杆件的刚度计算

G
d dx
G
d dx
T A dA d A G dA dx
2
τp
d T dx GI p
dA

O
d 2 G A dA dx
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由

d
l
T GI P
dx
d
l


T GI P
4
12
1 . 27 10
12
6
(m )
4
4
32 3 . 14 30 10
4
d
0 . 08 10 2 . 5 10
9 3
6
(m ) 1 . 4 ( /m)
0
1
2
32 180
T1 GI
P1

180

32 180 3 . 14 180 3 . 14
A
L∕2 L∕2
F
B
x
L-2X
x
F／2
F／2
M 0
FL／4
x x
M 0
L-2X
x x
31
FX／2
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
T
T2
T3
T
T2
A
B
C
T3
x
T
T3 T
x
T2 B T
T3 C
A
32
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 二、合理布置梁的支撑
q A
L
q B A
q 8 . 04 N/cm ( 80 . 4 kgf/m ) I 32240 cm
4
27
第二节
材料的弹性模量
梁的变形及刚度计算
E 200 GPa 20 10 N/cm
6 2
因P和q而引起的最大挠度均位 于梁的中点C，由表7-1查得：
Pl
3
y CP


4
55 1000 920
材料力学
第七章 杆件的刚度计算
第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算
第二节 梁的变形及刚度计算 第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
1
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转时的变形
tg
G 1G d dx dx
根据虎克定律：


G

15
第二节
梁的变形及刚度计算
1、挠度与转角
挠度 ：用y 表示。
规定：挠度向上为正， 反之为负。 比如，C 截面的挠度为 yC 转角：用θ 表示。 规定：转角以逆时针为正，
反之为负。
比如，C 截面的转角为 θC
tg
dy dx
,
tg

dy dx
挠度对坐标的一阶 导等于转角
16
第二节
将边界条件代入(c)、(d)得： C 0 ,
D 0
21
第二节
梁的变形及刚度计算
EI y Plx
EIy Pl 2 x
2
（5）确定转角方程和挠度方程
P 2
x C
2
3
将常数 C 和 D 代入(c)、(d)得：
y
1 P 2 Px Plx x (2l x ) EI 2 2 EI
9
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，
已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ②若全轴选同一直径，应为多少 N
2 9
d 1
32 180 T
4

2
G [ ]


4
84 mm
d 2
32 180 T
4

2
G [ ]
4
32 4210 180 3 . 14 80 10 1
2 9
74 .4 mm
综上：
d 1 85 mm
,
d 2
75 mm
28
第二节
梁的变形及刚度计算
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
y
l 500

920 500
1 . 84 cm
将梁的最大挠度与其比较知：
y max 1 . 5 cm 1 . 84 cm y
故刚度符合要求。
29
第二节
梁的变形及刚度计算
课堂练习
30
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 一、合理布置梁的载荷 F
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
24
第二节
梁的变形及刚度计算
直接查表
y BP pl
3
3 EI ql
4
BP
Pl
2
2 EI ql
3
y Bq
8 EI
Bq
6 EI
由叠加法得：
y B y BP y Bq
B BP Bq
pl
2
Pl
3

ql
3
ql
4
3 EI
6 EI
8 EI
2 EI
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m
。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
I P1 IP2
D
32
4

4
3 . 14 60 10
ds dx
2
(x)

d dx

d
y
2
dx
y"
d
2
y
2

M (x) EI
dx
上式称为挠曲线近似微分 方程。根据弯矩正负号的 规定，等式两边符号一致。
18
第二节
梁的变形及刚度计算
3、积分法求梁的变形
挠曲线近似 微分方程 转角公式 挠度公式
y 1 EI M (x) 1 EI y 1 EI
22
3 EI
max
3 EI
第二节
梁的变形及刚度计算
叠加原理、叠加法
当梁上同时作用几个载荷时， 梁的总变形为各个载荷单独作用下
梁的变形的代数和。
前提是小变形、线弹性
23
第二节
教材P163
梁的变形及刚度计算
表7-1
包括：
几种常见梁在简单载荷作用下的变形
梁的简图 挠曲线方程 截面转角 最大挠度
设计计算时可直接查表应用
dx
Tl GI P
0
式中：
GI P ——抗扭刚度
G ——剪切弹性模量
I P ——截面的极惯性矩
T——研究段截面上的扭矩 L——研究段的长度
3
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2、单位长度扭转角：

