21世纪数学展望.pdf[1]

分析时， 炸开（ｌ ｉ ｕ ） ｂ ｗｎ ｐ 分析是一个很重要的工具 ， ｏ ｇ
而这 种 炸 开 的工 具 亦 是 代 数 几 何 中最 有 效 的工 具 。
在非线性微分方程中，我们需要更进一步地做定
性和定量 的分析来研究 由炸开得 出来 的结果 ，因此对 不同能标 的量 得 到进 一 步 的认识 。
ｌ ） ｆ ｗ 可能解决瑟斯顿 的猜想 。 ｏ
弦理 论 企 图统 一 重力 场 和其 他 所 有 场 。在 ２ 世 １
纪， 基本数 学会遇 到 同样 的挑 战 ： 基本数 学 的大统一 ， 只有在各 门分支大统一 时 ，所有分支才会放 出灿烂 的 火花 ， 每一 门学 问才会得到本质上 的了解 。 数学的大统一将会 比物理的大统一来得基本 ， 也 将 由统一 场论孕 育而 出 。近代 弦论 的发展 已经成 功地 将微分 几何 、 代数几何 、 表示理 论 、 群 数论 、 扑学相 当 拓 重要 的部分统一起来 。 数学 已经 由此得到丰富的果实 。 大 自然提供 了极为重要 的数学模型 ，以上很多模型都 是从 物理直觉或从实验观察 出来 的 ， 但是数 学家却 可
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数学与其他科学之间的关系 在 ２ 世纪的今天， １ 数学在社会、 工程、 物理中有着越来越广泛的应用。
形将 会有更 彻底 的理解 。我们希 望霍奇猜 测会 得 到 圆
里 能够 指 出今 后 数 学 发 展 的一 些 线 索 。
以用 自己的想象 ， 在观察 的基础上创造新 的结构 。 成 功 的新 的数 学结构往往是 几代 数学家共 同努力 得 出的成果 ，也往往是数学 中几个不 同分支合并 出来
的火 花 。
由希腊数学家发展欧 氏几何 的公 理 系统开始 ， 人 类对严谨 的三段论证方法才有实体 的认识 ， 影响所及 ， 凡是需要推理的学 问都与数学有关 ，推理的学 问可分 物理科 学 、 工程科 学和社会 科学 。 数学和工程科学乃是社会科学的基础 ，理论物理 乃是工程科学 的基础 ， 数学乃是理论物理 的基础 。 人类科技愈进步愈能发现新现象 ，种种繁复现象
牛
计算 ， 程序 卜
理论 ， 模型
高的能量时 ， 超对称确实存在 ， 但如何看待超对称在现 实时空 中的残余 ，应当会是现代应用 物理和应用数学
的一个 重 要命 题 。 举例来说 在超对称 的结构 中 ， ， 规范场和电磁场会
、
应用
预 测 制
控 化
优 真
仿 计
设
与完全不相关 的子流形理论 同构 ，是否意味着这种 日 常能见的场论可 以用不 同的手法来处理 ？ 种种不 同的现象显示 ， 弦论 、 几何 、 群表示 理论逐 渐会与算术几何接 近 。在所谓 阿拉克 洛夫 （ ｒｋｌ ） Ａ ａｅ ｖ ｏ
几何和数字 （ 尤其是整数 ） 可说是数学里最直观 的对象 ， 因此在大统一 中起着最要 紧的作用 。２ ０世纪
的数论 学家通过 代数几何 的方 法 已经将 整数方程 的一
部分与几何结合 ，群表示理论亦逐渐与数论和几何学 结合 。每次进步都有结构性 的变化 ，例如算术几何 的
产生 。
使人极度迷惘 （ ： 例如 湍流问题、 黑洞问题） 。但是主宰
题 。在统计物理和高能物理 中 ，用 到所谓重正化群
（ｏ ｏ ｈ ） ｉ ｍ ｒ ｉ 然而能标刚好相反 ｓ ｐｃ
（ １ Ｒ－ ／ Ｒ）
因此一个强祸合常数（ ｕｌｇ ｓ ｎ） ｃ ｐｎ ｃｎｔ ｔ的理论可 ｏ ｉ ｏ ａ
以同另一个弱藕合常数 的理论 同构 ，而后者可 以从渐 近分析理论来计算 。 由于Ｒ ／ １ 这种 奇妙 的对 称可 以保 持量 子场论 的 － Ｒ
２ 世 纪基本 科 学 的基本命 题 ： １ 如何将 对 称 的物理
基本现象与非对称 的世界联合 ？对称破缺 （ ｍ ｅ ｓ ｍｔ ｙ ｙ ｒ
ｂｅｋ ｇ ， ｒ ｉ ）众生色相， ａｎ 何由而生？ 基本的物理定律是时间对称 （ｍ ｓｍ ｅ ｉ） ， ｔ ｅ ｍ ｔｃ 的 ｉ ｙ ｒ
