固体物理复习课
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第一章 晶体的结构
1、晶体的共性
长程有序性 自限性 各向异性
2、密堆积
堆积模型：刚性原子小球 简立方 体心立方 密堆积（六角、立方密积）（致密度） 配位数
3、布拉菲空间点阵
点阵学说内容 晶体结构的周期性 致密度
基元 格点 布拉菲晶格 原胞 晶胞
4、晶列 晶面指数
定义 特点 求法
5、倒格空间
衍射加强条件 倒格矢定义及物理意义 倒格空间 倒格子与正格子的一些重要关系 证明
6、晶体的对称性
对称操作 正交变换 八种基本对称操作
n度旋转轴 中心反演 镜像 4度旋转反演轴）
7、晶格结构分类
分类原则 七大晶系（立方晶系基矢特征） 14种布拉菲格子
8、晶体的X光衍射
原胞基矢坐标 布拉格反射公式 晶胞基矢坐标
消光现象原因 晶体X光衍射实验方法
劳尔法 旋转单晶法 粉末法
9 、原子散射因子 几何结构因子
光子散射法 中子散射法
k q k
P2 P2
2m
P
q
2m Km
P
晶格振动热容理论
热容的经典理论（杜隆—珀替定律）
CV
( E T
)V
热容的量子理论
E 3NkBT
CV 3NkB
n(i )
ei
1
kBT
1
Ei
i
ei kBT
1
E
3N i 1
i
ei kBT
1
E
m D( )d
0 (e kBT 1)
一维晶格的模式密度的求解
CV
m 0
kB
kBT
2
e kBT D()d
(e kBT 1)2
爱因斯坦模型（与实际热容差异的原因）
模型假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动。认为3N个谐振子是全同的。
德拜模型
CV
3Nk B
(
E T
)2
eE T (eE T 1)2
把格波当成弹性波来处理。
u(r)
p1 p2
2 0r 3
u(r)
p2
2 0r 3
极性分子与非极性分子：永久偶极矩＋感生偶极矩， 作用力是库仑力
E
2 p1
4 0r 3
p2
E
2p1 4 0r 3
u(r)
αp12 4π 2ε02r
6
u
(r
)
p1 p2
2 0 r
3
非极性分子：瞬时偶极矩＋诱导偶极矩，作用力是库仑力
AB u(r) r6 r12
共价结合、离子结合、分子结合、氢键结合、金属结合
不同结合类型结合原因、特点
共价结合—配对电子 共价键－方向性、饱和性 离子结合—正负离子间库仑力 分子结合—电偶极矩间作用 氢键结合—A-H－B H－B为氢键 金属结合—原子实与电子云间库仑力
§2.3 结合力及结合能
结合力：吸引力（长程力）和排斥力
两原子间的相互作用势为：u(r) A B rm rn
玻恩—卡门边界条件下平衡位置运动方程组的通解：
un Aei( qnat )
格波：任意时刻原子的位移呈现周期性分布，构成 的一种波。 q为格波的波矢。
m d 2un dt 2
( un1 un1
2un
)
色散关系 2 2 [ 1 cos( qa )] 或者 2 sin qa
m
m2
结论： （1）格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢2/a 为周期的周期函数。
CV
3VckB4T 3
2
2
3v
3 p
D T ex x4dx 0 (ex 1)2
非简谐效应 原因：原子间的非简谐效应是热传导和热膨胀的根源。
k 1 T
k T3
' 1 ,B j aj
'1
j
a
n j
U( R )
N 2
(
4
e 2 0 R
B Rn
)
平衡时相互作用势：
Ne2
1
U (R0 )
80 R0
(1
) n
马德隆常数的计算：—— 埃夫琴计算方法 作业题
计算依据： ' 1
j aj
注意：计算马德隆常数时，＋，－号要分别对应相异离子和相同离子互作用。
§ 3.1 一维晶格的振动
q
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
b1、b2、b3为倒格矢基矢
波矢密度：
1
2 3
Vc
2
3
Vc
晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数目。
晶格振动的模式数目等于原子的自由度数之和。
晶格振动能
i
ni
1 2
i
E
3N i1
ni
1 2
i
声子的特点
虚拟粒子（准粒子）
能量 准动量
晶格振动谱的实验测定
'1
j
a
6 j
§ 2.5共价结合
