1.1.1 正弦定理优秀课件
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300
b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° A .
B1
B
当 Ｂ＝60°时， C=90°, c பைடு நூலகம்32;
a sin C 16 . 当Ｂ＝120°时， C=30°, c sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.
第一章:解三角形
1.问题引入:
. (1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问 , 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 A ?
B
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
2 a : b : c sin A :sin B :sin C.
6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状， 其作用是实现三角形边角关系的转化.
1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A 30 , B 135 , a 2 ,
0 0
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 解三角形
解：由正弦定理
a b sin A sin B
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
16 3
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和 它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫解三角形.
剖析定理、加深理解
5、正弦定理的变形形式：
a sin A a sin A b sin B , , ; 1 b sin B c sin C c sin C
c si nB 10si n105 b 5( 6 si nC si n30 1 S ABC bc sin A 2
2)
1 5( 6 2 ) 10 sin 45 2
25( 3 1)
作业：
P10 A组 1（1），2（1） B组 1
补充：
例：已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, SABC .
（）已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, SABC . 2
b c 解： , sin B sin C
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
0
无解
探究课题引入时问题(2)的解决方法
如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
C＝69 °，求AB。
A. B . .C
a
解：A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
在 ABC中，由正弦定理得：
a = AB sinA sinC sin69° ≈48.4(m) sinC = 48.1· ∴AB= a· sin68 ° sinA
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理 • 主要应用
a b c sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
课后探究: （1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？ a b c 若 k， （2） sin A sin B sin C 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
b c sin B sin C a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b
a
D A
B
c
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD a sin B, CD b sin A 所以 a sin B b sin A A B D a b c 得到
sin A sin B 同理, AE BC .有 作
13 sin 25.7 30
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450 , a 2, b 2, 求B
B=300
10 3 (2)在ABC中，已知A 60 , a 4, b , 求B 3
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30
C
26
30
A
300
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
0, c a sin C 49.57 C=124.3 sin A
B
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图）
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;
2、大角对大边，大边对大角.
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
1.1.1 正弦定理
A
2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a b sin A c b sin C 两等式间有联系吗？
a c b sin A sin C
sin B 1
c b C
B
a
a b c sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° A .
B1
B
当 Ｂ＝60°时， C=90°, c பைடு நூலகம்32;
a sin C 16 . 当Ｂ＝120°时， C=30°, c sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.
第一章:解三角形
1.问题引入:
. (1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问 , 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 A ?
B
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
2 a : b : c sin A :sin B :sin C.
6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状， 其作用是实现三角形边角关系的转化.
1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A 30 , B 135 , a 2 ,
0 0
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 解三角形
解：由正弦定理
a b sin A sin B
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
16 3
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和 它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫解三角形.
剖析定理、加深理解
5、正弦定理的变形形式：
a sin A a sin A b sin B , , ; 1 b sin B c sin C c sin C
c si nB 10si n105 b 5( 6 si nC si n30 1 S ABC bc sin A 2
2)
1 5( 6 2 ) 10 sin 45 2
25( 3 1)
作业：
P10 A组 1（1），2（1） B组 1
补充：
例：已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, SABC .
（）已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, SABC . 2
b c 解： , sin B sin C
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
0
无解
探究课题引入时问题(2)的解决方法
如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
C＝69 °，求AB。
A. B . .C
a
解：A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
在 ABC中，由正弦定理得：
a = AB sinA sinC sin69° ≈48.4(m) sinC = 48.1· ∴AB= a· sin68 ° sinA
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理 • 主要应用
a b c sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
课后探究: （1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？ a b c 若 k， （2） sin A sin B sin C 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
b c sin B sin C a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b
a
D A
B
c
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD a sin B, CD b sin A 所以 a sin B b sin A A B D a b c 得到
sin A sin B 同理, AE BC .有 作
13 sin 25.7 30
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450 , a 2, b 2, 求B
B=300
10 3 (2)在ABC中，已知A 60 , a 4, b , 求B 3
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30
C
26
30
A
300
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
0, c a sin C 49.57 C=124.3 sin A
B
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图）
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;
2、大角对大边，大边对大角.
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
1.1.1 正弦定理
A
2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a b sin A c b sin C 两等式间有联系吗？
a c b sin A sin C
sin B 1
c b C
B
a
a b c sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?