第六章 非完全信息静态博弈(博弈论,张醒洲)

vs<3/4
p
vb>1/4
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双向拍卖: 线性贝叶斯纳什均衡-5
• 双向拍卖中当且仅当pb≥ps时，交易才会发生。 • 在线性贝叶斯纳什均衡中，当且仅当vb﹥vs+1/4时，交 易才会发生，如图3.2.3所示。
图 3.2.3
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Assignment
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静态贝叶斯博弈: 标准式表述
• 完全信息静态博弈
其中
• 表述静态贝叶斯博弈
– 首先要明确：每一参与人知道他 自己的收益函数，但也许不能确 知其他参与人的收益函数。 – 令参与人 i 可能的收益函数表示 为 ui (a1 , , an ; ti ) ，其中 ti 称为 参与人i 类型，它属于一个可能 的类型集（亦成为空间类型）Ti， 每一类型 ti 都对应着参与人i 不 同的收益函数的可能情况。
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博弈的解由三个产量选择组成：q2*(cH)、q2*(cL) 及 q1*。 用刚刚给出的关于策略的定义，(q2*(cH)、q2*(cL)) 就是企业2 的策略，q1* 是企业1的策略，很容易想到企业2根据自己 的成本情况会选择不同的产量，但是还应注意到同样重要 的一点，是企业1在选择单一产出时也应同样考虑企业2将 根据不同的成本选择不同的产量。
（3）参与人同时选择行动，每一参与人 i从可行集Ai选择 ai；
（4）各方得到收益 ui (a1 , , an ; ti ) 。
• 借助于第一步和第二部中虚构的参与人“自然”的行 动，我们可以把一个非完全信息的博弈表述成为一个 非完美信息的博弈。
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贝叶斯纳什均衡：思想
• 完全信息静态博弈的时 序
(1) 参与人 同时选择行动(参与人 i 从可行集 Ai选择 ai)； (2) 获得收益 ui(a1, ..., an)。
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类型空间: 古诺模型
企业的行动是它们的产量选择q1和q2。企业2有两种可能的成 本函数，从而有两种可能的利润或收益函数：
从而，如果我们的均衡概念要求企业1的策略是企业2 策略的最优反应，则2的策略必须是一对产量，分别对应 于两种可能的成本类型，否则企业1就无法计算它的策略 是否确实是企业2策略的最优反应。
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贝叶斯纳什均衡
定义 在静态贝叶斯博弈
中，策略组合s*=(si*, …,sn*)是一个纯策略贝叶斯纳 什均衡，如果对每一个参与人 i及对 i的类型集 Ti中 每一 ti，si*(ti)满足
非完全信息静态博弈
Unit 6
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概要：静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡
• 理论: 贝叶斯博弈
– 非对称信息下的古诺竞争
– 静态贝叶斯博弈的标准式表述 – 贝叶斯纳什均衡的定义
• 应用
– 双向拍卖
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非对称信息下的古诺竞争
考虑如下的古诺双头模型
市场反需求函数由P(Q)=a-Q给出，这里Q=q1+q2为市场中的总产 量。企业1的成本函数为C1(q1)=cq1，不过企业2的成本函数以
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贝叶斯纳什均衡：定义
定义 在静态贝叶斯博弈
中，参与人 i 的一个策略是一个函数 si( ti) ，其中对 Ti 中的每一类型 ti ，si( ti)包含了自然赋予 i 的类型为 ti 时，i 将从可行集 Ai 中选择的行动。
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非对称信息古诺博弈中的策略
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一阶条件求解
假定这些一阶条件可以决定上述最优化问题的解
及
