数学物理方程概述
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几个基本概念
➢ 定解条件:一个偏微分方程的解通常有无穷多个，而每个解 都表示一个特定的运动过程。为了从这无穷多个解中找出 一个我们所研究的具体实际问题要求的解，必须考虑研究 对象所处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产 生的影响，从而通过在这些方面的考虑，得到一些已知条 件。这样就有可能确定出一个特定解，这个解既满足方程 本身，又满足我们在考虑各种影响因素时所建立起来的条 件。我们把这样的已知条件称为定解条件;
➢ 将（4）、（5）代入（3），两边同时除以Δx
得
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ Tuxx(x,t) +F= utt
(6)
➢ 两边同时除以得
➢ utt = a2uxx + f
(7)
➢ 其中，a2 = T/, f = F/
➢ 这就是弦的强迫横振动方程。
➢ 若外力F=0，则方程（7）变为
➢ utt = a2uxx
§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
➢ （古典）解:所谓一个m阶偏微分方程在某区 域内的（古典）解，是指这样的函数：它有 直到m阶的一切偏导数，且本身和这些偏导 数都连续，将它及其偏导数替代方程中的未 知函数及其对应的偏导数后，这个方程对其 全体自变量在该区域内成为一个恒等式;
§1 偏微分方程举例和基本概念
(1) (2)
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 可近似认为TQ=TP=T，则(1)变成了cosβcosα 。 ➢ （2）变为
➢ Tsinβ-Tsinα+FΔx= Δxutt
(3)
➢ sinβdu(x+ Δx,t)/dx=ux(x+ Δx, t)
(4)
➢ sinαdu(x,t)/dx=ux(x,t)
(5)
数学物理方程
教材及教学源自文库考书
教材
吉林大学数学学院袁洪君、许孝精,数学物理方 程，高等教育出版社，2006年6月第1版。
参考书
彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视 化,清华大学出版社，2004年11月第1版。
购书地点
上海书城 （上海市福州路465号）
授课内容
第一章 数学物理方程概述 第二章 分离变量法和积分变换法 第三章 行波法 第四章 格林函数法 第五章 勒让德多项式 第六章 定解问题的适定性 第七章 有限单元法及有限元软件
➢ 拟线性偏微分方程：最高阶偏导数的系数含未知多元函数及 其低阶偏导数的非线性偏微分方程。
§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
➢ 非齐次项:在线性偏微分方程中,不含未知 函数及其偏导数的非零项称为非齐次项;
➢ 非齐次方程:含有非齐次项的方程称为非 齐次方程;
➢ 齐次方程:不含非齐次项的线性偏微分方 程称为齐次方程。
2.1 弦振动方程的物理推导
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 以OA为x轴，弦振动方向为另一坐标轴方向建 立如图坐标系，并以u(x,t)表示弦上x点处在t时 刻垂直于x方向的位移。
➢ 任取弦上一微段PQ，由于是微小振动，可近似 认为PQ的弧长为Δx，沿x方向和u方向力的平衡 条件为
➢ TQcosβ-TPcosα= 0 ➢ TQsinβ-TPsinα+FΔx= Δxutt
几个基本概念
➢ 方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
➢ 线性偏微分方程：一个偏微分方程F(u,Au)=0关于所有未知 函数及所有偏导数都是线性的，则称此方程为线性偏微分方 程；
➢ 非线性偏微分方程：不满足线性偏微分方程条件的偏微分方 程；
➢ 半线性偏微分方程：所有最高阶偏导数都是线性的，而且其 系数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程；
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线密度（单位长度 质量）为常数，长为l,两端被固定在O,A两点，且在 单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平 衡位置附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦 上各点的运动规律。
➢ 所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线 的倾角都很小，弦在偏离平衡位置后，弦上任意一点 的斜率远小于1。横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴 的方向运动。
