线性方程组矩阵消元法

上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件方程 个数与未知量个数相等的线性方程组。科学技术和 经济管理中的许多问题往往可以归结为解一个线性 方程组，一般这样的方程组中方程个数与未知量个 数是不同的， 对这种方程组的研究在理论上和应用 上都具有重要意义，也是本章的主要任务。
本章主要解决两个问题 ：
1 . 线性方程组求解方法 —矩阵消元法及解的结构 。 2 . 为了解决第一个问题, 需要引进 n 维向量的概念，
a2n b2
am1 am2
amn bm
为线性方程组(1) 的 增广矩阵 。请比较系数矩阵与 增广矩阵的相同与不同之处 。
为了讨论线性方程组(1) 的解的情况 ，
只需对增广矩阵 A施以初等行变换 ,不妨假设
A的前 n列中第 j 列的元素不全为零 ,
28
否则, 若 A 的第 j 列的元素a1 j , a2 j am j 均为零 ,则方程组的第 j 个未知量 x j 可以取任意数 ,
11 26
①–②×2
0
0
1
5 2
5 2
5 4
0 0 0 0 0 0
1 0
0 1
0 0
2
5 6
5
3 5
14
5
3 5 26 5
(这种阶梯形矩阵 称为简化阶梯 形矩阵，特点 是 ？)
0 0 1 2 2 4
0
0
0
0
0
0
21
x1
3 5
2 5
x4
3 5
x5
由简化阶梯形矩阵可得
x2
②－①×3 ③－①×2
②－①×3 ③－①×2
x 3x 2x 4
1
2
3
7 x x 1
2
3
5 x 5 x 5
2
3
1 3 2 4 0 7 1 1 0 5 5 5
③× (-1/5)
③× (-1/5) 9
x 3x 2x 4
1
2
3
7 x x 1
2
3
x x 1
2
3
1 3 0 7 0 1
(②, ③ )
③－②×2
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 0 0 0 4
14
由阶梯形矩阵可得对应的阶梯形方程组
x
1
3x 2 x 2
x 3
x 3
x 4
4
6
这是一个矛盾方程组
，
0 4
无解 。
所以原方程组也无解 。
例3 . 解线性方程组
2x1 x2 3x3 4x4 2x5 8
方程组的初等变换具有可逆性 ， 即若方程组 ⑴ 经过方程组的初等变换 变为方程组 ⑵ ，则方程组 ⑵ 必可经过方程组的初等变换 还原 成方程组 ⑴ 。
6
在例 1 的求解过程中 ， 我们只对未知量的系数与常数项进行运算 ，
因此求解过程可以写的更简单 。
线性方程组 ⑴ 可以用下面的矩形数表来表示 ：
x 3x 2x 4
2 4 1 1 1 1
(②, ③)
(②, ③)
x 3 x 2 x 4
1
2
3
x x 1
2
3
1 3 2 4 0 1 1 1
7 x x 1
2
3
0 7 1 1
③+②×7
③+②×7 10
x 3x 2x 4
1
2
3
1 3 2 4
x x 1
2
3
0 1 1 1
符号-3表示第二个方
程减去第一个方程的 3 倍
3
x 3x 2x 4
1
2
3
7 x x 1
2
3
5 x 5 x 5
2
3
(-1/5)
符号(-1/5 )表示第3
的方程乘(-1/5)。
x 3x 2x 4
1
2
3
7 x x 1
2
3
x x 1
2
3
(②,③)
符号(②,③)表示互换第2 ， 第3 两个方程的位置。
由最后一个矩阵可得原方程组的解 ：
x1= 2 ,x2= 0 ,x3= -1 .
(唯一解) 12
在求解未知量个数与方程个数不等的线性方程 组时 ，也可以用上述的矩阵形式 。
x1 3 x2 x3 x4 6
例2 . 解线性方程组 3 x1 x2 5 x3 3 x4 6
2
x1
x2
2 x3
6x 6 3
0 0 6 6
x1 2 , x2 0 , x3 1 .
