2.6 一维无限深势阱

解Schrodinger方程的步骤
1.模型
2.写出Schrodinger方程
3.解方程 4.由边界条件（波函数标准条件）确定常数 5.确定能量 6.确定归一化常数、波函数 7.讨论
用 Schrodinger 方程处理一类简单问题——一维定态问题：
（1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； 3 （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。
注意：波函数导数连续？ 注意：波函数导数连续？ 在连续的势场及有限跳跃势场中，波函数的微商连续；势有无穷跳跃， 在连续的势场及有限跳跃势场中，波函数的微商连续；势有无穷跳跃， 波函数微商不连续。 势有无穷跳跃，波函数微商不连续。 波函数微商不连续。 势有无穷跳跃，波函数微商不连续。
由此
A sin αa = 0 B cos αa = 0
§2.6
一维无限深势阱
1.模型 模型 2.定态 定态shrodinger方程 定态 方程 3.求通解 求通解 4.带入边界条件（波函数标准条件），确定常数 带入边界条件（ ），确定常数 带入边界条件 波函数标准条件）， 5.能量 能量 6.归一化常数，波函数 归一化常数， 归一化常数 7.讨论 讨论 （1）宇称 ） （2）基态 ） （3）波函数 坐标图 ）波函数-坐标图 （4）几率密度 坐标图 ）几率密度-坐标图
6.归一化常数，波函数 归一化常数， 归一化常数
2组 解 0 x ≥a ψn = nπ Asi n x 2a 和 0 x ≥a ψn = nπ Bcos x 2a 或 并 一 式 合 为 个 子 0 x ≥a ψn = ' nπ A si n (x + a) 2a
标准条件（1）：单值，只有一个解，满足 标准条件（2）：有限，x ≥ a ，ψ 有限要求 得出 Ψ=0 。 标准条件（3）：连续：
ψ ( − a ) = ψ ( a ) =
0 0
x = − a时 x = a时
A sin αa + B cos αa = 0 − A sin αa + B cos αa = 0
1.模型 1.模型
0, V ( x) = ∞
| x |< a | x |≥ a
I
V(x)
II
III
-a
0
a
2.定态shrodinger方程 2.定态shrodinger方程 定态shrodinger
h2 d 2 − ψ ( x) + V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 2 µ dx d2 2µ ψ ( x) + 2 Eψ ( x) = 0 2 dx h
A和B不能同时为0，否则Ψ到处为0.
(1) A = 0 , ( 2 ) B = 0, B ≠ 0, A ≠ 0,
n cos αa = 0 αa = π 2 n sin αa = 0 αa = π 2
(n = ±1,±3,±5 L ) (n = 0,±2,±4,±6 L )
n=0？负整数？A、B同时为0？ A、B同时不为0？ 所以，n只需取正整数。
n为奇数时？n为偶数时？
（2）基态
n = 1的态 基态， 的态--的态 基态，
E1
π 2h = 8µa
2 2
与经典最低能量为零不同， 与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的 因为“静止的波” 有意义的。 表 现，因为“静止的波”是没 有意义的。
（3）波函数-坐标图 （4）几率密度-坐标图
n为 数 偶 ，
x <a
n为 数 奇 ，
x <a
x <a
归一化常数：
∫
∞
−∞
| ψ n |2 dx = 1
| A ' |2 = 1 a ⇒ A' = 1 a （取正实数）
请推导
得：
最后的波函数： 0 nπ 1 ψ ( x, t ) = sin ( x + a )e −iEnt / h 2a a = C1e
x ≥a x <a
3.求通解
化简 0 2 d ψ + α 2ψ = 0 dx 2 பைடு நூலகம் x ≥a x <a
波函数有限，在 x ≥ a 的区域，Ψ=0
ψ ={
0 A sin αx + B cos αx
x≥
a x <a
4.代入边界条件（波函数标准条件），确定常数 代入边界条件（波函数标准条件），确定常数 代入边界条件 ），
本节需记住
1.
d2 ψ + α 2ψ = 0的解为 dx 2 ψ = Ae iα x + Be − iα x or ψ = M sin α x + N cos α x or
ψ = C sin( α x + δ )
2.
d2 ψ − β 2ψ = 0 的解为 dx 2 ψ = Ae β x + Be − β x
称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 正宇称 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； 负宇称
如果在空间反演下， 如果在空间反演下， 则波函数没有确定的宇称。 则波函数没有确定的宇称。
ψ (−r , t ) ≠ ±ψ (r , t )
r
r
| x |> a 0 nπ 1 ψ = sin ( x + a ) e − iE n t / h | x |≤ a 2a a n = 1, 2,3, L
3.
eiθ = cos θ + i sin θ e −iθ = cos θ − i sin θ
sinθ = ? cosθ = ?
4.束缚态及其能量特点 5.波函数的宇称及其与 势的关系 6.基态？
5. 能 量
因
所 以
2µ α = 2E h
2
h h 2 E= α = 2µ 2µ
2
2
nπ n2π 2h2 = = En 2 8µa 2a
2
n为 整 能 为 立 能 ， 成 谱 正 数, 量 分 的 级 组 能 。
由此可见，对于一维无限深方势阱， 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间 范围，在无限远处，ψ = 0 。 无穷远处ψ = 0的状态， 范围，在无限远处， 无穷远处ψ 0的状态， 的状态 束缚态。 称为束缚态 束缚态的能量是分立的能级。 称为束缚态。束缚态的能量是分立的能级。
i nπh ( − En t ) h 2a
| x |> a | x |≤ a
+ Ce
i nπh − ( + En t ) h 2a
n = 1,2,3,L
7. 讨 论
（1）宇称 空间反演：空间矢量反向的操作。 空间反演：空间矢量反向的操作。
r r ψ (−r , t ) = +ψ (r , t ) r r ψ (−r , t ) = −ψ (r , t )