曲面的方程
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一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序
三数组 ,,u 叫做空间点 M 的柱坐标或称半极坐标，记做
M ,,u .
• 空间 (x, y, z) 的直角坐标与柱坐标 (,, ) 关系如下：
x cos
y
sin
z
0,
数方程也可写成
x xu,v,
y
y
u,v,
z z u, v.
（2.2－6）
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
化普通方程
F
x,
y,
z
0 为参数方程
y
y
u,v,
一般按下列三个步骤进行：
• 反过来，有关系
x2 y2 z2,
cos
x
, sin
x2 y2
arcsin
z
x2 y2 z2
y x2 y2
三、球坐标系与柱坐标系
2.柱坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
2.柱坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 ,,u 建 立了一一对应的关系，这里 0, , u ，这种
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
r
ur
uur
ur
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
二、曲面的参数方程
r
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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返回
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
返回
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上方法称为截痕法.
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返回
二、曲面的参数方程
定义 2.2.2 如果取 u,va u b,c v d 的一切可能取的值，由
r
ur
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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返回
由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z
z
u,
v
,
1）根据普通方程 F x, y, z 0 或它所表示的图形特征选取适当的参数 u,v ；
2）找出中 x, y, z 的两个与参数 u,v 的关系式，如 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]；
3）把关系式 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]代入 F x, y, z 0 ，然后 解出 z z u,v .
上的点的坐标；
②曲面 上的任何一点的坐标 x, y, z 满足方程 F x, y, z 0 或 z f x, y ， 那么方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 就叫做曲面 的方程，而曲 面 叫做方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 的图形.
《解析几何》
－Chapter 2
§2 曲面的方程
Contents
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 与一个曲面
有着关系：
①满足方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 的 x, y, z 是曲面
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3,
r
表示的向径 r u,v 的终点 M 总在一个曲面上；
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径，
而这向径可由 u,v 的值 a u b,c v d 通过
r
ur
uur
这里的 0, , .
2
2
• 空间中点 (x, y, z) 的直角坐标与球坐标 (,,)关系为:
x cos cos, 0,
y coa sin, z sin ,
,
2
2
,
反过来，又有
x2 y2 ,
cos
x
,sin
x2 y2
z
y, x2 y2
• 作业 P87 1, 2(2)3(3)6(1)
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 ,, 建
立了一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐标
系，或称空间极坐标系，并把有序三数组 ,, 叫做空间点 M 的
球坐标或称空间极坐标，记做 M ,, ，
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.
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x
22
y
12
Βιβλιοθήκη Baidu
z
42
116 .
3
3 9
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返回
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程. 解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
三数组 ,,u 叫做空间点 M 的柱坐标或称半极坐标，记做
M ,,u .
• 空间 (x, y, z) 的直角坐标与柱坐标 (,, ) 关系如下：
x cos
y
sin
z
0,
数方程也可写成
x xu,v,
y
y
u,v,
z z u, v.
（2.2－6）
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
化普通方程
F
x,
y,
z
0 为参数方程
y
y
u,v,
一般按下列三个步骤进行：
• 反过来，有关系
x2 y2 z2,
cos
x
, sin
x2 y2
arcsin
z
x2 y2 z2
y x2 y2
三、球坐标系与柱坐标系
2.柱坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
2.柱坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 ,,u 建 立了一一对应的关系，这里 0, , u ，这种
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
r
ur
uur
ur
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
二、曲面的参数方程
r
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
返回
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上方法称为截痕法.
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二、曲面的参数方程
定义 2.2.2 如果取 u,va u b,c v d 的一切可能取的值，由
r
ur
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z
z
u,
v
,
1）根据普通方程 F x, y, z 0 或它所表示的图形特征选取适当的参数 u,v ；
2）找出中 x, y, z 的两个与参数 u,v 的关系式，如 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]；
3）把关系式 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]代入 F x, y, z 0 ，然后 解出 z z u,v .
上的点的坐标；
②曲面 上的任何一点的坐标 x, y, z 满足方程 F x, y, z 0 或 z f x, y ， 那么方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 就叫做曲面 的方程，而曲 面 叫做方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 的图形.
《解析几何》
－Chapter 2
§2 曲面的方程
Contents
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 与一个曲面
有着关系：
①满足方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 的 x, y, z 是曲面
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3,
r
表示的向径 r u,v 的终点 M 总在一个曲面上；
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径，
而这向径可由 u,v 的值 a u b,c v d 通过
r
ur
uur
这里的 0, , .
2
2
• 空间中点 (x, y, z) 的直角坐标与球坐标 (,,)关系为:
x cos cos, 0,
y coa sin, z sin ,
,
2
2
,
反过来，又有
x2 y2 ,
cos
x
,sin
x2 y2
z
y, x2 y2
• 作业 P87 1, 2(2)3(3)6(1)
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 ,, 建
立了一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐标
系，或称空间极坐标系，并把有序三数组 ,, 叫做空间点 M 的
球坐标或称空间极坐标，记做 M ,, ，
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.
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22
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12
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z
42
116 .
3
3 9
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例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程. 解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2