基础工程-地基承载力
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地基稳定性要求 (p<pu) 地基变形要求 即为容许承载力
求解方法：
按控制地基中极限平衡区发展范围的方法； 按规范规定； 原位试验。
按控制地基中极限平衡区发展 范围的方法
地基容许承载力初值：
临塑荷载 Pcr (Zmax=0) P1/4 ，P1/3 (Zmax=1/4B, Zmax=1/3B) 特性： 地基即将产生或已产生局部破坏； 极限平衡区范围不大，可近似用弹性理论 计算。
Loose sand and weak soil
punching shear failure
荷载试验结果与地基土破坏形式 Load-displacement curve
临塑荷载
极限荷载
a c b
密砂、硬粘土 缓慢加载
松砂、软土 快速加载
中密砂 快速加载
地基承载力 Bearing capacity
（z，zx） 0 2a
x
xz
Z
X
3
（x，xz）
1
z 静力平衡：
z
z z z
极限平衡：
z xz Z z x x zx X x z
1 3 (1 3 2c ctg )sin
任一点个方向应力与主应力关系
常用计算公式：普朗德尔公式、太沙基 公式、汉森公式
极限平衡理论的原理
极限平衡理论： 研究土体处于理想弹塑性状态时： 应力分布；滑裂面轨迹 应用：
挡土墙后土压力的计算； 边坡稳定性分析和滑裂面轨迹的确定； 地基极限承载力的计Байду номын сангаас。
极限平衡理论求地基承载力
x
zx
z
xz xz x x x x x x zx zx z z
条形基础整体剪切破坏
1 pu cN c qN q bN 2
式中 q——基底水平面以上基础两侧的超载（kPa）,q=γ0d; b、d——基底的宽度和埋置深度（m）;
Nc、Nq、Nγ——无量纲承载力因数，仅与土的内摩擦角有关
N c N q 1 cot
e(3 / 2 ) tan Nq 2 o 2 cos 45 2
1 pu cN c qN q bN 2 10.0 17.6 20 1.0 7.42 5.0 20.0 5 / 2 574.4kPa
pv 574.4/ 3 191.5kPa
地基容许承载力
容许承载力 Bearing capacity
地基设计需要满足两种极限状态：
地基土各点 （0, a) - (x,z)的函数
1 ， 3 滑裂面在各点的方向
普朗德尔（Prandtl）公式
（无重介质地基的极限承载力）
基本假设：
地基土无重：基础以下，=0; 基础底面完全光滑：基底压力⊥地面； 基础埋深D小于宽度B：基底平面当作地基 表面，滑裂面只延伸到这一假定面，此面以 上土重当作均布荷载作用。
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
N c N q 1 cot 17.6
e(3 / 2 ) tan Nq 7.42 2 o 2cos 45 2
2
Nq 1
cot
2
1 N c tan
1 N c tan 2 2 N c tan 3
某条形基础宽5m，基底埋深1.2m，地基土
18.0kN / m3 , 22。 , c 15.0kPa
试计算该地基的临塑荷载pcr及p1/4
pcr
1 K P N 1 tan 5 2 2 cos
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
Nc 17.6, Nq 7.42, N 5
1 K P N 1 tan 2 2 cos
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
条形基础局部剪切破坏
2 1 ' ' pu cN c qN q bN ' 3 2
地基承载力
Bearing Capacity
岩土工程类型 (Classification)
挡土墙 (Retaining wall) 边 坡 (Slope) 地基基础 (Foundation)
浅基础 (Shallow foundation) 深基础 (Deep foundation)
式中
Sc Sq S ——基础的形状系数 iciqi ——荷载倾斜系数 d cd qd ——基础的深度系数 gcg q g ——地面倾斜系数 bc bq b ——基底倾斜系数
N q tan 2 (45。 ) exp( tan ) 2 N c ( N q 1) cot N 1.5 N q 1 tan
基 坑 (Foundation pit)
地基基础基本理论 (Basic theories)
地基承载力概念 地基承载力的计算理论
极限承载力 容许承载力
地基破坏形式
(Modes of bearing capacity failure)
地基承载力：地基承受荷载的能力。
整体剪切破坏 General shear failure 局部剪切破坏 Local shear failure 冲切破坏 Punching shear failure