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信息: 完全 vs. 非完全
* * q2 (cL ) 和 q1 与成本分别为c1 和 c2 的完全信息古诺均衡相比较 • 将q2 (cH )、
*
c2的取值可使得两个企业的均衡产量都为正，在完全信息条 • 假定c1 、
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讨价还价区间，价格和剩余
• 讨价还价区间
– 卖方价格和买方价格构成的 区间
买家收益 卖家收益 vs
1
vb p 议价区间
• (个人) 客户剩余
– 买家愿意支付的价格与之实 际支付的价格之差
• 卖家剩余/毛利
– 交易价格与卖家的保留价格 或成本之差
0 图. 议价问题
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知道企业1知道自己的信息优势。
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古诺博弈:企业2的产量选择
• 企业2的边际成本较高时和较低时，他希望生产的产出水平是不同的 （一般而言，前一种情况时的产出要更低一些）。 • 企业1从自己的角度，也会预测到企业2根据其成本情况将选择不同的 产量。 * * * (cH )和 q2 (cL ) 分别把企业的产量选择并表示为成本的函数，并令 q1 • 用 q2 * 表示企业1的单一产量选择。如果企业2的成本较高，他会选择 q2 (cH ) 满足：
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Harsanyi 转换: 静态贝叶斯博弈的时序
根据Harsanyi（1967）的假定，静态贝叶斯博弈的时间顺序如下： （1）自然赋予博弈各方的类型向量t =(t1, …, tn)，其中 ti属于可行集 合Ti； （2）自然告知参与人i自己的类型ti，却不告知其他参与人的类型；
• 参与人的一个策略是关于行动的一个完整计划，包括了 参与人在可能会遇到的每一种情况下将选择的一个完整 计划。 • 在给定的静态贝叶斯博弈的时间顺序中，自然首先行动， 赋予每一参与人各自的类型，参与人 i 的一个（纯）策 略必须包括参与人 i在每一可行的类型下选择的一个可行 行动。 • 在静态贝叶斯博弈中，策略空间根据类型空间和行动空 间构建：参与人 i 的可行的（纯）策略集 Si 是定义域为 Ti , 值域为 Ai 的所有可能的函数集。
• 选作题
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双向拍卖: 线性策略
• 策略
在这一静态贝叶斯博弈中，买方的一个策略是 pb(vb)，明确了买 方在每一可能的类型下将会给出的买价。相似地，卖方的一个策略 是函数ps(vs)，明确了卖方在不同的估价情况下给出的卖价。
• 线性策略
假设卖方的策略为ps( vs)=as+csvs，则ps服从[as,as+cs]上的均匀分 布。
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cs=2/3，as=(ab+cb)/3。
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双向拍卖: 线性贝叶斯纳什均衡-3
• 线性贝叶斯均衡策略如下
和
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双向拍卖: 线性贝叶斯纳什均衡-4
图3.2.2说明了卖方的类型高于3/4时，他要的卖价超过了 买方的最高可能出价pb(1)= 3/4，并且买方的类型低于1/4时， 他出的买价低于卖方的最低可能要价ps(0)= 1/4。
人类型（即 t-i）的信念（belief）。
在3.2Βιβλιοθήκη Baidu分析的所有应用中，参与人之间的类型是相互独立的，这种 情况下 pi( t-i| ti)与 ti不相关，于是我们可以把参与人的信念写成P1, …Pn。
但是，也存在参与人之间类型相关的情况，所以在给定静态贝叶斯博弈的
定义时，我们考虑到这种情况，仍把参与人的信念写为pi(t-i|ti)。
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一个n人静态贝叶斯博弈的标准式表述
定义 一个n人静态贝叶斯博弈的标准式表述包括：参与
人的行动空间 A1,…An，它们的类型集空间T1, …Tn，他们的
