力法求解超静定结构
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
静不定系统的静定基本系统，或相当系统。 （本章主要用力法解超静定结构）
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充-2
力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再
根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充
方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
4 qa3 1 qa 2 a 2 EI EI
由 11 X 1 1P 0 得 3qa X B 0, YB 8 11qa X A 0, Y A 8
3qa X1 8
,
qa MA 8
2
逆时针
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 12 22 21 n1 n 2
1n X 1 1F 2 n X 2 2 F
0 nn X n nF
1F 是在F单独作用下引起的位移，
，
1X1 是在X 单独作用在引起的位移， 1
因此有
1 ＝ 1F
＋
1X 1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
B为支座，因此有
1 1F 1X 0
对于弹性结构，位移与力成正比，X1是单位 力的X1倍，故 1X1也是 11 的X1倍，即有
1 P
1 EI
由 11 X 1 1 P
qa 9qa XB , YB 16 16
qa 7qa XA , YA 16 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、
Ｂ、Ｃ三处的约束力。
件为基本方程的方法，称为力法。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
A a l A C F X1 B
C F A
B
C
B
1 F
F
1
X1
A
C
B
1X1
A
C
B
11
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
该体系中多出一个外部约束，为一次超静 定梁。解除多余支座B，并以多余约束X1 代替。 以 1表示B端沿X1方向的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的
位于对称轴上的截面C的内力 NC=0 ， MC=0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
当对称结构上受反对称载荷作用时，在 对称面上，对称内力等于零。
用图乘法可证明
M max 发生在外载荷P作用点处
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
上面我们讲的是只有一个 多余约束的情况
那么多余约束不止一个 时，力法方程什么样的 呢？
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
由力法正则方程 11 X 1 1 P 0 得： 3qa X1 16 3qa XC ，YC 0，M C 0 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
3qa qa X A () X B () , YA YB 16 2 qa M A ( 顺时针 ) M B ( 逆时针 ) 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 X 1 12 X 2 1n X n 1F 0 X X X 0 21 1 22 2 2n n 2F n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nF 0
对称轴两边的部分将完全重合。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且
每对力数值相等。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方
11 X 1 1F 0
1 X 11 X 1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
这里可求得
11
1F
于是可求得
l 3EI
2
3
Fa (3l a ) 6 EI
3
Fa X 1 3 (3l a) 2l
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
当对称结构上受对称载荷作用时，在对 称面上，反对称内力等于零。
用图乘法可证明
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 1F 31 X 1 33 X 3 3 F 22 X 2 0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
由反对称性知，B支座约束反力RB 0
11
1 P
9a 2 9a 3 1 2a EI 2 EI 1 4ma 2ma 2a EI EI
2
由 11 X 1 1 P 0 得 4m X1 9a 4m R A RC 9a m m A mB 逆时针 3
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 0 31 X 1 33 X 3 0 22 X 2 2 F
由 11 X 1 1P
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
Pl 2 l 3 3 Pl Pl 8 vC 2 48EI 16EI 192 EI
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
求图示刚架的支反力。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
wenku.baidu.com材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充 力法求解超静定结构
补充-1 超静定结构概念
静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力
静不定系统和内力静不定系统。
外力静不定：支座反力不能全由平衡方程求出；
内力静不定：支座反力可由平衡方程求出，但杆件的 内力却不能全由平衡方程求出；
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
ii 表示X i作用点沿着X i 方向由于
X 1单独作用时所产生的位 移
0 i
i j 表示X i作用点沿着X i 方向由于
X 1单独作用时所产生的位 移
0 j
i F 表示X i作用点沿着X i 方向由于 实际载荷单独作用所产 生的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
等截面平面框架的受力情况如图所示。试
求最大弯矩及其作用位置。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。 由平衡条件可得： 2 Q P cos 45 P 2 M max Pa 2
补充：力法求解超静定结构
例 ： 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试
求C处的约束力、支座反力。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
11
1 P
1 EI
a 2 2a a3 2 3 3EI
4 a 2 qa 2 1 qa EI 2 8 16 EI
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 2
补充：力法求解超静定结构
11
2 EI
a 2a 2a 3 2 3 3EI 2 qa 2 a qa 4 a 2 24 EI 3 8 qa 0 得 X1 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
求解静不定系统的基本方法，是解除多余
约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处
的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
X 1 引起的弯矩为M 设 X 1 引起的弯矩为M 实际载荷引起的弯矩为 MP
0 i 0 j 0 i 0 j
M M M M 则： ii dx， j i dx EI EI l l M MF iF dx EI l
变形协调条件： 1 2 3 0 i 表示X i 作用点沿着X i 方向的位移。 由叠加原理： 1 1 X1 1 X 2 1 X 3 1 P 0 1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 同理 2 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
例：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆
EI=常数。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
4a 3 1 a 2 2a 2 11 2 3 a a 3EI EI 1P
向相反。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称结构在正对称载荷作用下： 结构的内力及变形是对称的 位于对称轴上的截面C的内力 QC=0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 X X X 0 21 1 22 2 23 3 2F 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
0 i
0 i
0 i
0 i
0 j
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充-3 对称及反对称性质的利用
• 基本概念： • 对称结构 • 对称载荷与反对称载荷 • 对称内力与反对称内力
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称性的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在
补充：力法求解超静定结构
例：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，
设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中
点的挠度。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
11
1 P