( 0 d c cot b / 3) 0d cot 2
容许承载力统一公式
p
cot
cot
1 1 cr , , 4 3
1 cNc qNq bN 2
N 0 Pcr P 1/ 4 P 1/ 3
Nc
P1/4
在中心垂直荷载作用下，塑性区的最大 发展深度Zmax可控制在基础宽度的1/4。
( 0 d c cot b / 4) p1 4 0d cot 2
P1/3
在偏心荷载作用下，塑性区的最大发展 深度Zmax可控制在基础宽度的1/3。
p1 3
极限平衡理论求地基承载力
平面问题土体处于极限平衡状态的基本偏微分方程 组 (c=0, 只受重力)
0 0 (1 sin cos 2a ) sin sin 2a 2 0 sin (sin 2a z x 0 (1 sin cos 2a ) 0 sin sin 2a 2 0 sin (sin 2a x z a a cos 2a ) z x a a cos 2a )0 x z
1 3 tan (45 ) 2c tan(45 )
2
2
2
塑性区的边界方程：
p 0 d sin 0 0 c z ( 0 ) d sin 0 tan
临塑荷载（4）
临塑荷载（5）
塑性区发展的最大深度：
p 0 d cos 0 dz ( 1) 0 d 0 sin
确定方法：理论公式计算、现场原位试 验、查规范表格。 极限承载力：地基承受基础荷载的极限 压力，即地基即将失去稳定性的承载力。 容许承载力：地基稳定、有足够的安全 度，变形控制在建筑物允许范围的承载 力。
地基极限承载力
地基的极限承载力 Limit bearing capacity
求解方法： 根据土的极限平衡理论确定。 通过基础模型试验确定。
18.0 1.2 15.0cot 22。
cot 22 22 /180 / 2
。 。 。
18.0 1.2 164.8kPa
p1/ 4
18.0 1.2 15.0cot 22。 18.0 5 / 4
cot 22 22 /180 / 2
太沙基承载力因数图
其他基础形式
方形基础（宽度为b）
pu 1.2cNc 0dNq 0.4 bN
圆形基础（半径为b）
pu 1.2cNc 0dNq 0.6 bN
矩形基础： l/b=1(方形）与 l/b=10（条形）插值
Vesic公式（半经验公式）
1 p cN c Sc d cic g ccbc qN q S q d qiq g qqbq bN S d i g b 2
则有： cos 0 sin
0 2
zmax
p 0d 0 c cot ( ) d 2 tan
临塑荷载（6）
临塑荷载(zmax=0)
( 0 d c cot ) pcr 0d cot 2
Prandtl公式与基础宽度无关（推导过程 不计地基土的重度）。 忽略基底与土之间的摩擦力。
太沙基公式 (Terzaghi)
(基础下形成刚性核时的极限承载力）
基本假定： 基础地面是粗糙的。 直接在基底下的土不发生破坏而处于弹性平 衡状态。 求解方法： 应用极限平衡概念和隔离体的平衡条件； 半理论半经验方法。
整体剪切破坏
Bulge
Rotation
Relatively incompressible and reasonable strong
局部剪切破坏
Small bulge
Large settlement
local shear failure
冲切破坏
No bulge Large settlement
。 。 。
18.0 1.2 219.7kPa
Homework
1.某条形基础b=3m,d=1.2m,建于均质的粘土地 基上，土层=18.5KN/m3, c=15kPa, 20 , 试 分别计算地基的临塑荷载Pcr 和P1/4. 2.某方形基础受中心垂直荷载作用，b=1.5m, d=2.0m,地基为坚硬粘土， =18.0KN/m3, c=30.0Kpa, =25, 按太沙基公式确定地基的承 载力（安全系数取3）。
临塑荷载（1）(条形荷载)
1 po ( 0 sin 0 ) 3
0 2 (p268)
临塑荷载（2）
P-基础地面总压力
假设 k0=1
1 p d ( 0 sin 0 ) 0 d z 3
临塑荷载（3）
极限平衡条件：
求解：特征线法解偏微分方程组
连续滑裂面(slip surface)
q=D r0
a 45o rq 2
a 45o 2
r
0 =
I区：主动朗肯区 II区：对数螺线
D
r0
b 2cos(45。 2）
r r0e tg
III区：被动朗肯区
r1 r0e
2
tan
地基承载力的安全度
地基承载力设计值≤极限承载力/安全系数
例题
某条形基础宽5m，基底埋深1.0m，地基土
20.0kN / m3 , 20。 , c 10.0kPa
如地基属于整体剪切破坏，用太沙基公式计算 其地基承载力设计值（安全系数K=3)
1 pu cN c qN q bN 2
极限承载力公式
pu cNc qNq
其中
o tan N q tan 45 e 2
2
N c N q 1 cot
Nc, Nq称为承载力因数，是仅与 有关的无量纲系数，c 为土的粘聚力
特殊情况
基础无埋深：D＝0
