行列式及其性质

1 0 2
0 1 2
132 5
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13
a21 a22
a23
a31 a32 a33
例 根据定义计算行列式的值
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。
annn
ri ci
a11 a21 D a12 a22
an1
an2
或记作 DT
a1n a2n
ann
称 DT 为行列式 D 的转置行列式
2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换 消法变换
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11 A11 a12 A12 a1n A1n
n
a1 j A1 j j 1
按第一行展开
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
4 2 (2) 132 5 (1) 0 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22
x2
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
D2 D
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积 ——对角线法则
元素 a12 的余子式 元素 a12 的代数余子式
a21 a31
a23 a33
M12
(1)12 M12 A12
●余子式
元素 a的ij 余子式 M就i是j 在行列式中划掉元素 a所ij
在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成 的行列式
●代数余子式 Aij
Aij (1)i j Mij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各 自的代数余子式的乘积之和
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时
方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有
a12 a22
a11a22 a12a21 D
b1 a12
x1
b2 a11
a22 a12
D1 D
ri rj k ri ri krj ci c j k ci
数K乘第 j 列后 加到第 i 列上去
ci kc j
行变 row
列变换 column
●行列式的性质
表明行与列是
1. 行列式转置后，其值不变。
对等的，行具 有的性质，列
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。 也具有
推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13 (a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
n
ai1 Ai1 i 1
按第一列展开
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
a11
a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
a11 A11 a21 A21 a31 A31
三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
●定理
ห้องสมุดไป่ตู้
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11 A11 a21 A21 an1 An1
第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵 矩阵的初等变换
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
134 11
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
●行列式的几种变换
1、转置变换
a11 a12
a1n
Transpose D a21 a22
a2n
行、列对掉
an1 an2
a11a22a33a44
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11(a22a33 a23a32 ) a21(a12a33 a13a32 ) a31(a12a23 a13a22 )