最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵 ，其特点是 ⑴ 自上而下的各行中 ，每行第一个非零元素
左边零的个数随行数的增加而严格增加 。 ⑵ 元素全为零的行 ( 如果有的话 ) 位于矩阵的下边 。
11
利用矩阵的初等变换,还可以把回代过程 直接表示为如下:
并讨论 n 维向量的 线性关系 。
1
第一节：矩阵消元法
本节主要介绍以下两点
一：矩阵消元法 —— 解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一 。 (引入矩阵及矩阵的初等行，列变换)
二：线性方程组解的情况 —— 初探 。
* 矩阵消元法也被称为高斯消元法 ，但是我国古 代的算书《九章算术》中早已有了许多线性方程组 的应用题 ，而且有了解线性方程组的消元法 ，这 比高斯整整早了一千年 。
4
x 3x 2x 4
1
2
3
x x 1
2
3
7 x x 1
2
3
③+②×7
x 3x 2x 4
1
2
3
x x 1
2
3
6x 6 3
x1 2 , x2 0 , x3 1 .
为 方 程 组1的 解 .
这种形式的线 性方程组一般 称为阶梯形方 程组 , 特点是： 自上而下的各 个方程所含未 知量的个数 依次减少 。
19
1 2 3 4 1 1 ②+③×9
0 5 9 12 4 10 ①–③×3
0 0 0 0
1 0
2 0
2 0
4 0
③×(-1)
1 2 0 2 5 11
0 0
5 0
0 1
6 2
14 2
26 4
②×(-1/5)
0 0 0 0 0
0
20
1 0
2 1
0 0
2 6
5 14
1
2
3
3 x1
2x 2
5x 3
11
2
x
1
x 2
x 3
3
1
1 3
3 2
2 5
4 11
2
2 1 1 3
(它的每一行表示一个方程 )
数表 ⑵ 中的横排称为行 ，纵排称为列 。这样的
三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 ×4 矩阵 ，且称其为线性方程组 ⑴ 的增广矩阵 。
7
对方程组⑴ 施以方程组的初等变换 ，就相当于对 矩阵 ⑵ 的各行施以相应的变换 ，它们都称为矩阵 的初等行变换 。
可以看出只要取定x , x 的值 ,就可以唯一的 45
确定 x , x , x 的值,从而可以得到原方程组的 123
一组解 . 所以原方程组有无穷多解 。
我们称 x , x 为自由未知量 ,为了使未知量
4
5
x , x , x 都能用自由未知量表示 ,
1
2
3
我们继续对阶梯形矩阵(2)进行初等行变换 ，
4 2
1 1
1 3
2 1 4 6 4 12
1 2 3 4 1 1
2 1 3 4 2 3 1 1 2 1
8 3
2 1 4 6 4 12
16
1 2 3 4 1 1
0 5 9 12
0 0
5 5
8 10
10 14
4 2 6
10 6 14
1 2 3 4 1 1
2 x4
8
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 3 ×5 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ，过程
如下 ：
1 3 1 1 6 ②－①× 3
3 1
5
3
6
③－①×2
2 1 2 2 8
13
1 3 1 1 6 0 10 8 0 12 0 5 4 0 4
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 10 8 0 12
我们只要求解剩下的 n 1个未知量就可以了.
为方便起见, 在 A中设 a 0 , 11
将 A 的第一行乘 a i 1
a 11
加到第 i
行上,
i 2 , 3 m . 可以将 A 化为
29
a11
0
0
共有三类 ,
1 互换 i , j 两行. 2 i 行乘数 k 0 . 3 i 行乘数 k 对应加到 j 行上 .
利用矩阵的记号 ，例 1 的消元过程可以写成 如下形式 。
8
x 3x 2x 4
1 3 2 4
1
2
3
3 x1
2x 2
5x 3
11
2
x
1
x 2
x 3
3
3 2
2 1
5 1
11 3
26 5
6 5
x4
14 5
x5
3
x3 4 2x4 2x5
其中 x4 , x5为自由未知量 .
我们称 ⑶ 为原方程组的一般解 ：即用自由未知 量表示其余未知量的表达式 。
22
由上面的例 1 — 例 3 ，可以看出线性方程组可能 无解 ，也可能有解 ，在有解的情况下 ，可能有唯 一解 ，也可能有无穷多解 。
第i 行,第 j 列的交叉处,也称为矩阵的 i , j 元 .
