流体力学247流体静力学分解
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第四节 几种质量力作用下的流体平衡
相对静止（平衡）：
若盛液体的容器或机件对地面上的固定坐标系有相 对运动，但液体质点彼此之间以及流体与容器之间没有 相对运动，这种运动状态称为相对平衡。
工程上常见的两种相对平衡：
容器作匀加速水平运动
容器作等角速回转运动
达朗伯原理：作用于一个物体的外力与动力的反作 用力之和等于零。
2、等压面方程
将单位质量力的分力代入式 Xdx Ydy Zdz 0
得
adx gdz 0
积分得 ax gz c 这就是等压面方程
自由液面是一个特殊的等压面，可由边界条件x=0时z=0
得到 ax gzs 0
或
zs
a g
x
。
zs为自由液面的z坐标。
回过头来再分析 p p0 (ax gz)
P2
(
3
H2
sin
a)
所以
l P1(H1 3sina) P2(H2 3sina) (2.54 a)m 3sin P
p
p0
( 2r 2
2
gz)
p0
g(zs
z)
p p0 gh (h zs z)
！与绝对静止流体中静压力公式完全相同。
思考：
p0
h g
① 静止；
p0 gh
②自由落体运动；
p0
③以加速度a向上运动； p0 ( g a)h
④斜向上方匀速运动；
p0 gh
⑤（斜与向水上平方面匀夹加角速为a运）动。。p0 ( g a sin )h
p
p0
(ax
gz)
p0
g(
a g
x
z)
p0 g(zs z)
即 p p0 gh
式中 h zs z
！与绝对静止流体中静压力公式完全相同。
二、等角速旋转容器中流体的相对平衡
z
y
zs
h
z
A
气体 2r
ogf 液体
Yj
2r
or
X
x
x
质量力的三个分量为：
X 2r cos 2 x;Y 2r sin 2 y; Z g
PyD
ydP
A
即
yc sin AyD
sin
y 2 dA
A
化简后可得
y2dA
yD
A
yc A
式中: A y2dA J x 是平面面积 A 对ox 轴的惯性矩。
根据惯性矩的平行移轴定理 J x Jc yc2 A 可得
yD
Jc yc A
yc
由此可知，压力中心的位置与受压面倾角α无关，并且 压力中心总是在形心之下。只有当受压面位置为水平放 置时，压力中心与形心才重合。
常见规则平面图形的面积、形心位置和通过形心的惯性矩
袁[例题2-2] 如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左 边水深 H1 4.5m，右边水深 H2 2.5m ，闸门与水面成 450
倾斜角。假设闸门的宽度 b 1m，试求作用在闸门上的总压
力及其作用点。
l1 P
H1
l0
P1 l1
3
P2 l2
Z g
1、流体静压力分布规律
将单位质量力代入 dp Xdx Ydy Zdz 得
积分得
dp adx gdz p ax gz c
由边界条件x=0, z=0时 p p0 ，有 c p0
于是得
p p0 (ax gz)
这就是等加速水平运动容器中液体的静压力分布公式。
它表明压力会随 z 和 x 的变化而变化
1、静压力分布规律
dp ( 2 xdx 2 ydy gdz)
积分得
p ( 2 x2 2 y2 gz) c ( 2r 2 gz) c
2
2
2
根据边界条件 y 0, z 0, c p0
p
p0
2r2
g( 2g
z)
这就是等角速旋转容器中液体静压力分布公式。
2、等压面方程
作业题：2，3，5任选一题
第五节 静止流体作用在平面上的总压力
一、总压力大小和方向
设在静止流体中有一块任意形状 的平面，与水平面的夹角为α， 面积为A。
微元面 dA 上流体静压力大小为
dP pdA ghdA g sin ydA
平行力系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面A上的总压力为
面积A对ox轴的面积矩
P A dp sin A ydA
2 xdx 2 ydy gdz 0
积分得
2x2 2 y2
gz c
2
2
即
2r 2
gz c
2
说明：等压面是一族绕 z 轴的旋转抛物面。
自由液面是一个特殊的等压面，可由边界条件r=0时z=0 得到c=0,于是有
2r 2 gz 0;
2
zs
2r 2
2g
zs为自由液面的z坐标。
则：
作用在任意形状平面上的总