l T GI P
单位：rad(弧度)
工程中常以 0 / m 为单位来计算，则上式写为：

梁的变形及刚度计算
以A为原点，取直角坐标系，x 轴向右，y轴向上。 （1） 求支座反力 列弯矩方程 由平衡方程得：R A P , M A Pl 列弯矩方程为：M ( x ) M A R A x
Pl Px (a )
（2）列挠曲线近似微分方程
EI y Pl Px (b )
16 T


3
16 7024 3 . 14 70 10
16 4210 3 . 14 70 10
6
6
80 mm
3
16 T


3
67 . 4 mm
由刚度条件得：
Ip
d
32
4

T G [ ]

180
0

11
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
32 7024 180 3 . 14 80 10 1
② 全轴选同一直径时
d d 1 85 mm
12
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。
T
(kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
T G IP

180
0 0

/m
4
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
二、圆轴扭转时的刚度计算

T GI P
或：
T G IP

180
0



精密机器轴：[θ]=0.150～0.500/m 一般传动轴：[θ] =0.500～1.00/m 精度低的轴：[θ] =1.00～2.50/m
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
Ip T G[ ]
max
T
m ax
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
1
N2 B
N3 C
③主动轮与从动轮如何安排合理
解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
m 7.024 N (kN m) n
A
500
T (kNm)
400 x
–7.024
– 4.21
10
第一节
Wt
圆轴扭转时的变形及刚度计算
d1
16
3
T [ ]
d 1
d2
3
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
纯弯曲 1


M EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
非纯弯曲
1
( x )

M ( x ) EI
17
第二节
1
梁的变形及刚度计算
M ( x ) EI
( x )
ds ( x ) d , 且 1
P1
AC AB BC
1 G ( T1 l1 I P1
3 6

T2l2 GI
P2

T2l2 TP 2
)
3
1 80 10
9
(
2 . 5 10 0 . 8 1 . 27 10
1 . 5 10 1 0 . 08 10
6
)
0 . 215 rad
2
P 6
x Cx D
1 Pl 2 P 3 Px y x x (3l x ) EI 2 6 6 EI
（6）求最大转角和最大挠度
B
yB
Pl
2
,即
3

2 EI
Pl ,即 y
max

Pl
2
2 EI
Pl
3
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
y
M
( x ) dx C
M
( x ) dx C dx D

积分常数 或 y 1 M ( x ) dxdx Cx D EI C和D的值可 用数学语言描述：它 通过梁支承处已知的变形条件来 们是弯矩M（x）的函数 确定，这个条件称为边界条件。
19
第二节

80 10 1 . 27 10 1 . 5 10
9 3
6
T2 GI

故 max
80 10 0 . 08 10 P2 0 1 . 4 ( /m)
1
6
1 . 35 ( /m)
0
说明刚度不够
8
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
扭转角为： T1 l1 GI
25
第二节
梁的变形及刚度计算
弯曲构件的刚度条件:
y max y
max
y 许用挠度 许用转角
, 单位 : rad
26
第二节
梁的变形及刚度计算
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形
计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN 由型钢表查得
6
3
48 EI 5 ql
48 20 10 32240 5 8 . 04 920
6 4
1 . 38 cm 0 . 116 cm
y Cq
384 EI
384 20 10 32240
由叠加法，得梁的最大挠度为：
y max y cp y cq 1 . 38 0 . 116 1 . 5 cm
20
第二节
梁的变形及刚度计算
(b )
EI y Pl Px
（3） 积分
EI y Plx
Pl 2
P 2
x C
2
(c )Biblioteka EIy x 2
P 6
x Cx D
3
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0
yA 0
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
x
qL2／50
0 qL2／50
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
尽可能大的弯曲截面系数WZ ,比值WZ／A越大，截面越经