高中数学《圆的一般方程》课件
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(1)x2 y2 4x 6 y 12 0
(2)4x2 4 y2 8x 4 y 15 0
(1)圆心 (-2, 3) ，半径5
（2）圆心（1，- 1），半径 5 2
例2：求过点（—1，1），且圆心与已知圆
相同 x2 y2 4x 6 y 3 0
的圆的方程
(x 2)2 + ( y + 3)2 = 25
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
例4:求圆心在C(1， 2)，半径为2 5 的圆被x 轴所截得的弦长 .
法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，
令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8.
法2(几何法) 根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求(这里，弦心距 等于圆心C的纵坐标的绝对值)．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
D 4
72 (3)2 7D 3E F 0
E
6
22
82
2D
8E
F
0
F 12
所求圆的方程为
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 (y 3)2 25
例4：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) ，端点
一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2 上一点M(x0，y0)的切线方程为
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段 AB
中点 M 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？
解：设M(x,y),则A(2x-4,2y-3)
由已知将点A坐标代入圆方程得：
（2x-4+1)2+(2y-3)2=4
化简得： x
3
2
y
3
2
1
2 2
该关系表示圆
例5：已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经 过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1)x2 y2 4x 6 y 4 0
(x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方
程
方法一：
y
A(5,1)
ຫໍສະໝຸດ Baidu几何方法
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
求 半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
(2)4x2 4 y2 8x 4 y 15 0
(1)圆心 (-2, 3) ，半径5
（2）圆心（1，- 1），半径 5 2
例2：求过点（—1，1），且圆心与已知圆
相同 x2 y2 4x 6 y 3 0
的圆的方程
(x 2)2 + ( y + 3)2 = 25
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
例4:求圆心在C(1， 2)，半径为2 5 的圆被x 轴所截得的弦长 .
法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，
令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8.
法2(几何法) 根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求(这里，弦心距 等于圆心C的纵坐标的绝对值)．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
D 4
72 (3)2 7D 3E F 0
E
6
22
82
2D
8E
F
0
F 12
所求圆的方程为
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 (y 3)2 25
例4：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) ，端点
一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2 上一点M(x0，y0)的切线方程为
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段 AB
中点 M 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？
解：设M(x,y),则A(2x-4,2y-3)
由已知将点A坐标代入圆方程得：
（2x-4+1)2+(2y-3)2=4
化简得： x
3
2
y
3
2
1
2 2
该关系表示圆
例5：已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经 过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1)x2 y2 4x 6 y 4 0
(x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方
程
方法一：
y
A(5,1)
ຫໍສະໝຸດ Baidu几何方法
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
求 半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）