pu cNc
普朗德尔公式的局限性
求解方法：
按控制地基中极限平衡区发展范围的方法； 按规范规定； 原位试验。
按控制地基中极限平衡区发展 范围的方法
地基容许承载力初值：
临塑荷载 Pcr (Zmax=0) P1/4 ，P1/3 (Zmax=1/4B, Zmax=1/3B) 特性： 地基即将产生或已产生局部破坏； 极限平衡区范围不大，可近似用弹性理论 计算。
Loose sand and weak soil
punching shear failure
荷载试验结果与地基土破坏形式 Load-displacement curve
临塑荷载
极限荷载
a c b
密砂、硬粘土 缓慢加载
松砂、软土 快速加载
中密砂 快速加载
地基承载力 Bearing capacity
（z，zx） 0 2a
x
xz
Z
X
3
（x，xz）
1
z 静力平衡：
z
z z z
极限平衡：
z xz Z z x x zx X x z
1 3 (1 3 2c ctg )sin
任一点个方向应力与主应力关系
常用计算公式：普朗德尔公式、太沙基 公式、汉森公式
极限平衡理论的原理
极限平衡理论： 研究土体处于理想弹塑性状态时： 应力分布；滑裂面轨迹 应用：
挡土墙后土压力的计算； 边坡稳定性分析和滑裂面轨迹的确定； 地基极限承载力的计Байду номын сангаас。
极限平衡理论求地基承载力
x
zx
z
xz xz x x x x x x zx zx z z
条形基础整体剪切破坏
1 pu cN c qN q bN 2
式中 q——基底水平面以上基础两侧的超载（kPa）,q=γ0d; b、d——基底的宽度和埋置深度（m）;
Nc、Nq、Nγ——无量纲承载力因数，仅与土的内摩擦角有关
N c N q 1 cot
e(3 / 2 ) tan Nq 2 o 2 cos 45 2
1 pu cN c qN q bN 2 10.0 17.6 20 1.0 7.42 5.0 20.0 5 / 2 574.4kPa
pv 574.4/ 3 191.5kPa
地基容许承载力
容许承载力 Bearing capacity
地基设计需要满足两种极限状态：
地基土各点 （0, a) - (x,z)的函数
1 ， 3 滑裂面在各点的方向
普朗德尔（Prandtl）公式
（无重介质地基的极限承载力）
基本假设：
地基土无重：基础以下，=0; 基础底面完全光滑：基底压力⊥地面； 基础埋深D小于宽度B：基底平面当作地基 表面，滑裂面只延伸到这一假定面，此面以 上土重当作均布荷载作用。
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
N c N q 1 cot 17.6
e(3 / 2 ) tan Nq 7.42 2 o 2cos 45 2
2
Nq 1
cot
2
1 N c tan
1 N c tan 2 2 N c tan 3
某条形基础宽5m，基底埋深1.2m，地基土
18.0kN / m3 , 22。 , c 15.0kPa
试计算该地基的临塑荷载pcr及p1/4
pcr
1 K P N 1 tan 5 2 2 cos
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
Nc 17.6, Nq 7.42, N 5
1 K P N 1 tan 2 2 cos
PHI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Kpr 10.8 12.2 14.7 18.6 25.0 35.0 52.0 82.0 141.0 298.0
条形基础局部剪切破坏
2 1 ' ' pu cN c qN q bN ' 3 2
地基承载力
Bearing Capacity
岩土工程类型 (Classification)
挡土墙 (Retaining wall) 边 坡 (Slope) 地基基础 (Foundation)
浅基础 (Shallow foundation) 深基础 (Deep foundation)
式中
Sc Sq S ——基础的形状系数 iciqi ——荷载倾斜系数 d cd qd ——基础的深度系数 gcg q g ——地面倾斜系数 bc bq b ——基底倾斜系数
N q tan 2 (45。 ) exp( tan ) 2 N c ( N q 1) cot N 1.5 N q 1 tan
基 坑 (Foundation pit)
地基基础基本理论 (Basic theories)
地基承载力概念 地基承载力的计算理论
极限承载力 容许承载力
地基破坏形式
(Modes of bearing capacity failure)
地基承载力：地基承受荷载的能力。
整体剪切破坏 General shear failure 局部剪切破坏 Local shear failure 冲切破坏 Punching shear failure
( 0 d c cot b / 3) 0d cot 2
