常微分方程课件--解的存在唯一性定理

y ( x) [ s e
0
]ds
x
0
1 2 5 5 [1 ( ) ]ds x 1 2 4 8
例６讨论初始值问题
y 1 y 2 , y(0) 0
的解存在唯一的区间． f ( x, y) 1 y 2 在 解： 对于任意的正数 a, b, 函数
R x, y ) x a, y b (
（ 2 ）构造 Picard 迭代数列
取0 x） y0 代入(1.2.3)右端后得 （
1 x） y0＋ f (s, 0 (s))ds （
x0
x
2 x） y0＋ f (s, 1 (s))ds （
x0
x
（x） y0＋ f (s, n1 (s))ds n
x0

x
这样就得到一个连续函数列 n ( x ) 它称为 Picard迭代序列。
2
1 4 1 h min { , } 2 5 2
故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解
1 1 y y( x) 在 x 内存在唯一，当然也在 2 2 1 0 x 内存在唯一。
2
1 对 0 x 2
x
(1.2.11)等价的积分方程得 y( x) 0, 且
y2 (s)
y y( x) 满足 (2.2.2)
构造迭代序列 { yn ( x )} 来证明 (2.2.1) 有解． 取
y0 ( x) 1,
y1 ( x) 1 y0(s)ds 1 x,
0 x
y2 ( x) 1
x
0
x2 y1(s)ds 1 x , 2!
……
yn ( x) 1
内连续，且对 y 有连续的偏导数．
b M max f ( x, y ) 1 b , h min{ a, } 2 1 b
x 0
xn yn-1(s)ds 1 x n!
由于yn ( x)收敛，且 lim yn ( x) e x代入验证函数 y e
n
x
为初值问题 (1.2.1) 的解, 这就得到解的存在性。 惟一性证明: 设有两个解 y ( x), y ( x)
令g ( x) ( x) ( x) 则 g ( x)可微，且满足
( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ) R 都有:
f ( x1 , y1 ) f ( x1 , y2 ) L y1 y2
则称 f ( x, y ) 在R上关于y满足 Lipschitz 条件。
L 称为 Lipschitz 常数。
注: 若 f ( x, y ) 关于y 的偏导数连续, 则
上页
下页
返回
结束
y 2 ,y (0) 1有解: 例1:初值问题 y
在 (,1) .
而同一方程满足
y(1) 2 的解为:
2 1 y ( , ) . 它的存在区间为 1 2x 2
x 例2: 初值问题 y , y (0) a(a 0) 的解为: y
y a 2 x 2 存在区间为 (a, a)
g '( x) '( x) '( x) g ( x), g (0) 0
得（g '( x) g ( x))e x 0
即（g ( x)e ） 0 故g ( x)e '
又g (0)＝0
x
x
c
故g (0)e- x 0
故g ( x) 0 即 ( x) ( x)
x
L 1 ( s) 0 (s) ds
x0
x
ML ( x x0 ) 2 2!
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
MLn 1 ( x x0 ) n n 有 n ( x) n 1 ( x) 对 设： n!
则当 x0 x x0 h 时，
f ( x, n ( x)) f ( x, ( x)) L n ( x) ( x)
以及 n ( x) 在 x0 x x0 h 上的一致收敛， 得出函数序列 f ( x, n ( x))在 x0 x x0 h 上一
收敛于函数 f ( x, ( x)) . 因而对 n ( x) y0 f (s, n1 ( x))ds取极限，得
§ 2.2 解的存在惟一性定理
引入：对于给定的微分方程,它的通解一 般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟 一,有时不惟一. 确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一 性十分重要: (一)它是数值解和定性分析的前提; (二)若实际问题中建立的方程模型的解不是 存在且惟一的,该模型就是一个坏模型.
目录
这就证明了惟一性。
2.2.2 存在惟一性定理及其证明
考虑微分方程: (2.2.3 ) Lipschitz 条件: 设 f ( x, y ) 在矩形区域
R ( x, y ) x x0 a, y y0 b
y f ( x, y), y ( x0 ) y0