晶体共价结合的基础：只有当电子的自旋相反时两个 氢原子才结合成稳定的分子，这是晶体共价结合的理论 基础。
§ 2.6离子结合
相互作用势：
u(r)
e2
4 0 rij
b rijn
U N [ e2
2 40R
' ( 1 ) 1 j a j Rn
' j
b
a
n j
]
定义 影响因素 体心立方衍射消光 面心立方衍射消光
第二章 晶体的结合
§ 2.1 原子的电负性 核外电子排布规律
泡利 不相容原理 能量最低原理 洪特定则
原子电负性
电离能 亲和能 电负性
第一电离能 第二电离能 穆力肯定义 泡林定义
§ 2.2 晶体的结合类型
五种基本结合类型（按照结合力的性质和特点）：
Байду номын сангаас
A2
,
(
B
)
1 6
4B
A
雷纳德－琼斯势 u(r) 4[( )12 ( )6 ]
r
r
作业题
非极性分子的结合势： U
N 2
N
u(rij )
i ,i j
U N
2
' {4 [( )12 ( )6 ]}
j
rij
rij
U
(R)
2
N
[
A12
(
R
)12
A6
(
R
)
6
]
其中
A12
'1 aj 12
j
A6
一维单原子链
第n和n+1的两个原子的相互作用力：
f ( r ) un1 un
第n个原子受到的作用力：
fn ＝ (un+1－un) － (un－un-1) ＝ (un+1＋un-1－2un)
在平衡位置的运动方程为：
m
d 2un dt 2
( un1 un1 2un
)
玻恩—卡门边界条件（周期性边界条件）
（2）格波的频率 在波矢空间内具有反演对称性 。
q
a
a
周期性边界条件 结论：晶格振动的波矢数目等于原胞的数目，振动谱是分离谱。
N l N
2
2
一维复式格子
振动模式：波矢相同，频率不同；频率相同，波矢不同 属不同的振动模式。
格波模式总数为2N：对一维双原子复式格子，一个波矢 对应两个不同频率。
三维晶格的振动
两粒子间的作用力：
f
(r)
du dr
mA r m1
nB r n1
结合能：自由离子结合成晶体过程中释放出的能量，或者
把晶体拆散成一个个自由离子所提供的能量，称为晶体的
结合能。
U
N 2
N
u( rij
i ,i j
)
晶体的结合能、内能、相互作用势能的区别
§ 2.4分子力结合
极性分子：永久偶极矩，作用力是库仑力
1、晶体的共性
长程有序性 自限性 各向异性
2、密堆积
堆积模型：刚性原子小球 简立方 体心立方 密堆积（六角、立方密积）（致密度） 配位数
3、布拉菲空间点阵
点阵学说内容 晶体结构的周期性 致密度
基元 格点 布拉菲晶格 原胞 晶胞
4、晶列 晶面指数
定义 特点 求法
5、倒格空间
衍射加强条件 倒格矢定义及物理意义 倒格空间 倒格子与正格子的一些重要关系 证明
6、晶体的对称性
对称操作 正交变换 八种基本对称操作
n度旋转轴 中心反演 镜像 4度旋转反演轴）
7、晶格结构分类
分类原则 七大晶系（立方晶系基矢特征） 14种布拉菲格子
8、晶体的X光衍射
原胞基矢坐标 布拉格反射公式 晶胞基矢坐标
消光现象原因 晶体X光衍射实验方法
劳尔法 旋转单晶法 粉末法
9 、原子散射因子 几何结构因子
光子散射法 中子散射法
k q k
P2 P2
2m
P
q
2m Km
P
晶格振动热容理论
热容的经典理论（杜隆—珀替定律）
CV
( E T
)V
热容的量子理论
E 3NkBT
CV 3NkB
n(i )
ei
1
kBT
1
Ei
i
ei kBT
1
E
3N i 1
i
ei kBT
1
E
m D( )d
0 (e kBT 1)
一维晶格的模式密度的求解
CV
m 0
kB
kBT
2
e kBT D()d
(e kBT 1)2
爱因斯坦模型（与实际热容差异的原因）
模型假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动。认为3N个谐振子是全同的。
德拜模型
CV
3Nk B
(
E T
)2
eE T (eE T 1)2
把格波当成弹性波来处理。
u(r)
p1 p2
2 0r 3
u(r)
p2
2 0r 3
极性分子与非极性分子：永久偶极矩＋感生偶极矩， 作用力是库仑力
E
2 p1
4 0r 3
p2
E
2p1 4 0r 3
u(r)
αp12 4π 2ε02r
6
u
(r
)
p1 p2
2 0 r
3
非极性分子：瞬时偶极矩＋诱导偶极矩，作用力是库仑力
AB u(r) r6 r12
共价结合、离子结合、分子结合、氢键结合、金属结合
