第二章 系统的传递函数方框图及其简化

例.电枢控制式直流电机
u a为电枢控制电压; 为电机输出转速; M L 为电机总负载力矩; 设M 为电机电磁力矩 ia 为电枢电流; ed 为电枢转动反电势
dia L ia R ed ua dt
d J M ML dt
ed kd
M k m ia
分别对上述各式进行Laplcae变换得
当U a (s ) 为输入
U a (s)



km
M (s)
1 Js
(s)
Ed (s)
U a (s)
kd
km Js( Ls R)
(s)

Ed (s)
kd
U a (s)


km Js( Ls R)
(s)
Ed (s)
kd
km JLs 2 JRs k m k a
U a (s)
(s)
“实质上是一种数学模型.”
1.方框图的结构要素
1)函数方框
由方框及指向方框的箭头和离开方框的箭头三 个部分组成.其中,方框表示环节的传递函数,指 向方框的箭头表示输入的Laplace变换;离开方 框的箭头表示输出的Laplace变换.
X i (s)
G (s )
X o (s)
X o ( s) G( s) X i ( s)
B (s ) 前向通道传递函数
X i (s ) E (s ) G (s)

X o (s)
G (s ) 前向通道传递函数 X o (s) G (s) E (s)
B(s)
H (s)
B( s) H (s) 反馈回路传递函数 H ( s ) X o ( s)
前向通道传递函数 G (s ) 与反馈回路传递函数 H (s)

X o (s)
X i (s )
B(s)
G ( s) 1 G (s)
X o (s)
例
U a (s)


1 ( Ls R)
I a (s )
km
M (s)

M L (s)
1 Js
(s)
Ed (s)

kd
(s) 为输出时，令 M L (s) 0
I a (s ) 1 ( Ls R)
X i (s ) E (s ) G (s)

X o (s)
X i (s )
B(s)
G( s) 1 G( s) H ( s)
X o (s)
H (s)
当反馈回路传递函数 H ( s) 1 时，系统为单位反馈 G( s) GB ( s ) 系统。 1 G( s)
X i (s ) E (s ) G (s)
注意反馈联接与并联的区别:
X o1 ( s)
G1 ( s )
X i (s )

G (s )
X o (s)
X i (s )
G2 ( s)

X o (s)

H (s)

X 02 ( s)
X i (s )
G1 ( s ) G2 ( s )
X o (s)
E (s ) 偏差的拉氏变换
E ( s ) X i ( s ) B( s )
E (s)
d
1 ( Ls R)
I a (s )
(s)
kd
Ed (s)
M (s)

U a (s)
M (s)
L
1 Js
(s)
I a (s )
km
M (s)
M (s)


I a (s ) 1 ( Ls R)
Ed (s)
km

M L (s)
1 Js
(s)

kd
二、传递函数方框图的等效变换
系统闭环传递函数
X o (s) GB ( s ) X i ( s)
X i (s ) E (s ) G (s)

X o (s)
B(s)
由图可知
H (s)
E ( s) X i ( s) B( s) X i ( s) X o ( s) H ( s) X o ( s ) G ( s) E ( s) G ( s)[ X i ( s ) X o ( s) H ( s)] G ( s) X i ( s) G ( s) X o ( s) H ( s) 由此可得： X o (s) G ( s) G( s) GB ( s ) X i ( s) 1 G ( s) H ( s) 1 G ( s) H ( s)
X o (s)
X o (s) X i ( s)
X 1 ( s) X o (s) . G1 ( s )G2 ( s ) X i ( s) X 1 ( s)
2.并联环节的等效变换规则
各个环节的输入相同,输出为各个环节输出的 代数和,这样的联接方式称为环节的并联.
X o1 ( s)
G1 ( s )
X 1 ( s) G( s) X ( s)
X 2 ( s) X ( s)
X (s)
G (s )
X 1 ( s) G( s) X ( s)
X (s)
G (s )
X 1 ( s) G( s) X ( s)
G (s )
X 2 ( s) G( s) X ( s)
1 / G( s )
X 2 ( s) X ( s)
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
2.3系统的传递函数方框图及其简化
一、传递函数方框图
一个系统可由若干个环节按一定的关系组成,将这些环 节用方框表示,其间用相应的变量及信号流向联系起来, 就构成系统的传递函数方框图. 可以形象地表示系统的内部情况及各环节、变量之间 的关系; 可以由局部环节的方框图联成整个系统的方框图，再 将其简化，以便写出系统的传递函数； 可以揭示和评价每个环节对系统的影响.
1.串联环节的等效变换规则 前一环节的输出为后一环节输入的联接方式成为 环节的串联.若各个环节之间不存在负载效应时,则 串联联接后的传递函数为各个环节传递函数之积.
X i (s )
G1 ( s )
G ( s)
X 1 ( s)
G2 ( s)
X o (s)
X i (s )
G1 ( s ) G2 ( s)
的乘积定义为开环传递函数 GK (s) B( s) GK ( s ) G ( s ) H ( S ) E ( s)
前向通道传递函数 G (s ) 与反馈回路传递函数 H (s) 的乘积定义为开环传递函数 GK (s) B( s) GK ( s ) G ( s ) H ( s ) E ( s) 无量纲. X o (s) 系统闭环传递函数 GB ( s) X i ( s) 注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的 传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而 言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递 函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什 么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
a.分支点之间相互交换
X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s)
b.分支点之合并与拆（chai）分
X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s)
注意：分支点和相加点之间不具有上述等效规则
8.分支点和相加点之间等效规则
5. 相加点移动的规则
a.相加点前移
X (s)
G (s )
X 1 ( s)
b. 相加点后移
X (s)
X 2 ( s)

