化工应用数学-常微分方程数值解-欧拉

2020/6/19
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例1：在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三
个组分浓度分别为C1、C2和C3。当系统在特定频率
光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。
k1C1
k3C22
C1 C2 C3
k2C2C3
此问题可归结为常微分方程组初值问题：
dC1 dt
k1C1 k2C2C3
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通常，评价一个方法为P阶精度，是指其局部截断误 差为h的(P+1)阶无穷小。显然，显示欧拉公式是1阶 精度。 并且，截断误差与步长有关，当步长足够小时，可使 近似解更接近准确解。
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收敛性与稳定性
对于一个给定的微分方程， 若没有舍入误差， 当步长h趋向于零时， 方程的数值解逼近于精确解时， 则称所采用的数值方法是收敛的。
dC2 dt
k1C1 k2C2C3 k3C22
dC3 dt
k3C22
初值条件：C1(0) C0 , C2 (0) C3 (0) 0
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常微分方程的初值问题
y' f (x, y)(a＜x＜b)
y(a) y0
首先把[a, b]区间分成n等份，即 h b a
n
xi a hi(i 0,1, , n)
xi称为等距节点 所谓数值解，就是求取微分方程
h为步长
满足定解条件下函数在节点x0＜
x1＜ x2＜ …… ＜ xn上近似值u0、u1、
u2 …… un
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显式欧拉法
y' f (x, y)(a＜x＜b)
y(a) y0
泰勒公式：
xi+1-xi=h
xi+1-xi=h
y( xi1)
y( xi ) ( xi1 xi ) y' ( xi ) ( xi1 xi )2 y'' (i )
0!
ห้องสมุดไป่ตู้
1!
2!
（xi i
y( xi1 )
xi
）
1
y(xi )
hf
(xi ,
y( xi
))
h2
f
' (i ,
2
y(i
))
取其前两项，并用 ui y(xi )就得到最
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隐式欧拉法
uui01yu0 i
hf (xi1, ui1) i 0,1,2, , n
1
方程两边都包含着ui+1，故称为隐式欧拉法
迭代法求解
u（k 1） i1
ui
hf
( xi1, uik1 )
隐式欧拉法是绝对稳定的，或称无条件稳定，但不幸 的是它只有一阶精度。
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梯形法
显式欧拉法：ui1 ui hf (xi , ui ) 隐式欧拉法：ui1 ui hf (xi1, ui1)
梯形法：
h
ui 1
ui
[f 2
(xi , ui )
f
(xi1, ui1)]
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梯形法迭代求解：
u k 1 i1
ui
h 2
[
f
uui01yu0 i
hf (xi , ui ) i 0,1,2,
,n
1
简单的数值方法公式显： 示欧拉公式
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欧拉公式几何意义：假设
y=y(x)是初值问题的解曲线x0
点处的切线斜率为f(x0, y0)，也
可近似为 y1 y0 y1 y0
x1 x0
h
欧拉法又称折线法
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对于常微分方程初值问题，只有初始点u0=x0，故 第一步 e1 u1 y(x1) 0(h2 ) 而随后的任何一步不仅有局部阶段误差，而且还包含 前面各步的误差的积累。因此，有必要估计局部截断 误差引起的显示欧拉公式总误差。 显式欧拉公式数值解的总误差为h的一阶无穷小，比 局部截断误差小一阶。
常微分方程数值解
什么是常微分方程
微分方程是包含一个未知函数及其导数关系的方程， 其中只包含一个自变量的导数的方程叫作常微分方程。 通过对微分方程找出未知函数，即为求解微分方程。
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常微分方程应用场合
化学工程中需要求解常微分方程的场合：
✓扩散； ✓反应； ✓传质； ✓传热； ✓流体流动等
( xi
, ui
)
f
(
xi
1
,
u
k
i1
)]
计算量大
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改造的欧拉公式——预测-校正系统
显式欧拉法： ui1 ui hf ( xi , ui )
梯形法：ui1
ui
h 2
[
f
(
xi
,
ui
)
f ( xi1, ui1)]
~
预测：ui1 ui hf ( xi , ui )
y1 y0 x1 x0
y1 y0 h
f ( x0 , y0 )
y1 hf ( x0 , y0 ) y0 P1
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显式欧拉法的误差
假定ui的值是精确的，那么采用显示欧拉公式计算出
来的ui+1的值也存在误差。ui1 ui hf ( xi , ui )
泰勒公式：
校正：ui1
ui
h 2
[
f
( xi
,
ui
)
~
f ( xi1, u i1 )]
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习题
用显式欧拉法求解，取 h 0.1，解4步 y' 2 yx 4 y(0) 0.2
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收敛性与稳定性
考察一个算法是否适用于给定的微分方程， 除了收敛性外， 稳定性是一个决定算法实用价值的重要特征。 所谓稳定性是指当步长h确定后，随着步数的增加， 计算中积累的误差会不会超出所允许的范围。
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显式欧拉公式方法简单，精度不高，稳定性也受到一 定限制，有时为了达到较高精度或满足稳定性需求， 只能取很小的步长，而步长太小就增加了计算时间和 经费，有时甚至要求步长小到不能采用的程度。因此， 为了提高计算方法的精度和稳定性，还需要引入其他 计算方法。
y( xi1)
y( xi ) ( xi1 xi ) y' ( xi ) ( xi1 xi )2 y'' (i )
0!
1!
2!
（xi i
y( xi1 )
xi
）
1
y(xi )
hf
( xi
,
y( xi
))
h2
f
' (i ,
2
y(i
))
局部截断误差：ei1 ui1 y(xi1) 是h的二阶无穷小