P sin yc A pc A 压力大小等于该平面的面积
与其形心处压强的乘积。
总压力P的作用方向必然为垂直地指向相应作用面。
由此可知，当平面面积与形心深度不变时，平面上的 总压力大小与平面倾角α无关。
二、压力中心(center of pressure)
定义： 总压力的作用点称为压力中心，记作D点。 据理论力学中的合力矩定理，诸分力对某一轴的力矩 之合等于合力对该轴的力矩
一、匀加速水平运动容器中流体的相对平衡
z
如图示长方体容器沿水平面以 加速度a作等加速直线运动。
zs
o
z h f g
A a
zs
z h B
受力情况：重力、虚加的大
小为ma,方向与加速度方向
x
a
相反的惯性力。
惯性力是为了应用静力学方
图（2-13）
法求解动力学问题而假设的 虚拟力。
X a
此时，作用在单位质量流体上的质量力为 Y 0
2 0.707
2 0.707
140346 43316 97030
由于矩形平面压力中心坐标
yD
yc
Jc yc A
L b L3 12 2 (L 2) bL
2L 3
根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得
所以
Pl0
P1
l1 3
P2
l2 3
P1
H1
3 s in
P2
H2
3 s in
l0
P1H1 P2 H2
H2
l2 3
[解] 作用在闸门上的总压力系左右两边液体总压力之差，
即
P P1 P2
因此 所以
hc1
H1 2
, A1
bl1
b H1
sin
;
hc 2
H2 2
,
A2
bl2
b H2
sin
。
P
ghc1 A1
ghc2 A2
gbH12 2 sin
gbH
2 2
2 sin
98001 4.52 98001 2.52
3P sin
140346 4.5 43316 2.5 3 97030 0.707
2.54m
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
对任意一点，设距离闸门下端的距离为a，根据合力矩定 理，对通过该点垂直于图面的轴取矩，得
Pl
P1
(
l1 3
a)
P2
(
l2 3
a)
P1
(
3
H1
sin
a)
相对静止（平衡）：
若盛液体的容器或机件对地面上的固定坐标系有相 对运动，但液体质点彼此之间以及流体与容器之间没有 相对运动，这种运动状态称为相对平衡。
工程上常见的两种相对平衡：
容器作匀加速水平运动
容器作等角速回转运动
达朗伯原理：作用于一个物体的外力与动力的反作 用力之和等于零。
2、等压面方程
将单位质量力的分力代入式 Xdx Ydy Zdz 0
得
adx gdz 0
积分得 ax gz c 这就是等压面方程
自由液面是一个特殊的等压面，可由边界条件x=0时z=0
得到 ax gzs 0
或
zs
a g
x
。
zs为自由液面的z坐标。
回过头来再分析 p p0 (ax gz)
P2
(
3
H2
sin
a)
所以
l P1(H1 3sina) P2(H2 3sina) (2.54 a)m 3sin P
p
p0
( 2r 2
2
gz)
p0
g(zs
z)
p p0 gh (h zs z)
！与绝对静止流体中静压力公式完全相同。
思考：
p0
h g
① 静止；
p0 gh
②自由落体运动；
p0
③以加速度a向上运动； p0 ( g a)h
④斜向上方匀速运动；
p0 gh
⑤（斜与向水上平方面匀夹加角速为a运）动。。p0 ( g a sin )h
p
p0
(ax
gz)
p0
g(
a g
x
z)
p0 g(zs z)
即 p p0 gh
式中 h zs z
！与绝对静止流体中静压力公式完全相同。
二、等角速旋转容器中流体的相对平衡
z
y
zs
h
z
A
气体 2r
ogf 液体
Yj
2r
or
X
x
x
质量力的三个分量为：
X 2r cos 2 x;Y 2r sin 2 y; Z g
PyD
ydP
A
即
yc sin AyD
sin
y 2 dA
A
化简后可得
y2dA
yD
A
yc A
式中: A y2dA J x 是平面面积 A 对ox 轴的惯性矩。
根据惯性矩的平行移轴定理 J x Jc yc2 A 可得
yD
Jc yc A
yc
由此可知，压力中心的位置与受压面倾角α无关，并且 压力中心总是在形心之下。只有当受压面位置为水平放 置时，压力中心与形心才重合。