➢ 2.1 弦振动方程的物理推导 ➢ 2.2 薄膜平衡方程的物理推导 ➢ 2.3 热传导方程的物理推导 ➢ 2.4 定解条件和定解问题
2.2 薄膜平衡方程的物理推导
➢ 物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的 固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其 它外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一 曲面，求静态薄膜上各点的横向位移。
➢ 定解问题:定解条件联立方程称之为定解问题。
➢ 并不是每个定解问题都有解。
第一章 数学物理方程概述
➢ §1 偏微分方程举例和基本概念 ➢ §2 方程及定解问题的物理推导 ➢ §3 两个重要原理
§2 方程及定解问题的物理推导
➢ 2.1 弦振动方程的物理推导 ➢ 2.2 薄膜平衡方程的物理推导 ➢ 2.3 热传导方程的物理推导 ➢ 2.4 定解条件和定解问题
(8)
➢ (8)称为弦的自由横振动方程。
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 一些其它类型的物理问题，如管道中气体小扰 动的传播以及电报方程等问题也可以归结为偏 微分方程（7）、（8）的形式，只是其中未知 函数表示的物理意义不同，同一个方程反映的 不是一个物理现象，而是一类物理现象。
§2 方程及定解问题的物理 推导
第一章 数学物理方程概述
➢ §1 偏微分方程举例和基本概念 ➢ §2 方程及定解问题的物理推导 ➢ §3 两个重要原理
§1 偏微分方程举例和基本概念
✓ 自然科学和工程技术中，种种运动的变化发 展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。描 述这些规律通常用关于某个或某些未知多元 函数及其偏导数的数学方程式或数学方程组。 含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有 偏导数）的方程称为偏微分方程。描述物理 规律的偏微分方程称为数学物理方程。
§1 偏微分方程举例和基本概念
常见的数学物理方程有
➢ 热传导方程 ➢ Laplace方程 ➢ 弦振动方程 ➢ 梁的横振动方程 ➢ 水波研究中的KdV方程 ➢ 电磁场中用到的二维Cauchy-Riemann方程组 ➢ 空气动力学的连续性方程和动量方程
常见的数学物理方程
常见的数学物理方程
§1 偏微分方程举例和基本概念
➢ 定解条件:一个偏微分方程的解通常有无穷多个，而每个解 都表示一个特定的运动过程。为了从这无穷多个解中找出 一个我们所研究的具体实际问题要求的解，必须考虑研究 对象所处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产 生的影响，从而通过在这些方面的考虑，得到一些已知条 件。这样就有可能确定出一个特定解，这个解既满足方程 本身，又满足我们在考虑各种影响因素时所建立起来的条 件。我们把这样的已知条件称为定解条件;
➢ 将（4）、（5）代入（3），两边同时除以Δx
得
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ Tuxx(x,t) +F= utt
(6)
➢ 两边同时除以得
➢ utt = a2uxx + f
(7)
➢ 其中，a2 = T/, f = F/
➢ 这就是弦的强迫横振动方程。
➢ 若外力F=0，则方程（7）变为
➢ utt = a2uxx
§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
➢ （古典）解:所谓一个m阶偏微分方程在某区 域内的（古典）解，是指这样的函数：它有 直到m阶的一切偏导数，且本身和这些偏导 数都连续，将它及其偏导数替代方程中的未 知函数及其对应的偏导数后，这个方程对其 全体自变量在该区域内成为一个恒等式;
§1 偏微分方程举例和基本概念
(1) (2)
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 可近似认为TQ=TP=T，则(1)变成了cosβcosα 。 ➢ （2）变为
➢ Tsinβ-Tsinα+FΔx= Δxutt
(3)
➢ sinβdu(x+ Δx,t)/dx=ux(x+ Δx, t)
(4)
➢ sinαdu(x,t)/dx=ux(x,t)
(5)
数学物理方程
教材及教学源自文库考书
教材
吉林大学数学学院袁洪君、许孝精,数学物理方 程，高等教育出版社，2006年6月第1版。
参考书
彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视 化,清华大学出版社，2004年11月第1版。
购书地点
上海书城 （上海市福州路465号）
授课内容
