5 几种常见概率分布

3 6－3 3 3 P6 (3) = C3 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 20 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 0.04145344 6
4 P6 (4) = C6 (0.85)4 (0.15)6－4 = 15(0.85)4 (0.15)2 = 0.17617711
5 6－5 5 1 P6 (5) = C5 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 6 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 0.39933478 6
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1 6－1 1 5 P6 (1) = C1 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 6 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 0.00038728 6
2 P6 (2) = C6 (0.85)2 (0.15)6－2 = 15(0.85)2 (0.15)4 = 0.00548648
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先假设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。 根据观察结果计算每一奶牛场10年内母牛产怪胎
的平均数 x ，根据加权法可得：
n 200
fx 109 ×0 + 65 ×1 + 22 ×2 + 3 ×3 + 4 ×1 122 x= = = 0.61
用 x =0.61估计λ，代入
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p σ p = (pq) /n
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四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 [例6] 直接利用二项概率公式 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批
种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的各
3. 正态分布表、t值表的用法
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
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第一节
二项分布（Binomial distribution） 一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A 与 A 之一;
6 6－0 6 P6 (6) = C6 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = ( 0 . 85 ) = 0.37714952 6
思考：求
至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
Today: 2019/2/23 （一）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳 性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料。
种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 中
n=6 p = 0.85,q = 1 - 0.85= 0.15 ，孵化6枚种蛋孵出的小
鸡数x服从二项分布 B(6,0.85) .其中x的可能取值为0， 1，2，3，4，5，6。
其中：
0 6 6 P6 (0) = C0 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = ( 0 . 15 ) = 0.00001139 6
（其中p>0,q>0,p+q=1）,则称随机变量X服从参数 为n和p的二项分布，记为 x ~ B(n, p)
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（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，
由n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能
取正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何
数值。
对于任何一个服从正态分布(μ ,σ2)的随 机变量χ ，都可以通过标准化变换：u=(χ μ )/ σ， 即减平均数后再除以标准差，将其变
换为服从标准正态分布的随机变量μ 。
对不同的u及P(U<u)值编成函数表，称为正
态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下
的面积，即为概率。
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0.9996
199.92
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下面我们再来证实我们所得的资料是否具有 泊松分布的特征。
已经计算出x =0.61，样本方差计算如下，
Σ2 =
2 2 fx — ( fx ) /n
n -1 109 ×02 + 65 ×12 + 22 ×22 + 3 ×32 + 1 x 42 1222 / 200 = = 0.611 199
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（三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率 随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之 外的概率称为双侧概率（两尾概率），记作α
P （x < μ kσ） +P （x > μ+ kσ） =α
对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ -kσ或 大于μ +kσ的概率，称为单侧概率（一尾概率）， 记作α/2 P(x < μ- kσ） =P （x > μ+ kσ） = α/ 2
21.64－30.26 x－30.26 32.98－30.26 P(21.64 ≤x < 32.98) = P( ≤ < ) 5.10 5.10 5.10 = P(－1.60 ≤μ < 0.53) = Φ(0.53)－Φ(－1.69) = 0.6564
x1 μ /σ， (x 2 μ/σ 的概率。
一、正态分布的定义及其特征
（一）定义
函数为：
其中，µ 为平均数，σ2 为方差，则称随机变 量χ服从正态分布,记为χ～N(µ ,σ2).相应的概 率分布函数为
1 F(x) = σ 2π

(x －μ) 2 － x 2σ2 －∞
e
（二）特征
正态分布密度曲线是以χ =µ 为对
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应 熟 记 的 几 种 标 准 正 态 分 布 概 率
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（二）一般正态分布的概率计算 将区间的上下限标准化：服从正态分布的随机变量
χ 落在〔χ 1,χ 2〕内的概率，等于服从标准正态分布
的随机变量μ 落在 查标准正态分布表 [例 ] 若χ 服从μ =30.26,σ2 =5.102的正态分布，试 求P(21.64≦x﹤32.98)。 令u=(χ -30.26)/5.10,则u服从标准正态分布，故
在每次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因
而出现对立事件 A 的概率是1-p=q,
则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
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（二）二项分布的概率 在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰 好是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
三、正态分布的概率计算
（一）标准正态分布的概率计算 设u服从标准正 态分布，则μ 落在μ 1,μ 2]内的概率
P(u 1 ≤u < u 2 ) =
= 1 2π
1 2π

