三等分角

三等分任意角度的最佳方法
----兼论三大几何难题之解三等分任意角度是世界著名的三大几何难题之一(还有化圆为方和二倍立方体)，早在１７７５年德国科学院就向世界宣布：三大几何难题无解。

下面首先推出三等分任意角度的最佳方法。

用无刻度直尺和圆规（这是最古老的尺规作图法）二等分任意角度，作平行线，多等分直线段等都是可行的；也可以对已知的９０°及其整倍数的角度,乃至小于９０°的特殊角度进行三等分。

但对未知的一般任意角度如何进行三等分呢？
先看一下，已知任意直线段ＯB（如图1），是如何被三等分的：
过Ｏ点作直线，取ＯC＝CＥ＝EＡ，得直线段ＯA。

连接ＡＢ，过C 和E点分别作ＡＢ的平行线CＤ和EＦ，则：ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。

简要证明：过Ｄ和Ｆ点分别作ＯＡ的平行线ＤＨ和ＦＫ，
∵△ＯＣＤ，△ＤＨＦ和△ＦＫＢ皆为全等三角形，
∴ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。

仿照上述三等分任意直线段的方法，对任意角度进行三等分：
绘制任意角度∠ＡＯＢ（如图２），
以Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径画弧交ＯＢ于Ｂ点，并连接弦ＡＢ。

延长ＯＡ至Ｑ，使ＱＡ＝ＯＡ，以Ｑ为圆心，以ＱＡ为半径画弧，在弧上取弦ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＧ，分别连接QＣ、QＤ和QＧ三个半径，并连接弦ＡＧ分别交中间两个半径于Ｅ和Ｆ点。

连接ＢＧ，过Ｅ和Ｆ点分别作ＢＧ的平行线交ＡＢ于Ｈ和Ｍ点，连接OＨ和OＭ点作半径ＯＫ和ＯＮ，则∠ＡＯＢ被近似三等分：
即∠ＡＯＫ＝∠ＮＯＢ≌∠ＫＯＮ。

对该绘图方法的精度分析：
（１）当所取AG=AB时，
则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ＝∠ＫＯＮ，
因为对过Ａ点相对于ＯＱ的垂线（未画出）而言，其两侧图的所有点都是对称的。

虽然所取AG等于ＡＢ的几率很小，但在理论上它是存在的。

（２）当所取AG≠AB时，
则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ≈∠ＫＯＮ。

按照三等分直线段的方法，其对应线段的比例关系是不变的：
即ＡＥ︰ＦＧ＝ＡＨ︰ＭＢ；ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ。

∵△ＡＱＥ和△ＧＱＦ为全等三角形，
∴ＡＥ＝ＦＧ，
则ＡＨ＝ＭＢ
故∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ；
虽然ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ，在表示线段成比例时是对的，但在AG≠AB的条件下，将其分别转换成相对应的角度以后不可能相等，必然会产生误差，只能得到：
∠ＡＯＫ≈∠ＫＯＮ。

当所取ＡＧ与ＡＢ差值的绝对值越大时，其误差值越大，反之当所取ＡＧ与ＡＢ差值的绝对值越小时，其误差值越小，至趋近于０。

根据实际计算，当所取ＡＧ大于或小于ＡＢ的１５％（即ＡＢ＝１００ｍｍ，ＡＧ＝８５—１１５）时，Ｈ和Ｍ点在ＡＢ弦上的最大误差仅为１ｍｍ左右。

在实际绘图中通过目视将所取的ＡＧ与ＡＢ的差值控制在１０％，甚至５％以内都是可能的，这时Ｈ和Ｍ点的误差完全在实际绘图误差范围（≯１ｍｍ）之内。

故该方法在实际绘图中有其实用价值，为三等分角度的最佳方法。

现在看来，“三大几何难题无解”的宣布，并不确切，科学就是言之有据，什么叫无解呢？
（１）如果无解是从理论上讲的。

在所有角度中，确实有三分之二的角度都不能被３整除，除后的商是一个带无限循环小数（０．３３３……或０．６６６……）的数；在化圆为方中，因为正方形的面积要等于圆的面积，所以正方形的边长应为圆半径长度的（π开平方）１．７７２４５……倍，它是一个带无限不循环小数的数；在二倍立方体中，因为大立方体体积要等于小立方体体积的２倍，所以大立方体棱长应为小立方体棱长的（２开立方）１．２５９９２……倍，它也是一个带无限不循环小数的数。

以上三个带无限小数的数，就是用现代最大的计算机都永远写不岀来，怎么能用尺规作图法把它画岀来呢？这不是强人所难吗！带无限小数
的数仅仅是一个永远写不完的、无须证明的、很普通的数而已，根本就谈不上是什么几何难题，更谈不上无解和有解。

（２）如果无解是从实际上（用尺规法作图）讲的。

任何理论在实际应用中，都是允许有一定误差范围的，否则将一事无成。

即使象３６０°，９０°等角度，无论从理论上还是从实际上，都是很容易作到三等分的，但是三等分后实际所得到的角度，无论是绘制还是加工出来的，总是不可避免地有误差。

有误差不等于无解，因此三等分任意角度是有解的；同样只要允许有误差，化圆为方和二倍立方体也都是有解的，特别是化圆为方，在实际管路工程设计中（称为天圆地方）早已被大量采用。

用无刻度直尺和圆规，确实画不出有具体长度尺寸要求的图形来，但是它可以画出没有具体长度尺寸要求，但有图形之间倍数（即比例）要求的任何图形（如圆、正方形和立方体等）。

一旦正方形的边长为圆半径长度的倍数１．７７２４５………和大立方体棱长为小立方体棱长的倍数１．２５９９２………小数点后面的取舍位数确定（即误差值），那么就以所取小数点最后一位（如１／１０，１／１００，……）为单位值，在图中任意画一直线段作为单位长度。

再根据圆半径１、正方形的边长为圆半径的倍数、小立方体的棱长１和大立方体的棱长为小立方体棱长的倍数，计算出各自为单位长度的总倍
数，画出与其相应的圆、正方形、小立方体和大立方体。

这就是对化圆为方和二倍立方体之解。

总之，理论脱离实际必将导致谬论，理论联系实际才有可能呈现事物本来的面貌，真理和谬误不过一步之遥。