常见规则平面图形的面积、形心位置和通过形心的惯性矩
袁[例题2-2] 如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左 边水深 H1 4.5m，右边水深 H2 2.5m ，闸门与水面成 450
倾斜角。假设闸门的宽度 b 1m，试求作用在闸门上的总压
力及其作用点。
l1 P
H1
l0
P1 l1
3
P2 l2
Z g
1、流体静压力分布规律
将单位质量力代入 dp Xdx Ydy Zdz 得
积分得
dp adx gdz p ax gz c
由边界条件x=0, z=0时 p p0 ，有 c p0
于是得
p p0 (ax gz)
这就是等加速水平运动容器中液体的静压力分布公式。
它表明压力会随 z 和 x 的变化而变化
1、静压力分布规律
dp ( 2 xdx 2 ydy gdz)
积分得
p ( 2 x2 2 y2 gz) c ( 2r 2 gz) c
2
2
2
根据边界条件 y 0, z 0, c p0
p
p0
2r2
g( 2g
z)
这就是等角速旋转容器中液体静压力分布公式。
2、等压面方程
作业题：2，3，5任选一题
第五节 静止流体作用在平面上的总压力
一、总压力大小和方向
设在静止流体中有一块任意形状 的平面，与水平面的夹角为α， 面积为A。
微元面 dA 上流体静压力大小为
dP pdA ghdA g sin ydA
平行力系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面A上的总压力为
面积A对ox轴的面积矩
P A dp sin A ydA
2 xdx 2 ydy gdz 0
积分得
2x2 2 y2
gz c
2
2
即
2r 2
gz c
2
说明：等压面是一族绕 z 轴的旋转抛物面。
自由液面是一个特殊的等压面，可由边界条件r=0时z=0 得到c=0,于是有
2r 2 gz 0;
2
zs
2r 2
2g
zs为自由液面的z坐标。
则：
作用在任意形状平面上的总
P sin yc A pc A 压力大小等于该平面的面积
与其形心处压强的乘积。
总压力P的作用方向必然为垂直地指向相应作用面。
由此可知，当平面面积与形心深度不变时，平面上的 总压力大小与平面倾角α无关。
二、压力中心(center of pressure)
定义： 总压力的作用点称为压力中心，记作D点。 据理论力学中的合力矩定理，诸分力对某一轴的力矩 之合等于合力对该轴的力矩
一、匀加速水平运动容器中流体的相对平衡
z
如图示长方体容器沿水平面以 加速度a作等加速直线运动。
zs
o
z h f g
A a
zs
z h B
受力情况：重力、虚加的大
小为ma,方向与加速度方向
x
a
相反的惯性力。
惯性力是为了应用静力学方
图（2-13）
法求解动力学问题而假设的 虚拟力。
X a
此时，作用在单位质量流体上的质量力为 Y 0
2 0.707
2 0.707
140346 43316 97030
由于矩形平面压力中心坐标
yD
yc
Jc yc A
L b L3 12 2 (L 2) bL
2L 3
根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得
所以
Pl0
P1
l1 3
P2
l2 3
P1
H1
3 s in
P2
H2
3 s in
l0
P1H1 P2 H2
H2
l2 3
[解] 作用在闸门上的总压力系左右两边液体总压力之差，
即
P P1 P2
因此 所以
hc1
H1 2
, A1
bl1
b H1
sin
;
hc 2
H2 2
,
A2
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。
P
ghc1 A1
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gbH
2 2
2 sin
98001 4.52 98001 2.52
3P sin
140346 4.5 43316 2.5 3 97030 0.707
2.54m
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
对任意一点，设距离闸门下端的距离为a，根据合力矩定 理，对通过该点垂直于图面的轴取矩，得
Pl
P1
(
l1 3
a)
P2
(
l2 3
a)
P1
(
3
H1
sin
a)