上连续，如果有常数 L>0,使得对于所有的
x
0
:
引理 2.2 函数列 n (x) 在[x0 , x0 +h]上一致收敛。
证明：考虑函数项级数
0 ( x) [ k ( x) k 1 ( x)]
k 1
x0 x x0 h
它的前 n 项的部分和为:
S n ( x) 0 ( x) [ k ( x) k 1 ( x)] n ( x)
x0 x
lim n ( x) y0 lim f s, n s ds
x n n x0
x
y0 lim f s, n s ds
x0 n
即 ( x) y0 x f (s, (s))ds
0
x
这表明 ( x) 是积分方程的连续解。
注2: 函数 f ( x, y) 的连续性得解的存在性, Lipschitz条件得解的惟一性． 注３:定理的结论只是在局部范围内给出解的存 惟一性．在许多情况下，可反复使用该定理，
使解的范围延拓到最大的区间．
例５
证明初始值问题： dy x 2 e y , y(0) 0 (2.2.4) dx 1 1 的解 y y( x)在[0, ]上存在，且当x [0, ]时 y( x) 1 2 2 1 b 1 证明：取 a 2 在矩形区域： 1 R {( x, y ) x , y 1}上 2 2 y2 f ( x, y ) x e 连续，且它关于y有连续的偏导数。 1 2 5 2 y2 计算 M max {x e } 1 ( ) ( x , y )R 2 4
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n和 x [ x0 , x0 h], n ( x) 连 续且满足 ( x) y b .
n 0
证明: 显然对一切的 n都有 n (x) 有定义且连 续, 设 n (x) 在区间 x0 , x0 h 上满足 n ( x) y0 b 则 n1 ( x) y0 x f (s, n (s)) ds M x x0 Mh b
于是 u( x) Lu( x)
[u( x) Lu ( x)]e Lx 0
[u( s) Lu (s)]e Ls ds 0
x0
x
u ( x)e Lx 0
u ( x) 0 g ( x) 0
即 ( x) ( x)
注1: 定理中

于是 n ( x)的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。
估计级数通项:
1 ( x) 0 ( x) f (s, y0 ) ds M ( x x0 )
0 x
k 1
2 ( x) 1 ( x) f (s, 1 (s)) f (s, 0 (s)) ds
x0
（ 5 ）解的惟一性
引理 1.4 设 (x) 和 (x) 是积分方程在 x0 , x0 h 上的连续解，则必有 ( x) ( x) 证明： 令 g ( x) ( x) ( x) 则 g ( x) x0 f (s, ( x)) f (s, (s)) ds
b M a M b a
b h min a, M
的几何意义:
y ( x)在x0 a x x0 a有定义
则在x0 a x x0 a 解有可能跑到 R 之外．
故取
b h min a, M.
例3:初始值问题:
2y y x 3 0 x0 x0 , y ( 0) 0
有无穷多解,存在区间为 (,). :
1 c1 exp( x 2 ) , y ( x ) 0 , 1 c2 exp( 2 ) , x x 0. x 0. x 0.
x
于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有
MLk 1h k n ( x) n 1 ( x) k!
x0 x x0 h
因为正项级数 ML
k 1

n 1
hk k!
收敛,
由Weiestrass判别法知， 级数在 x0 x x0 h 上一致收敛。 设: lim n ( x) ( x) n
x0 x x0 h
由 n ( x) 的连续性和一致收敛性可得: (x) 在
x0 x x0 h 上连续.
（4）Picard 迭代数列的极限函数就是积分方程 的连续解。 引理1.3 ( x) 是积分方程定义于 x0 x x0 h 上的连续解。 证明：由 Lipschitz 条件
n1 ( x) n ( x) f (s, n (s)) f (s, n1 (s)) ds
x0 x
L n (s) n1 (s) ds
x0
x
MLn L n!
MLn ( s s0 ) n ds ( x x0 ) n 1 x0 (n 1)!
f f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) y f y ( y1 y 2 ) y
y
y1 y2
则 f ( x, y ) 在R上关于y满足 Lipschitz 条件。
定理1:
若 f ( x, ，则初值问题(2.2.3 在区间 ) x x0 h 上存在惟 一的解，其中
b h min a, M
M max f ( x, y )
( x , y )R
证明： 思路： （１）将初值问题解的存在惟一性化为积分方 程的解的存在惟一性．
（２）构造积分方程迭代函数序列，并证明该 序列收敛． （３）证明该序列的极限是积分方程的解． （４）证明惟一性． 仅考虑 x0 x x0 h 上存在. 详细证明： ( 1 ) 等价积分方程 初值问题(2.2.3 与积分方程 )x y( x) y0 x f ( x, y(s))ds 的解等价。 0
L n (s) n1 (s) ds
x0
x
x
x
L g (s)ds
x0
令 u( x) Lx g (s)ds
0
x
则 u ( x) 是定义于 x0 , x0 h 上的连续可微函数，
u ( x0 ) 0, 0 g ( x) u ( x), u ' ( x) Lg ( x) 且
2.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
y(0) 1
(2.2.1)
的解存在且惟一。 证：若 y y( x) 是初始值问题的解, (2.2.1) 两端积分
y ( x) 满足
y( x)=1+ y(s)ds
0
x
(2.2.2)
反之，若一个连续函数 则它是 (2.2.1) 的解。