现在举一个理论物理 、数学和应用科学上的共 同 而重要的问题 ： 基本物理上的分级（ｉａ ｈ ） ｈ ｒ ｃｙ问题 ， ｅｒ 是
能标的影响。 当一个图 ｇ ｐ） （ａｈ 逼近一个几何图形或微分方程 ｒ 的解时 ， 多重尺度分析极为重要 ， 如何解决这些问题无 论在纯数学和应用数学都是重要的问题 ，我希望研究
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Ｍ撇安狱： 豁 执黔 壑岔执 、Ｃ钉 巍 孰 言 减淤，
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世／ 的数学 展望 纪
． 丘成桐
在新世纪开始 ，全世界科学家对这个新时代 的来 临 ，有着无 比的兴奋 ，期待着人类有史 以来最新 的发 现 。数学是所有推理学 问的基础 ，我希望在这个演讲
时 间 的箭 头 在 广 义 相 对 论 中是 一 个 重 要 的题 目。
概率， 随机分析
彭罗斯（ ． ｎ ｓ） ＲＰ ｒ ｅ和霍金（． ｋ ｇ都花了很多时 ｅｏ ５ Ｈｗ ｉ ） ａ ｎ
动力系统
几何（ 图像处理， 压缩）
间讨论 。 这是 因为爱 因斯坦方程对时间来说是对称 的 ， 然 而在现 实世界 ， 间是 不对称 的 。 时 嫡 的研究在现 代物理 和现 代数学都 起 了极重要 的 作用 。湍流的问题 ， 将是其 中一个例子 。
（ ｎｒａｚ ｉ ｇ ｕ ） ｒ ｏ ｌａｏ ｒ ｐ 的方法 ， ｅ ｍ ｉ ｔｎ ｏ 是非稳定系统的一个
重要 工具 。
如何 用 基 本 的方 法去处理 不 同能标是 应用数 学 中
一个重要 问题 。纯数学将会是处理不 同度量 的主要工 具 。而事实上 ， 纯数学本身亦有不 同度量 的问题 。
－ 数学在工业上的应用
有基本 贡献 。
世 纪 的一 个 重 要 命 题 。
１ 对 偶 比对 称 更 广 义 不 同理 论 的 基 本 同构 将 是 ２
理论 中， 除了在复数上定义的代数空间外 ， 还需要考虑 特征为Ｐ的代数空间，才能够对算术空间有完满的了
对称的观念可说是基本科学中最基本的工具 ， 但 是“ 运用之妙 ， 存乎一心 ”在于作者的经验和直觉 。 ，
数学提供应用数学几个重要工具
解， 是否表示它们能够帮助我们 了解现实世界的问题？ 由镜对称的观点来看 ，数论上的 Ｌ函数和伯奇一 斯温
纳 顿一 尔 猜 测 有 没 有 其他 解 释 ？ 戴
流体力学中的奇异点和边界层（ｏｎａ ｅ） （ ｕｄｒｌ ｒ ｂ ｙａ 都 ｙ
需要大量 的理论投人 ，需不需要引力场方程来帮忙解 释？ 在某种意义下 ， 基本的方程式或基本 的物理现象 用数学形式表达 出来 时 ，是用等式来表达 。但往往在 彻底研究这种等式 以前 ， 不等式会产生 ， 同时起着无 比 的重要性 。 波浪的重叠 最后产生的可以是极为光滑的波。 ， 如 何 控制这 种现象要依靠 好 的不 等式 。也是一切分析和
所有 现象 变化 的只是 几个小 数 的基本定 律 。标 准模 型
统一 了三个基本场 ： 电磁场 、 弱力 、 强力 ， 但是重力场和 这 三个场 还未统 一 。 重力场 由广义相对论描述 ，是狭义相对论和牛顿
在这２ 年 间 ， ０ 拓扑学和几何 已经融合 。 三维空间和 四维空间的研究非懂几何不可。 瑟斯顿 （ｈ ｒ ｏ ） Ｔ ｕｓ ｎ 的猜 ｔ 测， 是在三维空间上引用几何结构 ， 这些创作新结构的 理论有划时代 的重要性 ，正等如 １世纪引用黎曼 曲面 ９
上 的观念 的改 变能标 。极 小 的空间不再 有意义 。时 空 的量子化描述需要更进一步 的探讨 。物理学家和几何 学 家 都 希 望 能 够 找 寻一 个 几 何 结 构 来 描 述 这 个 量 子 化
微分几何的张量分析 （ 曲率张量） 在多重尺度
２｝ 学 ｝０６ 月（８ 期） 科 ２０年３ ５卷２
