3.5 直线与平面的相关位置

定理 1’ （几何角度）直线
Ⅰ. 相交 v 不垂直于 n ;（垂直 v // n Ⅱ. 平行 v n v n 0 且 M 0 ; Ⅲ. 在平面上 v n v n 0 且 M 0 .
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A B C ） X Y Z
x x0 y y0 z z0 设直线L： , m n p 平面Π： Ax By Cz D 0 L与Π不平行， 求L与Π的交点.
1.写出L的参数方程：
x x0 mt, y y0 nt, z z0 pt
2.代入平面 Π的方程，求得 t的值t0 , 3.代t0入L的参数方程，即可得交 点坐标。
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解析几何
P1:
6( x 1) 2( y 2) 3( z 3) 0
即P1:
6 x 2 y 3z 1 0
求平面 P1与已知直线 L的交点
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6 x 2 y 3 z 1 0 x 1 y 1 z 3 t 2 5 3
解析几何
A1 x B1 y C1 z 0 例1 判定直线 l : A2 x B2 y C2 z 0
和平面 : A1 A2 x B1 B2 y C1 C2 z 0 的相关位置. 例2 设直线与三坐标平面的交角分别为 , , ， 证明： .
定理 1 （代数角度）直线
Ⅲ. 在平面上 AX BY CZ 0 且 Ax0 By0 Cz0 0 .
x x0 y y0 z z0 ， v X , Y , Z ， M 0 x0 , y0 , z0 X Y Z 与平面 : Ax By Cz D 0 , n A, B, C 的相互位置关系有下面的充要条件:
解析几何
直线与平面的交角
已知直线
平面
l:
x x0 y y0 z z0 X Y Z
: Ax By Cz D 0
且设直线 l 与平面

， 之间的夹角为 0 2

nv nv AX BY CZ A2 B2 C 2 X 2 Y 2 Z 2
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解析几何
例4 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面
P : 6 x 2 y 3z 1 0,
又与直线
x 1 y 1 z 3 L: , 3 2 5
L M P1 P
M1

相交的直线方程. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
§3.5 直线与平面的相关位置
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解析几何
直线与平面的相关位置的条件
x x0 y y0 z z0 与平面 X Y Z : Ax By Cz D 0 的相互位置关系有下面的充要条件: Ⅰ.相交 AX BY CZ 0 ; Ⅱ.平行 AX BY CZ 0 且 Ax0 By0 Cz0 0 ;
t 0,M1(1, 1,3),
s MM1 (2, 3,6),
x1 y2 z 3 2 3 6
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解析几何
解析几何
注1 直线与平面的位置关系，是点、平面、直线关系的纽带， 是求直线、平面方程的基础。 注2 注3 直线和平面平行时，其距离等于 P0 P0 l 到平面的距离。 当直线和平面垂直时，可取平面的法向量为直线的方向， 反之亦然。 特别注意：直线与平面的夹角公式是 sin
注4
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cos 2 cos 2 cos 2 0
例3 求与两平行平面 6 x 3 y 2 z 35 0,6 x 3 y 2 z 63 0 都相切且与其中之一相切于点 M 5, 1, 1 的球面.
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解析几何
直线与平面的交点
则 sin cos n, v
0, 2
于是① 当 0 l // 或 l v n AX BY CZ 0
② 当
A B C l n // v 2 X Y Z
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