G (s )
X 1 ( s)
X 2 ( s)
X 1 ( s) X 2 ( s) X ( s)G( s)
X 1 (s) [ X (s) X 2 (s)]G(s)
X i (s )
G (s )
X o (s)
例1
R (s )

G1

G2
G
H2
H4
3
G4
G5
G6
C (s )
H1
1 G2
H4
R (s )


G1




G2
H2
G3
G4
G5
G6
C (s )
H1
R (s )
1 ( s ) [ M ( s ) M L ( s )] Js
U a (s)

E (s)
d
1 ( Ls R)
I a (s )
(s)
kd
Ed (s)
M (s)

M (s)
L
1 Js
(s)
M ( s) km I a ( s)
I a (s )
km
M (s )
U a (s)

2)相加点
相加点是信号之间代数求和运算的图解表示.在相 加点处,输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各 输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和,每一 个指向相加点的箭头前方的+号或-号表示信号在 代数运算时的符号.必须是具有相同量纲的.
X 1 ( s)
X 1 ( s) X 2 ( s)
X 2 ( s)
1 Js
(s)

kd
E (s)
d
1
M L (s)
-1
1 ( Ls R)
I a (s )
km
M (s)

M L (s)
1 Js
(s)
kd
Ed (s)

1 Js
M L (s)

(s)

Ed (s)
kd km Ls R
1 JLs 2 JRs k m k a
M L (s)
X (s)

G (s )
X 1 ( s) X 2 ( s)
X (s)
G (s )
X 2 ( s)
X 1 ( s)

1 / G( s )
G (s )

6. 相加点变换的其他规则
a.相加点之间相互交换
X 1 ( s)
X (s)
X 1 ( s)
X (s)

X 2 ( s) X 3 ( s)

(s)
【例】
解 按图2-22所示的步骤，利用环 节串联、并联和反馈连接合并的规 则进行。多层回环的处理按由内向 外的顺序依次进行变换。得：
【例 】
4.分支点移动的规则
a.分支点前移
X (s)
G (s )
X 1 ( s) G( s) X ( s) X 2 ( s)
b.来自百度文库支点后移
X (s)
G (s )
当 M L (s) 为输入 (s ) 为输出时，令U a ( s) 0
U a ( s) 0


1 ( Ls R)
I a (s )
km
M (s)

M L (s)
1 Js
(s)
Ed (s)
E (s)
d
kd
1 ( Ls R)
I a (s )
1
Ed (s)
km
M (s)

M L (s)

3)分支点
分支点表示同一信号向不同方向的传递,在分支 点引出的信号不仅量纲相同,而且数值也相等.
X 1 ( s) X 1 ( s) X 1 ( s)
2.建立系统方框图的步骤
1)建立系统元件的原始微分方程; 2)分别对上述微分方程在初始条件为零的条 件下进行Laplace变换,并根据各Laplace变 换的因果关系,分别绘出各自的方框图; 3)按照信号在系统中传递、变换的过程，依 次将上述各个传递函数方框图连接起来 （同一变量的信号通路连在一起），系统 的输入量置于左端，输出量置于右端，便 得到系统的传递函数方框图。
X 2 ( s)

X 1 ( s) X 1 ( s) X 2 ( s) X 1 ( s) X 2 ( s)
X 1 ( s) X 2 ( s)

X 1 ( s)
X 2 ( s)

X 1 ( s) X 2 ( s)

X 2 ( s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
X i (s )
G2 ( s)

X o (s)
X i (s )
G1 ( s ) G2 ( s )
X o (s)

X 02 ( s)
X o (s) G (s) X i (s) X o1 ( s ) X 02 ( s ) G1 ( s ) G2 ( s ) X i (s)
3.方框图的反馈联接及其等效变换规则

X ( s) X ( s) 3 2

X ( s) X 1 ( s) X 2 ( s) X 3 ( s)
b.相加点之合并与拆分
X 1 ( s)
X (s)

X 2 ( s) X 3 ( s)

X 1 ( s)
X (s)
X 3 ( s)

X 2 ( s)
7. 分支点变换的其他规则
( Ls R) I a ( s) Ed ( s) U a ( s)
Ed ( s) kd ( s)
Js( s) M ( s ) M L ( s)
M ( s) km I a ( s)
1 I a ( s) [U a ( s) Ed ( s)] ( Ls R)
Ed ( s) kd ( s)