因素分析方法
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其中m<p，F1,F2,…,Fm称为所有变量的公共因子； i称为变量Xi的特殊因子。 模型假设：
1. 2.
公共因子是互相不相关的。 特殊因子和公共因子不相关。
1．3 因子载荷矩阵
1．矩阵A称为因子载荷矩阵(component matrix)系数aij 称为变量Xi在因子Fj上的载荷(loading)。即变量Xi在 公共因子Fj上的载荷aij就是Xi与Fj的相关系数。反映 公共因子对观察变量的影响程度。因子载荷越高， 表明该因子包含原有指标的信息量越多。 2．载荷矩阵的估计：主成分法。 主成分法是估计载荷矩阵的一种方法，由于其估计 结果和变量的主成分仅相差一个常数倍，因此就冠 以主成分法的名称。学习的时候，不要和主成分分 析混为一谈。主成分法是SPSS系统默认的方法，在 一般情况下，这是比较好的方法。以数据“应征人 员”为例，按特征值大于1提取公共因子。在用不同 方法获得因子载荷时，公共因子对总体方差的贡献 率以主成分法为最高：
因子分析的目的和任务
目的： 寻求变量的基本结构、简化观测系统，即减 少变量维数。用一个变量子集来解释整个问 题。主要目的是研究一种假设的结构，用 m(m<p)个假设的公共因子来解释和说明p个 变量之间的相互依赖结构及其复杂关系。 任务： 寻找共性因素，且能解释各主因子的意义
主成份分析
主成分分析只是一种中间手段，其背景是研 究中经常会遇到多指标的问题，这些指标间 往往存在一定的相关，直接纳入分析不仅复 杂，变量间难以取舍，而且可能因多元共线 性而无法得出正确结论。主成分分析的目的 就是通过线性变换，将原来的多个指标组合 成相互独立的少数几个能充分反映总体信息 的指标，便于进一步分析。
X i ai1F1 ai 2 F2 aim Fm i , i 1,2,..., p
1．2 正交因子模型
X 1 a11 F1 a12 F2 a1m Fm 1 X a F a F a F 2 21 1 22 2 2m m 2 X p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm p
第二节 变量的共同度与因子的方差贡献率
2．1 变量的共同度 定义 载荷矩阵A的第i行元素的平方和：
2 h j 1 aij , 2 i m
i 1,2,..., p
称为变量Xi的共同度(communality)。 共同度表示公共因子在多大的程度上解释变量Xi。 2．2 公共因子的方差贡献率 定义 载荷矩阵A第j列的平方和：
模型形式
1．1 公共因子与特殊因子 从总体中提取的综合变量：F1, F2, … , Fm(m<p)称为（总体 的）公共因子。一般来说，公共因子不可能包含总体的所有 信息，每个变量Xi除了可以由公共因子解释的那部分外，总 还有一些公共因子解Leabharlann Baidu不了的部分，称这部分为变量Xi的特 殊因子，记为：i。 故因子模型描述为： 变量Xi的信息＝公共因子可以表达部分公共因子不可表达部分 目前，公共因子可以表达的部分由公共因子的线性组合表示。 即上面的因子模型可以写成以下的形式：
第三节 方差最大正交旋转
3．1 因子旋转的意义 1．正交因子模型只是一个数学模型，所得的因子在专 业上不一定能反映问题的实质，或者说：因子作为 一个综合变量，其专业意义在许多情况下不容易解 释。因子旋转就是针对这一问题，提出的一种改进 的方法。 2．因子旋转的依据：因子模型的不唯一性。 正是由于因子模型的不唯一性，如果模型不适合专 业解释，那么作一个正交变换T(即因子旋转)，在新 模型中再去寻找因子的专业解释。经转换后的公共 因子具有最大的载荷离散总平方和D。由此确定的因 子载荷矩阵B，对每个公共因子来说，载荷最为分散， 因此比较容易对因子的专业意义作出解释。
称为因子Fj对总体 x 的贡献(initial eigenvalues)。
q
2 j