u2
u1
e
u2 2
du
u2 2

u2
∞
e
u2 2
du -
1 2π

u1
∞
e
du
= Φ(u 2 ) - Φ(u 1 )
而Φ(u 2 )与Φ(u1)可由附表查得
正态分布 密度函数曲线
1 P （－ < x < +∞ )= e －∞ σ 2π
+∞
(x －μ) 2 － 2σ2
dx = 1
特征
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σ相同而μ不同的三个正态总体
μ相同而σ不同的三个正态总体
Today: 2019/2/23 二、标准正态分布standard normal distribution
二项分布具有概率分布的一切性质，即：

P(X = k) = Pn (k) ≥0
（k=0,1,2,…,n）
k k n－k n 二项分布的概率之和等于 1 ，即： Cn p q (q p) 1 k 0

n
二项分布的性质

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m k n k n -k
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) = C p q
因而二项分布中当p很小且n很大时，可用泊松分
布来取代二项分布。
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第二节
泊松分布 Possion distribution
泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件 分布规律的函数。 一、泊松分布的意义 （一）定义 若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分 布为 λk
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第五章
常见概率分布律
难度级：
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内容提要
第一节
第二节
二项分布
泊松分布
第三节
第四节
正态分布
其他概率分布律
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教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用； 2. 正态分布标准化的方法
k =0

P(X ≥m) = Pn (k ≥m) =

k=m
C
n
k n
p q
k
n -k
P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1
C
m2
k n
p q (m1 ≤m2 )
k
n-k
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三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
Pn (k) =
C
k k n－k p q , k = 0,1,2....., n n
称作二项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质 （一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和 正整数：0,1,2,…,n,且有
k n－k P ( X k ) P ( k ) p q , k 0,1,2....., n n n Cn k
已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对
立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大 量观察中获得的比较稳定的数值。
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现实中，有些事件出现的概率特别小，要观察到 这类事件，样本含量n必须很大 。在生物、医学 研究中，服从泊松分布的随机变量是常见的。
此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，
如x落在(μ -1.96σ,μ +1.96σ) 之外的双侧概 率为0.05，而单侧概率为0.025。即 P(x < μ - 2.58 σ) = P(x > μ+ 2.58 σ) = 0.005 P(x < μ - 1.96 σ) = P(x > μ+1.96 σ) = 0.025
怪胎数（m） 实际次数（f） 0 109 1 65 2 22
当m=0,1,2,3,4时的概率和理论次数
λ k －λ P(x = k) = e k!
200
计算
总 计 200
3 3
4 1
概 率（理论）
理 论 次 数
0.5434 0.3314 0.1011 0.020 0.0031 6
108.68 66.28 20.22 4.12 0.62
称轴的单峰、对称的悬钟形；
f(x)在χ =µ 处达到极大值,极大值 为
f （μ） = 1 σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进线；
正态分布
密度函数曲线
特征
正态分布有两个参数，即平 均数µ 和标准差σ 。µ 是位置参 数，σ 是变异度参数。 分布密度曲线与横轴所夹的 面积为1，即：
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特征。（具体过程需要后面的拟合优度检验）
S 2 与 x 很接近，这正是泊松分布所具有的
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第三节
正态分布 normal distribution
若连续性随机变量X的概率分布密度
f(x) = 1 σ 2π
(x－μ) 2 － 2 e 2 σ ,－∞< x < +∞ ,σ > 0
[例]我们调查了200个奶牛场，统计各场某10年内
出现的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然
后以怪胎头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶牛
场数目，结果如下：
10年内母牛产怪胎次数（m） 0 奶牛场数（f） 1 2 3 4 1 总 计 200 109 65 22 3
试研究10年内母牛怪胎数的概率分布。
（一）定义 称µ =0, σ 2=1的正态分布为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下：
1 (u）＝ e σ 2π
－ u2 2 u2 2
1 , Φ( u ) = σ 2π

u
-∞
e
－
du
若随机变量u服从标准正态分布，记作u～
(0, 1)
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（二）标准化的方法
P(X = k) = k! e－λ k = 0,1,; λ > 0;e = 2.7182
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P(λ)。
（二）特征
μ=σ2=λ（＃样本方差等于平均数）
例
二、泊松分布的概率计算
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λ k －λ P(X = k) = e k!
以样本平均数作为λ的估计值