高中数学同步讲义必修二——第一章 空间几何体

1学习空间几何体要“三会”

1．会辨别

例1如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？

分析切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．

解图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．

评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．

2．会折展

例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．

分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．

解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．

答案北

评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．

3．会割补

例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.

(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；

(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．

分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；

(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．

解(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．

(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．

评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．

2直观图与原图形的互化知多少

在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．

“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略．1．原图形到直观图的转化

例1已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()

A.

3

4a

2 B.

3

8a

2 C.

6

8a

2 D.

6

16a

2

分析先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．

解析根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．

易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1

2OC＝

3 4a.

作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝2

2O′C′＝

6 8a.

S△A′B′C′＝1

2A′B′·C′D′＝

1

2a×

6

8a＝

6

16a

2.

答案 D

评注通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为

2

4∶1.在求解

中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位．

2．直观图到原图形的转化

例2一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．

解方法一如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．

因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．

过点D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1. 又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2. 再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)，在

x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2， 在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2. 过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.

连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的原平面图形． 四边形ABCD 为直角梯形，其中上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2， 所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝1

2

×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.

方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S ′＝(1＋1＋2)×

2

22

＝2＋12

.

所以原四边形的面积为2＋12

24

＝2×(2＋1)＝2＋ 2.

点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图形＝2

4.

3 柱、锥、台的表面积求法精析

由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用． 1．锥体的表面积

例1 正三棱锥的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积． 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．