′′： (±4) 2 P1 = 2 = = 4; 2 m1 (±2) 若μ = ±1′′： (±1) 2 1 P= 2 = = ; 1 2 4 m1 (±2)
+
Δ n = X − ln
[Δ ] [l ] =X− n n
由偶然误差的抵偿性，有 故可得： 算术平均值原理
[l ] =
n
[Δ] [l ] lim = X − lim n n
n→∞ n→∞
x
[l ] = X lim
n→∞
n
第四节 等精度直接观测平差 2. 观测值的改正数及其性质
观测值的最或是值与观测值之差，即：
[l ] v = x − l , ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅, x ) n= n
i i
将上列等式相加，得
[ v ] = n x − [l ] = 0
即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性 可以作为计算中的校核。
第四节 等精度直接观测平差 等精度观测值的中误差
设n个等精度观测值、真误差和改正数间关系为：
2 2 2 2 2 2
2
例： 设对某一个三角形观测了其中α、β两个角， 测角中误差分别为mα=±3.5″，m β =±6.2″ 现按公式 γ=180°-α-β 试求 γ角的中误差mγ 解：
2 2
求得γ 角，
mγ = ± mα + m β = ± (3.5) 2 + (6.2) 2 = ±7.1"
9
第三节 误差传播定律
6
解：水准测量每一站高差： hi = ai − bi (i = 1,2...., n) 则每站高差中误差
m站 = ± m读 + m读 = ± m读 2
2 2
= ± 2 2 = ± 2 . 8 mm
观测n站所得总高差 h = h1 + h2 + ⋅ ⋅ ⋅ + hn 则n站总高差h的总误差
m总 = ±m站
解二：
S = l + l + l + l = 4l
应用误差传播定律得：
m = ± 4 m = ±4 m
2 2 S
由两种解算方法的结果可以看出：距离S的 中误差不相等，显然，解二的数学模型是错误 的。
第三节 误差传播定律
例2：设有函数 U = X + Y + Z ,而Z = 3 X + Y 。若 X、Y为独立观测量，其观测值中误差为mx、 my ，试求U的中误差。
m = ( 4m ) + ( 2m )
2 2 U x y 2
即：
m = ± 16m + 4m
2 U x
2 y
பைடு நூலகம்
显然，这两种解法中至少有一种解法是错误的。 解法一中由于未考虑观测量的独立性，显然是错 误的。
第四节 等精度直接观测平差 1. 算术平均值原理
在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次 观测，其观测值分别为l1，l2, …，ln，将这些观 测值取算术平均值，作为该量的最或是值，即：
第五章 测量误差基本知识
第三节 误差传播定律
观测值的误差对观测值函数有影响。用观 测值的中误差去表征待求量中误差的数学模 型，则为中误差传播定律。 一、观测值的函数 线性函数 非线性函数
Y = a0 + a1X1 + a2 X2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an Xn
Y = f ( X ) = f ( X 1, X 2 ,L X n )
第五节 不等精度直接观测平差 一、权的概念
1. 权
比例系数
2
P =
i
μ
m
2 i
衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠 程度的一种指标。
由此例可以看出，系数μ改变，各观测值的 例：已知一组角量观测值l1、l2、l3的中误差 权亦改变，但观测值之间的权之比并未改变。 m =±2″； m =±4″； m =±8″，求各观测值之权。
例题： 对某一距离，在相同的条件下进行6次观测，其
观测值为： 120.031m, 120.025m, 120.031m, 119.983m , 120.047m, 120.040m 试求其最可靠值，并评定测量 成果的精度。
次序 1 2 3 4 5 6 观测值l（M） 120.031 120.025 119.983 120.047 120.040 119.976 (l0=120.000) Δl(cm) +3.1 +2.5 -1.7 +4.7 +4.0 -2.4 1.7 v (cm) -1.4 -0.8 +3.4 -3.0 -2.3 +4.1 0.0 计算x,m
第三节 误差传播定律
二、误差传播定律
非线性函数的中误差传播定律 Z = f（X1，X2，…，Xn）
⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 mZ = ± ⎜ ⎜ ∂X ⎟ m1 + ⎜ ∂X ⎟ m2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎜ ∂X ⎟ mn ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠
2 2 2
线性函数的中误差传播定律
Y = a0 + a1X1 + a2 X2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an Xn
m = ± a m + a m + ⋅⋅⋅ + a m
2 2 2 2 2 Y 1 1 2 2 n
2
n
第三节 误差传播定律
三、误差传播定律的应用 应用步骤
列出正确的函数模型 注意：模型符合测量事实；观测量各自独立 非线性函数线性化(函数式全微分) 运用误差传播定律
l1 + l 2 + L + l n [l ] x= = n n
第四节 等精度直接观测平差
证明:设某一量的真值为X，各次 观测值为l1，l2, …，ln ，其相应 的真误差为Δ1，…，Δn，则 将上列等式相加，并除以n，得到 0 等式两端取极限，则
