复合函数求导法则

y' x 3e
u 3 x 1
y' x 3e
求下列复合函数的导数
y ln u, u = 1 + x
1 y 'u , u ' x 2 x u 2x y'x u 2x y'x 2 1 x
2. y = ln(1 + x )
2
1.先分解
2
2.分别求导 3. 求积 4. 还原
21
解:y = e , u = 2x
y'u e , u'x 2
y' x 2e
u
y'x 2e
2x
4. 还原
24
求下列复合函数的导数
ya
u
x
解：y e
u
lna
x
1.先分解
e
x lna
y e , u x ln a
2.分别求导 3. 求积
y'u e , u'x ln a
求下列复合函数的导数
3. y = sin(4 x - 5)
2
1.先分解
2
解:y = sin u, u = 4x - 5
y'u cosu, u'x 8x y'x 8x cosu
2.分别求导
3. 求积 4. 还原
y'x 8x cos(4x 5)
2
22
求下列复合函数的导数
. y sin x (sin x)
y'x e ln a
u
公式： a ' a ln a x ln a x y'x e ln a a ln a
x x
25

4. 还原
求y = e 在x = 0处的切线
2x
解:y = e , u = 2x u y'u e , u'x 2
y'x 2e
2x 0
u
f ' (0) 2e 2, k切 2
复合函数 基本初等函数 基本初等函数的四则运算 函数的复合与拆分
1
基本函数的四则运算
1.加法运算: y x sin x
2.减法运算: y e cos x
x
3.乘法运算: y x sin x
sin x 4.除法运算 : y x
2
基本函数的复合
3ห้องสมุดไป่ตู้
例1：求函数式f(x)
(1) y sin u, u 3x
3

f ( x) cos x
依次带入
7
求由下列给定函数复合而成的的函数
()y u , u v , v s i nx,

y
v


(sin x)
2

f ( x) 2 sin x
依次带入
8
求由下列给定函数复合而成的的函数
( )y u , u c o sv, v x ,
x x
y' ' 'x a ln a
x 3
29
已知y e ， 求y' ' , y' ' ' , y
x
(n)
y'x e
x x x
y' 'x ( y'x )' (e )' e
y' ' 'x e
y
(n) x x x
e
30
y sin x y sin 2x
是，正弦函数 不是，说不上来
5
求由下列给定函数复合而成的的函数
()y u,
u
x
x
,
f ( x) 2 1
依次带入
6
求由下列给定函数复合而成的的函数
( )y u , u c o sx y (cos x)

cos x
y sin 3x f ( x) sin 3x
(2) y ln u, u 1 x
2
2
2
y ln(1 x ) f ( x) ln(1 x )
4
像这样由基本初等函数嫁接产生的函数，
我们称为复合函数. 即将一个函数中的变量换成另 一个函数或者函数的表达式. 指出这两函数的哪个是基本的初等函数？
y' 'x 3 2x 6x
y' ' 'x 6x' 6
28
已知y a ， 求y' ' , y' ' '
x
y'x a ln a
x
公式： a ' a ln a
x x

2
y' 'x ( y'x )' ln a(a )'
x
y' 'x a ln a ln a a ln a
y (cosv)

2
cos v

cos ( x )
f ( x) cos (3x 1)
2
依次带入
9
求由下列给定函数复合而成的的函数
由y sin u, u 2 x 1复合成
y sin(2 x 1)
复合原则：由右向左，依次代入替换
10
复合函数的拆分
11
值指数
2
2
方法二:分解为y=u2 ,u=3x +1
解:y=9x +6x+1
y'=9· 2x+6
=18x+6
y'u 2u, u'x 3
y'u u' x 6u
y'u u'x 6(3x 1) 发现y'x y'u u'x
18
=6(3x+1)
复合函数导数求法 1.先分解 2.分别求导 3.求积 4.还原
y sin u
三角函数
2
值 系 数
角 系 数
ux
幂函数
14
y sin 2 x 拆分为y sin u, u 2x y sin(2 x 1) 拆分为y sin u, u 2x 1
y sin x 拆分为y sin u, u x
2
2
拆分原则：由左向右，由外向内
解:y = u , u = sin x
y'u 2u, u'x cos x y'x 2u cos x
2

2
1.先分解
2.分别求导
3. 求积 4. 还原
23
y'x 2 sin x cos x sin 2x
求下列复合函数的导数
5. y = e
u
u
2x
1.先分解
2.分别求导 3. 求积
15
复合函数的导数
16
函数在点u处导数
常数函数 : C ' = 0
u ' nu
n
n 1
sin u ' cosu cosu ' sin u
基 本 函 数 的 导 数
e ' e
u
u
1 ln u ' u
tanu ' sec
2
u
17
求导:y=(3x+1)
当x = 0时,y=1,即切点为(0,1)
则切线方程为y = 2 x +1
26
高阶导数
y’称为一阶导数 y’’=(y’)’称为二阶导数 y’’’=(y’’)’称为三阶导数,或记y(3)
(n) y
称为n阶导数
27
已知y x ， 求y' ' , y' ' '
3
y'x 3x
2 2
y' 'x ( y'x )' 3(x )'
dy dy du y' x y ' u u ' x dx du dx
y' x y'u u' x
19
求下列复合函数的导数
. y e
x
1.先分解
2.分别求导 3. 求积 4. 还原
20
解:y = e , u = 3x - 1
y'u e , u'x 3
u
u
角指数
基本初等函数举例 y=sinx
y 1sin 1x
1
1
值 系 数
角 系 数
结论：系数都是1
12
值指数
角指数
y sin 2 2x
y sin u
u 2x
三角函数 正比例函数
y 1sin 1x
1
1
值 系 数
角 系 数
13
值指数
角指数
y sin x
2
y 1sin 1x
1
1