不同结合类型结合原因、特点
共价结合—配对电子 共价键－方向性、饱和性 离子结合—正负离子间库仑力 分子结合—电偶极矩间作用 氢键结合—A-H－B H－B为氢键 金属结合—原子实与电子云间库仑力
§2.3 结合力及结合能
结合力：吸引力（长程力）和排斥力
两原子间的相互作用势为：u(r) A B rm rn
玻恩—卡门边界条件下平衡位置运动方程组的通解：
un Aei( qnat )
格波：任意时刻原子的位移呈现周期性分布，构成 的一种波。 q为格波的波矢。
m d 2un dt 2
( un1 un1
2un
)
色散关系 2 2 [ 1 cos( qa )] 或者 2 sin qa
m
m2
结论： （1）格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢2/a 为周期的周期函数。
CV
3VckB4T 3
2
2
3v
3 p
D T ex x4dx 0 (ex 1)2
非简谐效应 原因：原子间的非简谐效应是热传导和热膨胀的根源。
k 1 T
k T3
' 1 ,B j aj
'1
j
a
n j
U( R )
N 2
(
4
e 2 0 R
B Rn
)
平衡时相互作用势：
Ne2
1
U (R0 )
80 R0
(1
) n
马德隆常数的计算：—— 埃夫琴计算方法 作业题
计算依据： ' 1
j aj
注意：计算马德隆常数时，＋，－号要分别对应相异离子和相同离子互作用。
§ 3.1 一维晶格的振动
q
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
b1、b2、b3为倒格矢基矢
波矢密度：
1
2 3
Vc
2
3
Vc
晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数目。
晶格振动的模式数目等于原子的自由度数之和。
晶格振动能
i
ni
1 2
i
E
3N i1
ni
1 2
i
声子的特点
虚拟粒子（准粒子）
能量 准动量
晶格振动谱的实验测定
'1
j
a
6 j
§ 2.5共价结合
晶体共价结合的基础：只有当电子的自旋相反时两个 氢原子才结合成稳定的分子，这是晶体共价结合的理论 基础。
§ 2.6离子结合
相互作用势：
u(r)
e2
4 0 rij
b rijn
U N [ e2
2 40R
' ( 1 ) 1 j a j Rn
' j
b
a
n j
]
定义 影响因素 体心立方衍射消光 面心立方衍射消光
第二章 晶体的结合
§ 2.1 原子的电负性 核外电子排布规律
泡利 不相容原理 能量最低原理 洪特定则
原子电负性
电离能 亲和能 电负性
第一电离能 第二电离能 穆力肯定义 泡林定义
§ 2.2 晶体的结合类型
五种基本结合类型（按照结合力的性质和特点）：
Байду номын сангаас
A2
,
(
B
)
1 6
4B
A
雷纳德－琼斯势 u(r) 4[( )12 ( )6 ]
r
r
作业题
非极性分子的结合势： U
N 2
N
u(rij )
i ,i j
U N
2
' {4 [( )12 ( )6 ]}
j
rij
rij
U
(R)
2
N
[
A12
(
R
)12
A6
(
R
)
6
]
其中
A12
'1 aj 12
j
A6
一维单原子链
第n和n+1的两个原子的相互作用力：
f ( r ) un1 un
第n个原子受到的作用力：
fn ＝ (un+1－un) － (un－un-1) ＝ (un+1＋un-1－2un)
在平衡位置的运动方程为：
m
d 2un dt 2
( un1 un1 2un
)
玻恩—卡门边界条件（周期性边界条件）
（2）格波的频率 在波矢空间内具有反演对称性 。
q
a
a
周期性边界条件 结论：晶格振动的波矢数目等于原胞的数目，振动谱是分离谱。
N l N
2
2
一维复式格子
振动模式：波矢相同，频率不同；频率相同，波矢不同 属不同的振动模式。
格波模式总数为2N：对一维双原子复式格子，一个波矢 对应两个不同频率。
三维晶格的振动
两粒子间的作用力：
f
(r)
du dr
mA r m1
nB r n1
结合能：自由离子结合成晶体过程中释放出的能量，或者
把晶体拆散成一个个自由离子所提供的能量，称为晶体的
结合能。
U
N 2
N
u( rij
i ,i j
)
晶体的结合能、内能、相互作用势能的区别
§ 2.4分子力结合
极性分子：永久偶极矩，作用力是库仑力