矩阵通常用大写字母A, B来表示 . 有时为了说明矩阵的行数与列数也可以用 Am×n 或 A=(ai j)m×n 来表示一个m×n 矩阵。
定义：对一个矩阵可以施以下述三种变换
25
1 互换某两行 列的位置 . 2 某一行 列 乘非零的数 . 3某一行列的若干倍加到另一行列上 .
定义 ：由数域 F 中的 m n 个数a ij i 1, 2m ; j 1, 2n .
排成的m 行n 列的矩形数表
a11 a21
a12 a22
a1 n a2 n
称为数域F 上的
一个m n矩阵 .
am 1 am 2 am n
24
其中的横排称为矩阵的行 ，纵排称为矩阵的列 。 矩阵中的数 都称为矩阵的元素,元素ai j 表示它位于矩阵的
将矩阵消元法小结如下 ： 1. 写出线性方程组的增广矩阵,一般用 A 表示。 2. 对 A用矩阵的初等行变换化为阶梯形矩阵或 简化
阶梯形矩阵 。 3. 判断线性方程组是否有解 ，有解时，给出相应的解 。
(有无穷多解时，给出一般解。)
23
为了便于讨论一般的线性方程组解的情况 ， 现在引入矩阵的概念。
x1
2 x2
百度文库
3 x3
4 x4
x5
1
3x1 x 1x3 2x4 x5 3
1
2x1 x2 4x3 6x4 4x5 12 15
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 4 ×6 的矩阵)施
以
矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ，
(下2 面我1们给3出简化4过程2) 8
1 3
2 1
3 1
这三种变换中的每一种都称为矩阵的初等行(列) 变换 ，矩阵的初等行变换 ，初等列变换统称为 矩阵的初等变换 。 (具有可逆性)
* 解方程组时，只用其中的初等行变换 。
26
下面考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a2 2
x2
a2n xn
b2
1
am 1x1
am
2
x2
am
n
xn
bm
方程组中未知量的系数可以组成数域 F 上的一
个 m ×n 矩阵
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am 1 am 2 am n
27
矩阵A 称为线性方程组(1)的系数矩阵 ，而称
m ×(n+1) 矩阵
a11 a12
A
a21
a22
a1n b1
5
由原方程组化为阶梯形方程组的过程 称为消元过程 ，而由阶梯形方程组逐次求得各未知 量的过程称为回代过程 。
在求解过程中 ，对方程组反复施行了以下三种 变换 —— 称为方程组的初等变换 。
1. 交换两个方程的位置 。 2. 用一个非零数乘某个方程的两边 。 3. 用一个数乘某个方程加到另一个方程上 。
x3 2x4 2x5 4
其中最后一个方程已化成 ‘ 0 = 0 ’ ，
说明该方程是“多余”的方程 ，不再写出 。
这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式 。
18
x1 2 x2 3 x3 1 4 x4 x5
5 x2 9 x3 10 12 x4 4 x5
x3 4 2x4 2x5
接上面的最后一个阶梯形矩阵
1 3 2 4 1 3 2 4
0 1 1 10 1 1 1
0 0 6 6 0 0 1 1 这个阶梯
1 3 0 2 1 0 0 2
形矩阵 称为简化
0 1 0 0 0 1 0 0 阶梯形
0 0 1 1 0 0 1 1 矩阵 。
2
一：矩阵消元法 .
在中学里 ，我们已经学过用加减消元法 解二 , 三元线性方程组 ， 下面先看一个例子 。
x 3x 2x 4
例 1 . 解线性方程组
1
2
3
3 x1
2x 2
5x 3
11
1
2
x
1
x 2
x 3
3
x 3x 2x 4
1
2
3
解
： 3 x 1
2x 2
5x 3
11
1
2
x
1
x 2
x 3
3
-3 -2
0
0 0
5 0 0
9 1 1
12 2 2
4 2 2
10 4 4
17
1 2 3 4 1 1
0 0
5 0
9 1
12 2
4 2
10 4
2
0 0 0 0 0 0
阶梯形矩阵 ， 它对应的阶梯 形方程组为
x1 2 x2 3 x3 4 x4 x5 1
5x2 9x3 12x4 4x5 10