容许承载力统一公式
p
cot
cot
1 1 cr , , 4 3
1 cNc qNq bN 2
N 0 Pcr P 1/ 4 P 1/ 3
Nc
P1/4
在中心垂直荷载作用下，塑性区的最大 发展深度Zmax可控制在基础宽度的1/4。
( 0 d c cot b / 4) p1 4 0d cot 2
P1/3
在偏心荷载作用下，塑性区的最大发展 深度Zmax可控制在基础宽度的1/3。
p1 3
极限平衡理论求地基承载力
平面问题土体处于极限平衡状态的基本偏微分方程 组 (c=0, 只受重力)
0 0 (1 sin cos 2a ) sin sin 2a 2 0 sin (sin 2a z x 0 (1 sin cos 2a ) 0 sin sin 2a 2 0 sin (sin 2a x z a a cos 2a ) z x a a cos 2a )0 x z
1 3 tan (45 ) 2c tan(45 )
2
2
2
塑性区的边界方程：
p 0 d sin 0 0 c z ( 0 ) d sin 0 tan
临塑荷载（4）
临塑荷载（5）
塑性区发展的最大深度：
p 0 d cos 0 dz ( 1) 0 d 0 sin
确定方法：理论公式计算、现场原位试 验、查规范表格。 极限承载力：地基承受基础荷载的极限 压力，即地基即将失去稳定性的承载力。 容许承载力：地基稳定、有足够的安全 度，变形控制在建筑物允许范围的承载 力。
地基极限承载力
地基的极限承载力 Limit bearing capacity
求解方法： 根据土的极限平衡理论确定。 通过基础模型试验确定。
18.0 1.2 15.0cot 22。
cot 22 22 /180 / 2
。 。 。
18.0 1.2 164.8kPa
p1/ 4
18.0 1.2 15.0cot 22。 18.0 5 / 4
cot 22 22 /180 / 2
太沙基承载力因数图
其他基础形式
方形基础（宽度为b）
pu 1.2cNc 0dNq 0.4 bN
圆形基础（半径为b）
pu 1.2cNc 0dNq 0.6 bN
矩形基础： l/b=1(方形）与 l/b=10（条形）插值
Vesic公式（半经验公式）
1 p cN c Sc d cic g ccbc qN q S q d qiq g qqbq bN S d i g b 2
则有： cos 0 sin
0 2
zmax
p 0d 0 c cot ( ) d 2 tan
临塑荷载（6）
临塑荷载(zmax=0)
( 0 d c cot ) pcr 0d cot 2
Prandtl公式与基础宽度无关（推导过程 不计地基土的重度）。 忽略基底与土之间的摩擦力。
太沙基公式 (Terzaghi)
(基础下形成刚性核时的极限承载力）
基本假定： 基础地面是粗糙的。 直接在基底下的土不发生破坏而处于弹性平 衡状态。 求解方法： 应用极限平衡概念和隔离体的平衡条件； 半理论半经验方法。
整体剪切破坏
Bulge
Rotation
Relatively incompressible and reasonable strong
局部剪切破坏
Small bulge
Large settlement
local shear failure
冲切破坏
No bulge Large settlement
。 。 。
18.0 1.2 219.7kPa
Homework
1.某条形基础b=3m,d=1.2m,建于均质的粘土地 基上，土层=18.5KN/m3, c=15kPa, 20 , 试 分别计算地基的临塑荷载Pcr 和P1/4. 2.某方形基础受中心垂直荷载作用，b=1.5m, d=2.0m,地基为坚硬粘土， =18.0KN/m3, c=30.0Kpa, =25, 按太沙基公式确定地基的承 载力（安全系数取3）。
临塑荷载（1）(条形荷载)
1 po ( 0 sin 0 ) 3
0 2 (p268)
临塑荷载（2）
P-基础地面总压力
假设 k0=1
1 p d ( 0 sin 0 ) 0 d z 3
临塑荷载（3）
极限平衡条件：
求解：特征线法解偏微分方程组
连续滑裂面(slip surface)
q=D r0
a 45o rq 2
a 45o 2
r
0 =
I区：主动朗肯区 II区：对数螺线
D
r0
b 2cos(45。 2）
r r0e tg
III区：被动朗肯区
r1 r0e
2
tan
地基承载力的安全度
地基承载力设计值≤极限承载力/安全系数
例题
某条形基础宽5m，基底埋深1.0m，地基土
20.0kN / m3 , 20。 , c 10.0kPa
如地基属于整体剪切破坏，用太沙基公式计算 其地基承载力设计值（安全系数K=3)
1 pu cN c qN q bN 2
极限承载力公式
pu cNc qNq
其中
o tan N q tan 45 e 2
2
N c N q 1 cot
Nc, Nq称为承载力因数，是仅与 有关的无量纲系数，c 为土的粘聚力
特殊情况
基础无埋深：D＝0
pu cNc
普朗德尔公式的局限性