2 a i 1 ij , p
j 1,2,...,m
共性方差： 也称方差贡献率，是用某个公共因子占总方 差的百分比来说明共性因素的对观测变量总 体的作用大小。 公共因子个数的选择应考虑： 因子所能解释的方差比率或贡献率； 与利用有关专业知识所得结果的合理一致性 通过这几种途径和手段对研究结果给予合理 解释的可能性和可靠性。 一般，所选公共因子的个数应保证使其方 差累计贡献率大于85%，且主成份个数与变量 个数的比值越小越好。
因子分析
在许多实际问题中，涉及的变量众多，各 变量间还存在错综复杂的相关关系，这时最 好能从中提取少数综合变量，这些综合变量 彼此不相关，是不可测的潜在因素，但对观 测变量的变化起支配作用，且包含原变量提 供的大部分信息。因子分析就是为解决这一 问题提供的统计分析方法。 例如：P159 东西部地区各主成份的提取
因子分析
因子分析是通过变量或样本的相关系数矩 阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的 少数几个随机变量去描述多个变量之间的相 关关系。即将观察变量分类，将相关性较高 的、联系较密切的、包含重复信息较多的变 量分在同一类中，使不同类的变量之间的相 关性较低，每类变量代表了一个本质因子或 基本结构。因子分析就是寻找系统中这种不 可观测的因子或结构的方法。
第四节 因子得分
4．1 因子得分函数 因子模型将总体中的原有变量分解为公共因子与特 殊因子的线性组合： X i ai 1F1 ai 2 F2 aim Fm i , i 1,2,..., p 按照这个思路，也可以把每个公共因子表示成原变 量的线性组合：
因素分析——Factor Analysis
系统分析与决策的四个进程：对系统进行 描述性分析 解析性分析 预测性研究 系统决策 因素分析法属于描述性分析，它能保证在数 据信息损失最小的前提下，从大规模的原始数据 群中，迅速将重要的信息提取出来，将高维的数 据进行降维处理，迅速的揭示出系统中的因子结 构，使人们对系统达到尽可能充分的认识，提高 决策者的洞察力和分析效率。又称作因子分析。
1. 2.
公共因子是互相不相关的。 特殊因子和公共因子不相关。
1．3 因子载荷矩阵
1．矩阵A称为因子载荷矩阵(component matrix)系数aij 称为变量Xi在因子Fj上的载荷(loading)。即变量Xi在 公共因子Fj上的载荷aij就是Xi与Fj的相关系数。反映 公共因子对观察变量的影响程度。因子载荷越高， 表明该因子包含原有指标的信息量越多。 2．载荷矩阵的估计：主成分法。 主成分法是估计载荷矩阵的一种方法，由于其估计 结果和变量的主成分仅相差一个常数倍，因此就冠 以主成分法的名称。学习的时候，不要和主成分分 析混为一谈。主成分法是SPSS系统默认的方法，在 一般情况下，这是比较好的方法。以数据“应征人 员”为例，按特征值大于1提取公共因子。在用不同 方法获得因子载荷时，公共因子对总体方差的贡献 率以主成分法为最高：
因子分析的目的和任务
目的： 寻求变量的基本结构、简化观测系统，即减 少变量维数。用一个变量子集来解释整个问 题。主要目的是研究一种假设的结构，用 m(m<p)个假设的公共因子来解释和说明p个 变量之间的相互依赖结构及其复杂关系。 任务： 寻找共性因素，且能解释各主因子的意义
主成份分析
主成分分析只是一种中间手段，其背景是研 究中经常会遇到多指标的问题，这些指标间 往往存在一定的相关，直接纳入分析不仅复 杂，变量间难以取舍，而且可能因多元共线 性而无法得出正确结论。主成分分析的目的 就是通过线性变换，将原来的多个指标组合 成相互独立的少数几个能充分反映总体信息 的指标，便于进一步分析。
X i ai1F1 ai 2 F2 aim Fm i , i 1,2,..., p
1．2 正交因子模型
X 1 a11 F1 a12 F2 a1m Fm 1 X a F a F a F 2 21 1 22 2 2m m 2 X p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm p