满 的解决 ，从 而得知一个拓扑子流形什么时候可 以由 代数子流形来表示 。同样 的问题也适 用 于 向量丛上 。 由弦理论得到的启示 ， 有些特殊 的子流形或可代替代
数 流形 。
（ ｕｔｃｌ） ｍ ｌｓａ 分析 中应该会有重要 的应用 ， ｉ ｅ 因为 即使在 同一点上 ， 有不 同方 向的变化 ， 而此种变化亦应 当受到
的空 间。 有不少学者建议用矩阵模式来解释这种现象 ， 虽 然未 能达到 目标但 已得 到美妙 的数学 现象 。 约在 ２０年前 ，高斯发现高斯 曲率 的观念而理解 ０
．． 日 刹 ． 两 ．
到 内蕴几何时 ， 就感叹空 间的观念 与时而变 ， 和人类对 大 自然的了解有密切 的关系。 这２ ， ０年来 超对称 的观念深深地影响着基本物理 和数学的发展 ， 在实验上虽然 尚未发现超对称 ， 但在数 学上却起着凝 聚各 门分支 的能力 ，我们宁可相信在极
离 Байду номын сангаас 数 学 的学 者 亦 注 意 到 这 一 点 。 近 代 弦论 发 现 有 不 同 的量 子 场 论 可 以互 相 同构
一个熊标（ ａ ） ｓ ｌ 的问题。引力场和其他力场的能标相 ｃｅ
微 分 几何 和各类 分 析 中亦 有 不 同能标 如何 融合 的问
差 遨，何 一， 何 释？ 古 物 微 方 极 如 统 如 解 在 典 理、分 程、
在微分 方 程 或 微 分 几 何 遇 到奇 异 点 或 在 研 究 渐 近
结构 ， 使得我们可以用扰动性（ｅｔ ｂｔｎ ｌ ｉ 的 ｐｒ ｒａｏ ａａ ｓ ） ｕ ｉ ｎ ｙｓ
方法去计算非扰动的场论 ， 在数学上得到惊人的结果。
更要 注意 到 的一 点 是 时空 的结 构 可 能 因此 有 基本
的概 念 一 样 重 要 。
力学的 统一理论而形成的， 这是爱因 斯坦最富有想象
力 的伟 大创 作 。爱 因斯 坦方 程是
分析和几何亦逐渐融合 ， 目前为止 ， 到 微分方程在 复几何和拓扑学上有杰 出的贡献 。 通过分析方法 ， 陈氏 类、 霍奇理论 、 阿蒂亚一 辛格指标定理和我们 在复流形
在 自然 界 中 普 遍 存
工业问题， 科学观察实验
在， 小群（ 如镜对称 ，
雪花 的对称 ） 、连续
群（ 又称李群 ， 物理 上用途） 、非紧离散
群（ 在数论和几何上 的用途 ） 以及无 限维 对 称 （ 范场 中 的规 规 范群 ） 。种种不 同对 称 的观念在 ２ ０世 纪
后半期 的理论科学
统计， 分析处理
分 析将 会 对 四维 拓 扑 有 更 深 人 的 了解 。
在 ２ 世纪的数学里 ， １ 三维 的双 曲空 间会变得如黎 曼 曲面一样重要 ，数学会进人一个尽情享受低维空间 特殊性质 的局面 ， 在代数几何上 ， 维 、 二 三维和 四维 流 ｗ ｗ ｅ ｅａｃ 科学 ｛ ｗ ．ｘ ｍｇｏ ｋ ｕ ．ｍ｛ １
为何 我们担忧 时光消逝 ？ 因为直观世界是 时间对称 的。
由时间对称的定律来解 释直观世界是现代数学和物理
的一个 重 要 问题 。
研究应用数学的方法
微分方程
热力学第二基本定律说 ， 随机性 （ａｄｍ ｅｓ ｒｎ ｏ ｎｓ）随 时间而增 ， 嫡随时间而增 。 这是一个奇妙的定理 ， 到如今还未得到彻底了解。
上构造 爱 Ｒ－ １ｇ Ｔ 的凯勒一 因斯坦度量 ，在代数几何 中解决了 ｙＲ２ ｝ ｙ （ ）＝ 重要的问题。最近哈密顿 （ａ ｉｏ）的里奇流（ｉ ｉ Ｈ ｍｌｎ ｔ Ｒｃ ｃ 其中ｇ是测度张量（ ｙ 引力场）Ｔ是物质张量； 。 ； ｙ Ｒ 是里
奇 曲率 张 量 。
在四维空间上 ，唐纳森 （ｏａ ｓ ）利用陶布斯 Ｄ ｎｌ ｏ ｄｎ （ａｂｓ、 Ｔｕｅ）乌伦贝克 （ ｈ ｎ ｅｋ 的规范场上 的存在性 Ｕ ｌ ｂｃ ） ｅ
定理得 到 四维拓扑 的突破 。上述工作和唐 纳森一 乌伦 贝克一 丘在杨一 尔斯 的工作 都 与弦理 论息息 相关 。事 米
实上弦理论提供 了极为重要的讯息 ，使得古典的代数 几何得到新 的突破 。我们期望弦理论 、 代数几何 、 几何