第一章 数学物理方程概述 第二章 分离变量法和积分变换法 第三章 行波法 第四章 格林函数法 第五章 勒让德多项式 第六章 定解问题的适定性 第七章 有限单元法及有限元软件
➢ 拟线性偏微分方程：最高阶偏导数的系数含未知多元函数及 其低阶偏导数的非线性偏微分方程。
§1 偏微分方程举例和基本概念
几个基本概念
➢ 非齐次项:在线性偏微分方程中,不含未知 函数及其偏导数的非零项称为非齐次项;
➢ 非齐次方程:含有非齐次项的方程称为非 齐次方程;
➢ 齐次方程:不含非齐次项的线性偏微分方 程称为齐次方程。
2.1 弦振动方程的物理推导
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 以OA为x轴，弦振动方向为另一坐标轴方向建 立如图坐标系，并以u(x,t)表示弦上x点处在t时 刻垂直于x方向的位移。
➢ 任取弦上一微段PQ，由于是微小振动，可近似 认为PQ的弧长为Δx，沿x方向和u方向力的平衡 条件为
➢ TQcosβ-TPcosα= 0 ➢ TQsinβ-TPsinα+FΔx= Δxutt
几个基本概念
➢ 方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
➢ 线性偏微分方程：一个偏微分方程F(u,Au)=0关于所有未知 函数及所有偏导数都是线性的，则称此方程为线性偏微分方 程；
➢ 非线性偏微分方程：不满足线性偏微分方程条件的偏微分方 程；
➢ 半线性偏微分方程：所有最高阶偏导数都是线性的，而且其 系数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程；
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线密度（单位长度 质量）为常数，长为l,两端被固定在O,A两点，且在 单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平 衡位置附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦 上各点的运动规律。
➢ 所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线 的倾角都很小，弦在偏离平衡位置后，弦上任意一点 的斜率远小于1。横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴 的方向运动。
➢ 2.1 弦振动方程的物理推导 ➢ 2.2 薄膜平衡方程的物理推导 ➢ 2.3 热传导方程的物理推导 ➢ 2.4 定解条件和定解问题
2.2 薄膜平衡方程的物理推导
➢ 物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的 固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其 它外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一 曲面，求静态薄膜上各点的横向位移。
➢ 定解问题:定解条件联立方程称之为定解问题。
➢ 并不是每个定解问题都有解。
第一章 数学物理方程概述
➢ §1 偏微分方程举例和基本概念 ➢ §2 方程及定解问题的物理推导 ➢ §3 两个重要原理
§2 方程及定解问题的物理推导
➢ 2.1 弦振动方程的物理推导 ➢ 2.2 薄膜平衡方程的物理推导 ➢ 2.3 热传导方程的物理推导 ➢ 2.4 定解条件和定解问题
(8)
➢ (8)称为弦的自由横振动方程。
2.1 弦振动方程的物理推导
➢ 一些其它类型的物理问题，如管道中气体小扰 动的传播以及电报方程等问题也可以归结为偏 微分方程（7）、（8）的形式，只是其中未知 函数表示的物理意义不同，同一个方程反映的 不是一个物理现象，而是一类物理现象。
§2 方程及定解问题的物理 推导
第一章 数学物理方程概述
➢ §1 偏微分方程举例和基本概念 ➢ §2 方程及定解问题的物理推导 ➢ §3 两个重要原理
§1 偏微分方程举例和基本概念
✓ 自然科学和工程技术中，种种运动的变化发 展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。描 述这些规律通常用关于某个或某些未知多元 函数及其偏导数的数学方程式或数学方程组。 含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有 偏导数）的方程称为偏微分方程。描述物理 规律的偏微分方程称为数学物理方程。
§1 偏微分方程举例和基本概念
常见的数学物理方程有
➢ 热传导方程 ➢ Laplace方程 ➢ 弦振动方程 ➢ 梁的横振动方程 ➢ 水波研究中的KdV方程 ➢ 电磁场中用到的二维Cauchy-Riemann方程组 ➢ 空气动力学的连续性方程和动量方程
常见的数学物理方程
常见的数学物理方程
§1 偏微分方程举例和基本概念