1 l l 1 EI EI 1 Pl 2 Pl 2 1 EI 8 8 EI Pl 0得X 1 8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充-2
力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再
根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充
方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
4 qa3 1 qa 2 a 2 EI EI
由 11 X 1 1P 0 得 3qa X B 0, YB 8 11qa X A 0, Y A 8
3qa X1 8
,
qa MA 8
2
逆时针
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 12 22 21 n1 n 2
1n X 1 1F 2 n X 2 2 F
0 nn X n nF
1F 是在F单独作用下引起的位移，
，
1X1 是在X 单独作用在引起的位移， 1
因此有
1 ＝ 1F
＋
1X 1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
B为支座，因此有
1 1F 1X 0
对于弹性结构，位移与力成正比，X1是单位 力的X1倍，故 1X1也是 11 的X1倍，即有
1 P
1 EI
由 11 X 1 1 P
qa 9qa XB , YB 16 16
qa 7qa XA , YA 16 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、
Ｂ、Ｃ三处的约束力。
件为基本方程的方法，称为力法。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
A a l A C F X1 B
C F A
B
C
B
1 F
F
1
X1
A
C
B
1X1
A
C
B
11
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
该体系中多出一个外部约束，为一次超静 定梁。解除多余支座B，并以多余约束X1 代替。 以 1表示B端沿X1方向的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的
位于对称轴上的截面C的内力 NC=0 ， MC=0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
当对称结构上受反对称载荷作用时，在 对称面上，对称内力等于零。
用图乘法可证明
M max 发生在外载荷P作用点处
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
上面我们讲的是只有一个 多余约束的情况
那么多余约束不止一个 时，力法方程什么样的 呢？
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
由力法正则方程 11 X 1 1 P 0 得： 3qa X1 16 3qa XC ，YC 0，M C 0 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
3qa qa X A () X B () , YA YB 16 2 qa M A ( 顺时针 ) M B ( 逆时针 ) 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 X 1 12 X 2 1n X n 1F 0 X X X 0 21 1 22 2 2n n 2F n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nF 0
对称轴两边的部分将完全重合。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且
每对力数值相等。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方
11 X 1 1F 0
1 X 11 X 1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
这里可求得
11
1F
于是可求得
l 3EI
2
3
Fa (3l a ) 6 EI
3
Fa X 1 3 (3l a) 2l
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
当对称结构上受对称载荷作用时，在对 称面上，反对称内力等于零。
用图乘法可证明
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 1F 31 X 1 33 X 3 3 F 22 X 2 0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
由反对称性知，B支座约束反力RB 0
11
1 P
9a 2 9a 3 1 2a EI 2 EI 1 4ma 2ma 2a EI EI
2
由 11 X 1 1 P 0 得 4m X1 9a 4m R A RC 9a m m A mB 逆时针 3
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 0 31 X 1 33 X 3 0 22 X 2 2 F
由 11 X 1 1P
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
Pl 2 l 3 3 Pl Pl 8 vC 2 48EI 16EI 192 EI
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
求图示刚架的支反力。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
wenku.baidu.com材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充 力法求解超静定结构
补充-1 超静定结构概念
静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力
静不定系统和内力静不定系统。
外力静不定：支座反力不能全由平衡方程求出；
内力静不定：支座反力可由平衡方程求出，但杆件的 内力却不能全由平衡方程求出；
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
ii 表示X i作用点沿着X i 方向由于
X 1单独作用时所产生的位 移
0 i
i j 表示X i作用点沿着X i 方向由于
X 1单独作用时所产生的位 移
0 j
i F 表示X i作用点沿着X i 方向由于 实际载荷单独作用所产 生的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
等截面平面框架的受力情况如图所示。试
求最大弯矩及其作用位置。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。 由平衡条件可得： 2 Q P cos 45 P 2 M max Pa 2
补充：力法求解超静定结构
例 ： 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试
求C处的约束力、支座反力。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
11
1 P
1 EI
a 2 2a a3 2 3 3EI
4 a 2 qa 2 1 qa EI 2 8 16 EI
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 2
补充：力法求解超静定结构
11
2 EI
a 2a 2a 3 2 3 3EI 2 qa 2 a qa 4 a 2 24 EI 3 8 qa 0 得 X1 16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
求解静不定系统的基本方法，是解除多余
约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处
的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
X 1 引起的弯矩为M 设 X 1 引起的弯矩为M 实际载荷引起的弯矩为 MP
0 i 0 j 0 i 0 j
M M M M 则： ii dx， j i dx EI EI l l M MF iF dx EI l
变形协调条件： 1 2 3 0 i 表示X i 作用点沿着X i 方向的位移。 由叠加原理： 1 1 X1 1 X 2 1 X 3 1 P 0 1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 同理 2 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
例：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆
EI=常数。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
4a 3 1 a 2 2a 2 11 2 3 a a 3EI EI 1P
向相反。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称结构在正对称载荷作用下： 结构的内力及变形是对称的 位于对称轴上的截面C的内力 QC=0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
力法正则方程： 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 X X X 0 21 1 22 2 23 3 2F 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
0 i
0 i
0 i
0 i
0 j
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
补充-3 对称及反对称性质的利用
• 基本概念： • 对称结构 • 对称载荷与反对称载荷 • 对称内力与反对称内力
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
对称性的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在
补充：力法求解超静定结构
例：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，
设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中
点的挠度。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充：力法求解超静定结构
0 M1 图
MP图
11
1 P
1 l l 1 EI EI 1 Pl 2 Pl 2 1 EI 8 8 EI Pl 0得X 1 8