高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法

高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法

线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。

例：要将两种大小不同的

的钢板截成A 、B 、C 三种规

格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15，18，27

且使所用钢板张数最少。

解：设需要截第一种钢板x 张，第二

张钢板y 张，则21521832700

x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪

⎪+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，作出可行

域（如图所示）,目标函数为z x y =+出在一组平行直线x y t +=中（t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线327x y +=和直线215x y +=的交点1839(,

)55A ，直线方程为572

1155

x y +==，由于183955和都不是整数，而最优解(,)x y 中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839

(,)55

A 不是最优解。

经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是

12x y +=且经过的整点是B （3，9）和C （4，8）

，它们都是最优解。 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。两种方法都最少要截两种钢板共12张。

线性规划问题中的整点最优解是教学中的一个难点，教材中利用图解法比较直观有效地突破了这一难点，但其中有两个问题需要弄清楚：直线12x y +=是怎样确定的？整点B （3，9）和C （4，8）又是怎样确定的？

在求最优解时，我们是将平行直线:l x y t +=向可行域内平移，在向右上方平移时，t 的值是增加的，而经过1839(,

)55A 点的直线为572

1155

x y +==，当t 值增加的过程中，其最小值是12，所以与原点距离最近的直线可能是12x y +=。若在可行域内直线12x y +=上有整点则均

是最优解。而直线12x y +=与边界直线215x y +=及327x y +=的交点坐标为（3，9）、（4.5，7.5），因此直线12x y +=在可行域内的整点只有B （3，9）和C （4，8），即为所求问题的最优解。

如果问题更复杂一点该怎么办？下面以课本第71页习题7.4第4题为例介绍最优整数

解问题的求解方法。

某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？

方法一：网格法：设应隔出大房间x 间和小房间y 间(,x y N ∈)，则18151801000600800000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即：6560

534000

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩，目标

函数为540350z x y =⨯+⨯，作出可行域如图：

根据目标函数200150z x y =+，作出一组平行线200150x y t +=。当此线经过直线1815180x y +=和直线

10006008000x y +=的交点2060

(

,)77

A ，此直线方程为130002001507x y +=，由于2060

(,)77

不是整数，所以经过整

点（3，8）时，才是最优解，同时直线上的整点(0,12)也是最优解，即应隔大房间3间，小

房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大。如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间。

对图形的精度要求不高的可以用网格法，实际应用中常利用坐标纸作图；先作出可行域内的网格，再平移目标直线确定最优解。

方法二：整点验证法：找出可行域内靠近非整点最优解一侧边界附近所有的整点:（0，12）、（1，10）、（2，9）、（3，8）、（4，6）、（5，5）、（6，3）、（7，1）、（8，0），分别代入目标函数为540350z x y =⨯+⨯得整点（3，8）和（0，12）是最优解。

当可行域较小、边界附近的整点较少时可以用整点验证法；先找出可行域内非整最优解一侧边界附近所有的整点，再将每个整点代入目标函数确定最优解。当可行域较大、边界附近的整点较多时这种方法运算量较大。

方法三:调整最值法：目标函数为：20015050(43)z x y x y =+=+作出在一组平行直线：43x y t +=（50

z

t =

为参数）,经过2060(

,)77A 的直线方程为2601433777

x y +=＝，目标直线43x y t +=在向可行域内平移的过程中，t 的值是减少的，在减少的过程中因x ，y 都是整数，因而t 也为整数，故最大整数t 可能是37。又因为直线4337x y +=与边界直线5340x y +=和直线

6560x y +=的交点分别为255

(3,

)(,9)32

和，在此两交点间直线4337x y +=上没有整点，因此目标直线不是4337x y +=。须再向可行域内平移一个单位成为4336x y +=。目标直线4336x y +=边界直线5340x y +=和直线6560x y +=的交