久期及凸度讲解
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显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0
B、是什么决定了久期？——久期定理
T CFt CFT P0 PV t T (1 y ) (1 y ) t 1 t 1 T
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 2 y P0 1 y (1 y) (1 y) (1 y)T P0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) P P (1 y ) 0 0 t 1 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）； 证明：由统一公债定义知，其每期现金流相同，
且无限存续，故有，
1 D P0
CFt y tc 1 y t t t c c (1 y) y t 1 (1 y )
进一步地，我们令 MD
P0 1 MD y P0
1 D 表示修正久期，那么有 1 y
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分 比为：
P0 MDy P0
债券价格变动的近似额为：
P 0 MDyP 0
返回
B、是什么决定了久期？——久期定理
①贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到 期时间； 证明：
CFt P0 V t t 1 (1 y )
T
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量债券到期收益率或 利率水平变化多导致的债券价格的波动，是衡量债 券或债券组合利率风险的一个基本指标。我们简要 推导如下： T CF
t (1 y ) t 1 P0 1CF1 2CF3 TCFT 2 3 y (1 y ) (1 y) (1 y)T 1
P0 V
t
2CF3 TCFT 1 1CF1 2 T 1 y (1 y) (1 y) (1 y)
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
CFT 1 T 1 0 D t T T t T P (1 y ) (1 y) 0 t 1
证毕。
B、是什么决定了久期？——久期定理
②直接债券的Macaulay久期小于其到期时间。
◆只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的
Macaulay久期等于其到期时间，并等于1；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
Maklkiel定理
债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系；
随着到期收 益的增大， 债券价格逐 渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
表1-1
6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2
6只假想债券价格变动百分比
单位：%
Maklkiel定理
由表1-1，我们计算得到表1-2（假定收益率9% 是基准水平）。 从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的，称为Maklkiel债券定价关系。
Maklkiel定理
利率风险与债券的息票率呈负相关关系。高息 票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相 比，后者对利率更为敏感（如，比较“9%/5” 和“6%/5”两种债券即可看出这一关系）；
Hale Waihona Puke Baidu、久期分析
久期，又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值（或均衡时的价格）对利率变动的敏感性， 或利率波动对债券价格所产生的影响。 久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言， 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。
A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 y )t D P P t 1 0 0 CFt t t (1 y ) t 1
T
t:债券产生现金流的各个时期； T：债券到期期限； y:债券的到期收益率，也即利率； CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
债券价格波动性
久期分析与凸度
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
债券的基本属性是其价格与到期收益率（利率）之间呈 负相关关系（如下图所示）。
价格 实际线
估计线 收益率
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
为了清楚地说明问题，我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元，且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值（表1-1）： √ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；
CF1 CF2 CFT 1 0
B、是什么决定了久期？——久期定理
T CFt CFT P0 PV t T (1 y ) (1 y ) t 1 t 1 T
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 2 y P0 1 y (1 y) (1 y) (1 y)T P0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) P P (1 y ) 0 0 t 1 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）； 证明：由统一公债定义知，其每期现金流相同，
且无限存续，故有，
1 D P0
CFt y tc 1 y t t t c c (1 y) y t 1 (1 y )
进一步地，我们令 MD
P0 1 MD y P0
1 D 表示修正久期，那么有 1 y
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分 比为：
P0 MDy P0
债券价格变动的近似额为：
P 0 MDyP 0
返回
B、是什么决定了久期？——久期定理
①贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到 期时间； 证明：
CFt P0 V t t 1 (1 y )
T
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量债券到期收益率或 利率水平变化多导致的债券价格的波动，是衡量债 券或债券组合利率风险的一个基本指标。我们简要 推导如下： T CF
t (1 y ) t 1 P0 1CF1 2CF3 TCFT 2 3 y (1 y ) (1 y) (1 y)T 1
P0 V
t
2CF3 TCFT 1 1CF1 2 T 1 y (1 y) (1 y) (1 y)
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
CFT 1 T 1 0 D t T T t T P (1 y ) (1 y) 0 t 1
证毕。
B、是什么决定了久期？——久期定理
②直接债券的Macaulay久期小于其到期时间。
◆只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的
Macaulay久期等于其到期时间，并等于1；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
Maklkiel定理
债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系；
随着到期收 益的增大， 债券价格逐 渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
表1-1
6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2
6只假想债券价格变动百分比
单位：%
Maklkiel定理
由表1-1，我们计算得到表1-2（假定收益率9% 是基准水平）。 从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的，称为Maklkiel债券定价关系。
Maklkiel定理
利率风险与债券的息票率呈负相关关系。高息 票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相 比，后者对利率更为敏感（如，比较“9%/5” 和“6%/5”两种债券即可看出这一关系）；
Hale Waihona Puke Baidu、久期分析
久期，又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值（或均衡时的价格）对利率变动的敏感性， 或利率波动对债券价格所产生的影响。 久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言， 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。
A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 y )t D P P t 1 0 0 CFt t t (1 y ) t 1
T
t:债券产生现金流的各个时期； T：债券到期期限； y:债券的到期收益率，也即利率； CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
债券价格波动性
久期分析与凸度
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
债券的基本属性是其价格与到期收益率（利率）之间呈 负相关关系（如下图所示）。
价格 实际线
估计线 收益率
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
为了清楚地说明问题，我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元，且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值（表1-1）： √ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；