微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数

C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函 数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固 定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求 该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额 按一定比例计算出来的。 主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据， 且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票 据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票 据金额
R1
1 Rn n (1 r )
n年后到 期的票 据金额
贴现 因子
例2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是 500元，两年后到期的是800元，五年后到期的是2000元， 已知银行的贴现率为6%，现在将三张票据向银行做一次性 转让，银行的贴现金额是多少？
R5 R2 p 2 5 (1 r ) (1 r ) (1 r ) R1
r s p (1 n ) p (1 r ) n
即年末本利和与支付利息的次数无关。
复利付息情形：
每次付息计入本金，故年末本利和与支付利息的次数有关
r m s p (1 ) m
而第n年末的本利和为
即随着次数m的增大而增大。
r mn s p (1 ) m
三、贴现
为在票据到期以前获得资金，票据的持有人从票面金额中 扣除未到期的利息后，得到剩余金额的现金称为贴现。 由复利计算公式：
当P=30时，最大利润L=90000，销售量为x=-900×30+45000=18000
500 800 2000 p 2678.21 （元） 2 5 (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06)
四、需求函数
需求函数Q 是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种 可能的购买量和决定这些购买量的诸多因素之间的数量关系
Q f P
反之
P为价格 称为价格函数，习惯上也称 为需求函数
p rp rp p (1 2r )
……
s n p (1 nr )
复利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1
第二年未本利和：
p rp p (1 r )
2
s 2 p 1 r rp (1 r ) p (1 r )
C x 150 16x C x , x x
例6 （略）
八、收入函数与利润函数
收入函数：R=P·x 利润函数：L=R-C
当L=R-C >0时，生产者盈利； 当L=R-C <0时，生产者亏损； 当L=R-C =0时，生产者盈亏平衡，x0称为盈亏平衡点，也称 保本点；
例7 （略）。
当x=800时，
800 P 170 154 50
七、成本函数
产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费 用支出，成本函数表示费用总额与产量（或销售量）之间的 依赖关系，产品成本可分为固定成本和变动成本两部分。 称为成本函数。当x=0时，C(0)就是产品的固定成本值。
C C x , x 0
P f
1
Q
例如:
Qd aP b (a 0, b 0)
称为线性需求函数
五、供给函数
供给函数S 是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种 可能的供给量和决定这些供给量的诸多因素之间的数量关系
S f P
P为价格
若供给函数以列表方式给出进称为供给表，而供给函数的图 形称为供给曲线。一般商品供给量随价格上涨而增加，随价 格下降而减少。 例如: Q cP d (c 0)
…… 第n年未本利和： ……
n
s n p (1 r )
例1 现在本金为100元，若银行储蓄年利率为7%，问： （1）按单利计算，3年末的本利和为多少？ （2）按复利计算，3年末的本利和为多少？ （3）按复利计算，需要多少年才能使本利和为多少超过初始 本金一倍？ 解： (1)s
1
p rp 100(1 3 7%) 121
s
称为线性供给函数
六、市场均衡
市场均衡 如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市 场均衡
例如:
d b Qd Qs , aP b cP d ,P P0 a c
这个P0年称为市场均衡价格
市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横 坐标，当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象， 而当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象。
例8 某电器厂生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成 本而定，还要请各消费单位来出价，即他们愿意以什么价格 来购买。根据调查得出需求函数为
x 900P 45000
该厂生产该产品的固定成本是270000元，而单位产品的变 动成本为10元，为获得最大利润，出厂价格应为多少？
解 以x表示产量，C表示成本，P为价格，则有
3 3
n n
(2)s 2 p (1 r ) 100(1 7%) 122.5
(3)s n p (1 r ) 2p , (1.07) 2, ln2 n 10.2 ln1.07
二、多次付息（每年多次付息，）
单利付息情形： 每次付息不计入本金，设每年分n次付息，则年末本利和为：
例4 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给 零售商，在这个基础上零售商每次多进100台电扇，则批发 价相应降低2元，批发商最大批发量为每次1000台，试将电 扇批发价格表示为批发量的函数，并求零售商每次进800台 电扇时的价格。
2 x P 160 x 500 170 100 50
当市场均衡时，有 Qd Qs Q 0 称Q0为市场均衡数量
例3 某种商品的供给函数和需求函数分别为
Qs 25P 10,Qd 200 5P
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量。
Qs Qd 25P 10 200 5P P P0 7
Q0 25P0 10 165