Δ1 = X − l1 Δ 2 = X − l2 L
倍数函数
倍数函数： Z=KX 则
mZ = Km X
例1： 在1：500地形图上量得某两点间的距离 d=234.5mm, 其中误差md=±0.2mm ，求该两点 的 地面水平距离D的值及其中误差mD 解：
D = 500d = 500 × 0.2345 = 117.25m
mD = ±500md = ±500 × 0.0002 = ±0.10m
5
和函数
和差函数 Z=X1+X2
2
且X1、X2独立
2 2
mZ = m X1 + m X 2
例2： 已知当水准仪距标尺75m时，一次读数中误差为 m读 ≈ ±2mm（包括照准误差、气泡置中误差及水准 标尺刻划中 误差），若以三倍中误差为容许误 差， 试求普通水 准测量观测n站所得高差闭合差的容 许误差。
μ2
距离测量中根据边长确定权 例2：等精度丈量三条边长，得S1，S2，S3，相应的 长度为3km，4km，6km。试确定三条边边长观测 值的权。 解：设每千米丈量中误差为mkm， 则边长Si的中误差为： 将其代入权的定义公式得：
m = S ⋅m
Si i
km
P=
i
μ
i
2
( Sm )
km
2
令C = (
第五节 不等精度直接观测平差 二、测量中常用定权的方法
根据权的定义公式确定权 例1：已知一组角量观测值X1、X2、X3的中 误差m1=±2″； m2=±4″； m3=±8″，试 求各观测值之权。
设μ = m1 = ±2′′, 则有：
(±2) 2 μ2 1 μ2 1 P= 2 = = 1; P2 = 2 = ; P3 = 2 = 1 2 m1 (±2) m2 4 m3 16
β = α 2 − α1
mβ = mα + mα = 2mα
2 2 2 2
8
∴ mβ
2
= ± 2 m α = ± 6" 2 = ± 8 .5"
2
线性函数
线性函数 Z=K1X1+K2X2+….+KnXn+K0
m Z = K 1 m X 1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m Xn
Δ i = li − X vi = x − li
Δ = −v + ( x − X )
i i
[ΔΔ] [vv] 2( x − X )[v] + (x − X ) = + n n n
[ΔΔ] [v] = 0, ( x − X ) = n
2 2
2
[vv ] m=± n −1
第四节 等精度直接观测平差 算术平均值的中误差
2 2 1 1 2 2 n n
2
根据最小二乘准则，当 [ Pvv] = min时，相应的 x 就是最或是 值，由此令：
d [ Pvv ] = 2P (x − l ) + 2P (x − l ) + ⋅⋅⋅ + 2P (x − l ) dx = 2[ P ] x − 2[ Pl ] = 0
1 1 2 2 n n
l1 + l 2 + L + l n [l ] x= = n n
设观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为M，
1 1 1 M = ( ) ⋅ m + ( ) ⋅ m + ⋅⋅⋅ + ( ) ⋅ m = n ⋅ m n n n
2 2 2 2 2 2 2
2
M=
m n
[vv ] m=± n −1
[vv] m M= = n(n − 1) n
x = l 0 + [Δl ] n = 120 .017 m
[vv] m=± = ±3.0cm n −1
m mx = = ±1.2cm n
思考题:
对同一个水平角分组进行观测，第一组观测 2个测回，水平角值为l1，第二小组观测4个测 回，水平角值为l2 ，第三小组观测8个测回，水 平角值为l3 ，试计算其最可靠值，并评定测量成 果精度。
三、误差传播定律的应用 应用举例
例1：用尺长为l的钢尺丈量距离S，共丈量4个 尺段，设丈量一个尺段的中误差为m，试求S 的中误差。 解一： S =l +l +l +l 应用误差传播定律得：
m = ± m + m + m + m = ±2 m
2 2 2 2 S
第三节 误差传播定律
三、误差传播定律的应用 应用举例
μ2
P2 =
μ2
m
2 2
= 1;
1 P3 = 2 = m3 4
μ2
μ2
1 P2 = 2 = ; m2 16
μ2
1 P3 = 2 = m3 64
μ2
第五节 不等精度直接观测平差 2. 权的特性
权只能反映观测值之间的相对精度，起作用 的不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。
3. 单位权
数值等于1的权。此时,有 mi = μ ，称μ为 单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。
令 则
C = (μ Si ) 2
C Phi = Si
第五节 不等精度直接观测平差 三、加权平均值
设对某一量作不等精度观测n次，其观测值为： l1，l2，…，ln，相应的中误差分别为： m1， m2，…，mn，其权分别为P1，P2，…，Pn，则 其最或是值为：
Pl + P l + ⋅ ⋅ ⋅ + P l x= P + P + ⋅⋅⋅ + P
则有：
[PL] x= [P ]
第五节 不等精度直接观测平差
四、加权平均值的中误差
加权平均值的中误差：
⎛ P ⎞ ⎛P ⎞ ⎛P ⎞ M = ⎜ ⎟ m + ⎜ ⎟ m + ⋅⋅⋅ + ⎜ ⎟ m ⎝ [P ] ⎠ ⎝ [P ] ⎠ ⎝ [P ] ⎠
μ
m km
) 2，
C P = S
i
i
水准测量中根据水准路线长度或测站数定权
例3：设四条水准路线的路线长度为S1=4km，S2=2km， S3=1km，S4=3km。试按路线长度来确定这四条水准路 线观测高差的权。 解：每千米观测高差中误差mkm是相同的，则第i条路线 观测高差的中误差为：
mhi = S i ⋅ mkm