信念 p1, …pn以及他们的收益函数 u1, …un。参与人 i的类型 ti作为参与人 i的私人信息，决定了参与人 i的收益函数 ui (a1, …an;ti)，并且是可能的类型集Ti中的一个元素。参与 人 i的信念 pi ( t-i| ti)描述了 i在给定自己的类型 ti 时，对其他 n-1个参与人可能的类型 t-i的不确定性。我们用 G = {A1, …An;T1, …Tn;p1, …pn;u1, …un}
* (cL ) 应满足下式： 类似地，如果企业2的成本较低，q2
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企业1的产量选择
最后，企业1知道企业2成本高的概率为 ，并应该 * q ) q ( c ) 能预测企业2的产量选择将分别为 或 2 (cH 。从而 ，企 * q 业1选择 1 满足下式
* 2 L
上面三个最优化问题的一阶条件为：
的概率为 C2(q2)=cHq2 ，以 1 的概率为C2(q2)=cLq2，这里cL< cH。
信息是不对称的：企业2知道自己的成本函数和企业1的成本函 数，企业1知道自己的成本函数，但却只知道企业2边际成本为cH
的概率是 ，边际成本是cL的概率是 1 （企业2可能是新进入这
一行业的企业，也可能刚刚发明一项新的生产技术）。 上述一切都是共同知识：企业1知道企业2享有信息优势，企业2
如果卖方选择一个线性策略，则买方的最优反应也是线性的； 相似地，假设买方的策略是pb( vb)=ab+cbvb，则 pb服从区间[ab,ab+cb] 上的均匀分布。
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双向拍卖: 贝叶斯纳什均衡
如果以下两个条件成立，策略组合 { pb(vb)， ps(vs) } 即为博 弈的贝叶斯纳什均衡，对[0,1]区间内的每一 vb，pb(vb)应满足：
• 亦即，没有参与人愿意改变自己的策略，即使这种 改变只涉及一种类型下的一个行动。
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双向拍卖
Double Auction
在双向拍卖中，买方和卖方对自己的估计是私人信息。
买方对标的商品的估价为vb，卖方的估价为vs，双方的估价都是 私人信息，并且服从[0,1]区间的均匀分布。如果买方以价格 p购得 商品，则可获得 vb- p的效用；如果交易不能进行，买方的效用为0。 如果卖方以价格 p出售商品，则可得到 p – vs的效用；如果交易不能 进行，卖方的效用亦为0。 卖方确定一个卖家 ps，买方同时给出一个买价 pb。如果 pb≥ps，则交易以 p=( ps+pb)/2的价格进行，如果 pb﹤ps ，则不发生 交易。
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双向拍卖: 线性贝叶斯纳什均衡-1
线性策略的贝叶斯纳什均衡条件 • 买家问题
一阶条件
之前，买方的策略为 pb(vb) =ab+cbvb，
因此,
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cb=2/3，ab=as/3。
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双向拍卖: 线性贝叶斯纳什均衡-2
• 卖家问题
一阶条件
之前，卖家的策略为 ps(vs) =as+csvs ， 因此,
件下，企业1的产出为 q1* (a 2c1 c2 ) / 3。然而，与之不同的是，在
* * q2 (cH ) 要高于 (a 2cH c) / 3 ，q2 (cL ) 却低 非完全信息条件下，
于 (a 2cL c) / 3 。 • 之所以会出现这样的情况，是因为企业2不仅根据自己的成本调整 其产出，同时还将考虑企业1的其他情况下自己的最优反应。 – 如果企业2的成本较高，他就会因成本较高而减少产量，但同 时又会生产稍多一些； – 因为企业2知道企业1将根据期望利润最大化原则决定其产出， 这样企业1的产出会低于他知道企业2成本较高时的产量。 Return to outline
和
企业1只有一种可能的收益函数：
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支付函数 vs. 参与人类型
在这样定义参与人的类型之后，说参与人 i知道自己的收益函数也就 等同于说参与人 i知道自己的类型，类似地，说参与人 i可能不确定其他
参与人的收益函数，也就等同于说参与人 i不能确定其他参与人的类型，
我们用 t-i={t1, …,ti-1,ti+1, …,tn}表示，并用 T-i表示 t-i所有可能的值的集合， 用概率 pi( t-i| ti)表示参与人在知道自己的类型是 ti的前提下，对其他参与