第二节 变量的共同度与因子的方差贡献率
2．1 变量的共同度 定义 载荷矩阵A的第i行元素的平方和：
2 h j 1 aij , 2 i m
i 1,2,..., p
称为变量Xi的共同度(communality)。 共同度表示公共因子在多大的程度上解释变量Xi。 2．2 公共因子的方差贡献率 定义 载荷矩阵A第j列的平方和：
模型形式
1．1 公共因子与特殊因子 从总体中提取的综合变量：F1, F2, … , Fm(m<p)称为（总体 的）公共因子。一般来说，公共因子不可能包含总体的所有 信息，每个变量Xi除了可以由公共因子解释的那部分外，总 还有一些公共因子解Leabharlann Baidu不了的部分，称这部分为变量Xi的特 殊因子，记为：i。 故因子模型描述为： 变量Xi的信息＝公共因子可以表达部分公共因子不可表达部分 目前，公共因子可以表达的部分由公共因子的线性组合表示。 即上面的因子模型可以写成以下的形式：
第三节 方差最大正交旋转
3．1 因子旋转的意义 1．正交因子模型只是一个数学模型，所得的因子在专 业上不一定能反映问题的实质，或者说：因子作为 一个综合变量，其专业意义在许多情况下不容易解 释。因子旋转就是针对这一问题，提出的一种改进 的方法。 2．因子旋转的依据：因子模型的不唯一性。 正是由于因子模型的不唯一性，如果模型不适合专 业解释，那么作一个正交变换T(即因子旋转)，在新 模型中再去寻找因子的专业解释。经转换后的公共 因子具有最大的载荷离散总平方和D。由此确定的因 子载荷矩阵B，对每个公共因子来说，载荷最为分散， 因此比较容易对因子的专业意义作出解释。
称为因子Fj对总体 x 的贡献(initial eigenvalues)。
q
2 j
2 a i 1 ij , p
j 1,2,...,m
共性方差： 也称方差贡献率，是用某个公共因子占总方 差的百分比来说明共性因素的对观测变量总 体的作用大小。 公共因子个数的选择应考虑： 因子所能解释的方差比率或贡献率； 与利用有关专业知识所得结果的合理一致性 通过这几种途径和手段对研究结果给予合理 解释的可能性和可靠性。 一般，所选公共因子的个数应保证使其方 差累计贡献率大于85%，且主成份个数与变量 个数的比值越小越好。
因子分析
在许多实际问题中，涉及的变量众多，各 变量间还存在错综复杂的相关关系，这时最 好能从中提取少数综合变量，这些综合变量 彼此不相关，是不可测的潜在因素，但对观 测变量的变化起支配作用，且包含原变量提 供的大部分信息。因子分析就是为解决这一 问题提供的统计分析方法。 例如：P159 东西部地区各主成份的提取
因子分析
因子分析是通过变量或样本的相关系数矩 阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的 少数几个随机变量去描述多个变量之间的相 关关系。即将观察变量分类，将相关性较高 的、联系较密切的、包含重复信息较多的变 量分在同一类中，使不同类的变量之间的相 关性较低，每类变量代表了一个本质因子或 基本结构。因子分析就是寻找系统中这种不 可观测的因子或结构的方法。
第四节 因子得分
4．1 因子得分函数 因子模型将总体中的原有变量分解为公共因子与特 殊因子的线性组合： X i ai 1F1 ai 2 F2 aim Fm i , i 1,2,..., p 按照这个思路，也可以把每个公共因子表示成原变 量的线性组合：
因素分析——Factor Analysis
系统分析与决策的四个进程：对系统进行 描述性分析 解析性分析 预测性研究 系统决策 因素分析法属于描述性分析，它能保证在数 据信息损失最小的前提下，从大规模的原始数据 群中，迅速将重要的信息提取出来，将高维的数 据进行降维处理，迅速的揭示出系统中的因子结 构，使人们对系统达到尽可能充分的认识，提高 决策者的洞察力和分析效率。又称作因子分析。